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Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-12T08:33:55Z

Pedro palacios: /* . S=100 */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Palacios Pintor, Pedro (1188)

Pontiveros Bermejo, Diego (1197)

Reinoso Muñoz, Cristina (988)

Rojas Arranz, Almudena (942)

Torre Prado, Yago de la (1006)

Vidal Sánchez, Nieves (1236)}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]

En esta página se discutirá y analizará un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas,
y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la
interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

==. Interpretación del modelo==

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones: 

<math> \left\{\begin{matrix}
\frac{dS}{dt}=-aSI\\
\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI
\end{matrix}\right. </math>

Donde:

-La función <math> S </math> indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas
e <math> I </math> el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de <math> a </math> es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente <math> b </math> es un término relacionado con el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y análogamente, <math> c </math> guardará una relación con el porcentaje de infectados que fallece cada día.

==. Caso de población de riesgo constante==
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes. 

Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales: 

<math> \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.</math> 

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler, método del trapecio y a su vez calcula cuándo llegará el número de infectados a la cuarta parte por este último método, puesto que es el más preciso: 
{{matlab| codigo=
%calculos numericos
clf
t0=0;
tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
saux=ones(1,N+1);
s=input('Introduzca el valor de S: ');
figure(1)
hold on
%solucion por euler
yeuler=zeros(1,N+1);
%condición inicial
yeuler(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
yeuler(i+1)=yeuler(i)+h*(0.003*s*yeuler(i)-0.31*yeuler(i));
end
clear ('i');
plot(t,yeuler,'r')
%trapecio
ytrape=zeros(1,N+1);
%condicion inicial
ytrape(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
ytrape(i+1)=(ytrape(i)+(0.0015*s*ytrape(i)-0.155*ytrape(i))*h)/(1-0.0015*s*h+0.155*h);
end
clear ('i');
plot(t,ytrape,'k');
legend ('solucion euler','solucion por trapecio','location','best');
%el numero de infectados se habra reducido a la cuarta parte cuando sea igual a 500
%para este apartado usamos la aproximación del trapecio ya que es la mas precisa de las dos numericas calculadas.
hold off
figure(2);
plot(t,ytrape);
hold on
cuartaparteaux=ones(1,N+1);
cuartaparte=500*cuartaparteaux;
plot(t,cuartaparte,'r');
legend('solucion por trapecio','cuarta parte de infectados','location','best');
xlabel('t(días)')
ylabel('Población')
%calculamos numericamente la distancia a la recta
hold off
distancia=zeros(1,N+1);
for i=1:(N+1)
distancia(i)=abs((ytrape(i)-500));
end
%buscamos la posicion del minimo
[minimo posicion]=min(distancia(1,:));
%posicion nos dice el valor de t para el que se da el minimo, lo transformamos a tiempo
tiempoacuarta=h*(posicion-1)}}

===. <math> S=0 </math> ===
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de una manera analítica, resultando: 

<math> I=2000e^{-0.31t}</math> 

El tiempo que tarda en reducirse el número
de infectados a la cuarta parte es: <math>t=4,6</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS000.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0]] || [[Archivo:EulerS0zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0 ampliada]] || [[Archivo:EulerS0cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

En estas gráficas, se puede observar que el número de infectados descenderá de manera rápida, puesto que en ningún momento habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad; lo que significa que los infectados sanarán o fallecerán, sin enfermar otras personas.

===. <math> S=100 </math>===
Resuelto analíticamente: 
<math> I=2000e^{-0.01t}</math> 

El tiempo en reducirse es: <math>t=138.6</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS0100.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100]] || [[Archivo:EulerS100zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100 ampliada]] || [[Archivo:EulerS100cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

Como se puede observar en las gráficas, el número de infectados descenderá más lentamente que en el caso anterior (<math>S=0</math>), puesto que aquí sí que habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad, que se convertirán en infectadas. Ésto también queda reflejado en el tiempo que tarda en reducirse el número de personas infectadas a la cuarta parte, que en este caso es mucho mayor.

===. <math> S=200 </math>===
Al resolver la ecuación de manera analítica, se obtiene: 
<math> I=2000e^{0.29t}</math> 

Las gráficas resultantes son: 
{|
|-
| [[Archivo:EulerS200.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200]] || [[Archivo:EulerS200zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200 ampliada]]
|}

En la gráfica se puede observar que el número de personas infectadas crecerá exponencialmente a lo largo del tiempo. 

Analíticamente se demuestra que ésto ocurrirá a partir de <math> S\geq 104 </math>. 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI</math> 
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales, 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I</math> 
La ecuación anterior alcanza su punto crítico en <math> S=104 </math> . 

Por tanto, para <math> S=200 </math> no se puede obtener el tiempo que tardará el número de infectados en reducirse a la cuarta parte, puesto que la función es creciente.

==. Análisis del sistema por el método de Euler==
Para este análisis, se considera el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: 
<math>h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}</math> 

Éste ha sido el programa utilizado: 
[[Archivo:diego1.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:diego2.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]

{{matlab|codigo=
h1=0.1;
h2=0.01;
h3=0.001;
h4=0.0001;
t0=0;
tN=40;
s0=800;
I0=20;
N1=round((tN-t0)/h1);
N2=round((tN-t0)/h2);
N3=round((tN-t0)/h3);
N4=round((tN-t0)/h4);
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;
t3=t0:h3:tN;
t4=t0:h4:tN;
seuler1=zeros(1,N1+1);
ieuler1=zeros(1,N1+1);
seuler2=zeros(1,N2+1);
ieuler2=zeros(1,N2+1);
seuler3=zeros(1,N3+1);
ieuler3=zeros(1,N3+1);
seuler4=zeros(1,N4+1);
ieuler4=zeros(1,N4+1);
%imponemos la condicion inicial
seuler1(1,1)=800;
seuler2(1,1)=800;
seuler3(1,1)=800;
seuler4(1,1)=800;
ieuler1(1,1)=20;
ieuler2(1,1)=20;
ieuler3(1,1)=20;
ieuler4(1,1)=20;
%construimos los bucles que nos den los resultados
for i=1:N1
seuler1(i+1)=seuler1(i)+h1*(-0.003*seuler1(i)*ieuler1(i));
ieuler1(i+1)=ieuler1(i)+h1*((0.003*seuler1(i)*ieuler1(i))-0.31*ieuler1(i));
end
figure(1);
hold on
plot(t1,seuler1,'k')
plot(t1,ieuler1,'g')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N2
seuler2(i+1)=seuler2(i)+h2*(-0.003*seuler2(i)*ieuler2(i));
ieuler2(i+1)=ieuler2(i)+h2*((0.003*seuler2(i)*ieuler2(i))-0.31*ieuler2(i));
end
figure(2);
hold on
plot(t2,seuler2)
plot(t2,ieuler2,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N3
seuler3(i+1)=seuler3(i)+h3*(-0.003*seuler3(i)*ieuler3(i));
ieuler3(i+1)=ieuler3(i)+h3*((0.003*seuler3(i)*ieuler3(i))-0.31*ieuler3(i));
end
figure(3);
hold on
plot(t3,seuler3)
plot(t3,ieuler3,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N4
seuler4(i+1)=seuler4(i)+h4*(-0.003*seuler4(i)*ieuler4(i));
ieuler4(i+1)=ieuler4(i)+h4*((0.003*seuler4(i)*ieuler4(i))-0.31*ieuler4(i));
end
figure(4);
hold on
plot(t4,seuler4)
plot(t4,ieuler4,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
figure(5)
hold on
plot(t1,seuler1,'k');
plot(t2,seuler2,'g');
plot(t3,seuler3,'r');
plot(t4,seuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
figure(6)
hold on
plot(t1,ieuler1,'k');
plot(t2,ieuler2,'g');
plot(t3,ieuler3,'r');
plot(t4,ieuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
%calculamos el maximo y su posicion, usamos el paso mas pequeño dado que nos dara mayor precision
[maximo posicion]=max(ieuler4(1,:));
tiempohastaelmaximo=(posicion-1)*h4
maximo
}} 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(800,20) </math>===
Ésta son dos de las gráficas resultado:
 
{|
|-
| [[Archivo:8002001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:80020001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados <math>I_{max}=505</math> y el momento en el que ésto ocurrirá <math>t=2.7</math> días. Se tienen en cuenta los datos obtenidos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos. 

 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40) </math>===
Se obtendrán las siguientes gráficas: 
{|
|-
| [[Archivo:1401.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:14001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

Se puede observar, que para el paso <math>h=0.1</math>, el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el método de Euler tiene deficiencias cuando se trabaja con derivadas elevadas como es el caso. Sin embargo, al disminuirlo a <math>h=0.01</math> o valores inferiores, la gráfica guarda más relación con la solución real.

Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas <math>I_{0}</math> es muy elevado y al disminuir el valor del paso, el programa aproxima mejor la solución. 

Ésta es la comparación de las distintas poblaciones para los diferentes valores de h:

[[Archivo:diego3.jpg|450px|thumb||left|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]
[[Archivo:diego4.jpg|450px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]

Utilizando el menor paso, para que el programa sea lo más exacto posible, se obtiene el número máximo de enfermos esperado, que es <math>I_{max}=9465</math> y cuándo se producirá <math>t=0.34</math> días. Al haber utilizado <math>h=10^{-4}</math>, el error mencionado anteriormente no influye.

==. Análisis del sistema por Runge-Kutta==
A continuación se resuelve el sistema por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden, partiendo de los mismos datos que los utilizados para el método de Euler: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

El programa por el que se obtiene la solución, a partir de los datos iniciales <math>(S_{0},I_{0})</math>, es el siguiente:
[[Archivo:RK80020.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RK1000040.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(1000,40)]]
{{matlab| codigo =
clear all
t0=0;tN=20;
h=0.1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
%VALORES
a=0.003; b=0.3; c=0.01;
%x0=[800,20];
S0=input('Introduzca el valor S0: ');
I0=input('Introduzca el valor I0: ');
S=zeros(1,N+1);
I=S;
S(1)=S0;
I(1)=I0;

x=zeros(2,N+1);
%Es una matriz de dos filas y N+1 columnas
%Inicializamos el bucle
%x(:,1)=x0;
%xx=x0;
for i=1:N
k11=-a*S(i)*I(i);
k12=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
k21=-a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12);
k22=a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12)-b*(I(i)+(h/2)*k12)-c*(I(i)+(h/2)*k12);
k31=-a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22);
k32=a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22)-b*(I(i)+(h/2)*k22)-c*(I(i)+(h/2)*k22);
k41=-a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32);
k42=a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32)-b*(I(i)+h*k32)-c*(I(i)+h*k32);

S(i+1)=S(i)+(h/6)*(k11+2*k21+2*k31+k41);

I(i+1)=I(i)+(h/6)*(k12+2*k22+2*k32+k42);

end
hold on
plot(t,S)
plot(t,I,'r')
legend('S','I')
}}

Este método comparado con Euler, da lugar a las gráficas: 
[[Archivo:RKcomp80020.jpg|400px|thumb||left|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RKcomp1000040.jpg|400px|thumb||centre|Runge-Kutta para (S0,I0)=(10000,40)]] 

En la primera gráfica, se observa que los métodos de Euler y Runge-Kutta dan resultados similares. 
Sin embargo, en la segunda gráfica, como ya se ha explicado anteriormente, el método de Euler para los valores iniciales <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40)</math> conforme aumenta el paso, más impreciso se vuelve. En cambio, el método Runge-Kutta consigue aproximarlo de manera más exacta. 

Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva un excesivo trabajo operativo producido por su alta complejidad y duración. Ésto deriva en que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.

==. Análisis del sistema con parámetro <math> a </math> variable ==
En este caso, se tiene que el parámetro <math> a </math>, es una función que depende del tiempo: <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> 

Además se tiene unos datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640
\end{matrix}\right.</math> 

Tomando dichos datos, se ha utilizado el método de Heun para aproximar la solución y así poder dibujar la gráfica: 
[[Archivo:avariable.jpg|400px|thumb||right|]]
{{matlab| codigo=
clear all; clf

t0=0; tN=20; S0=1600; I0=40; h=0.1; %a=0.003;
b=0.3; c=0.01;

N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN; %vector n+1 componentes
S=zeros(1,N+1);
a=S;
S(1)=S0;
I=S;
I(1)=I0;

for i=1:N
a(i)=0.003/(1+t(i));
Ss=S(i)-h*a(i)*I(i)*S(i);
Ii=I(i)+h*(a(i)*I(i)*S(i)-b*I(i)-c*I(i)); %aproximaciones intermedias de Heun

S(i+1)=S(i)+h/2*(-a(i)*S(i)*I(i)-a(i)*Ii*Ss);

I(i+1)=I(i)+h/2*(a(i)*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i)+a(i)*Ss*Ii-b*Ii-c*Ii);

end
[fila,col]=find(I==max(I)); %hallar la posicion del maximo dentro del vector.
plot(t,S,'r')
hold on
plot(t,I)
legend('Susceptibles','Infectados')
}}

El coeficiente <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> , varía con respecto al tiempo, tal y como indica la fórmula. 

Se puede observar que a medida que pasa el tiempo el coeficiente variable <math>a</math> disminuye, esto puede ser debido a la inmunidad, que se basa en aumentar la resistencia frente a una enfermedad infecciosa y es directamente proporcional al tiempo. Durante la primera fase de una infección el crecimiento es muy rápido, porque el sistema inmune ni conoce ni sabe combatir esa infección. Una vez alcanzado el máximo, el cuerpo humano ya ha identificado el anticuerpo y sabe como combatirlo debido a que el sistema inmune humano tiene memoria. Esto provoca que el número de infectados empiece a descender rápidamente, llegando incluso hasta su desaparición, ya sea por fallecimiento o curación de los mismos. En consecuencia, el número de personas susceptibles a contraer la enfermedad también descenderá, llegando incluso a permanecer constante cuando la población de infectados desaparezca.

==. Calibración del coeficiente <math> a </math>==
Para calibrar el coeficiente <math> a </math>, se tomará una situación similar a la del apartado anterior, tomando <math> a </math> constante en el intervalo <math>a\in [0.0005, 0.002]</math>. A partir de una experiencia previa se conoce que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días. 

El programa utilizado para resolver este apartado requiere que se divida el intervalo al que pertenece <math> a </math> en un conjunto de valores equidistribuidos, para ello se ha tomado un paso de <math> h=10^{-4} </math>. 
Se usará un bucle para calcular el máximo para cada valor de <math> a </math>, y se seleccionará aquel que esté más cerca de 5 días, momento en el que el número de personas infectadas alcanza su punto más alto. 

Se han utilizado los siguientes datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640\\
a(t)=\frac{0.003}{1+t}
\end{matrix}\right.</math> 

{{matlab| codigo=
ha=0.0001;
a0=0.0005;
aN=0.002;
a=a0:ha:aN;
Na=round((aN-a0)/ha);
ht=0.01;
t0=0;
tN=10;
t=t0:ht:tN;
Nt=round((tN-t0)/ht);
S0=1600;
I0=40;
b=0.3;
c=0.01;
S=zeros(1,Nt+1);
I=zeros(1,Nt+1);
maximos=zeros(1,Na);
I(1)=I0;
S(1)=S0;
for i=1:Na
aaux=a(i);
for j=1:Nt
I(j+1)=I(j)+ht*((aaux*S(j)*I(j))-b*I(j)-c*I(j));
S(j+1)=S(j)+ht*(-aaux*S(j)*I(j));
end
[maximo,posicion]=max(I(1,:));
tiempohastamax=posicion*ht;
maximos(1,i)=tiempohastamax;
end
maximos;
difemaximos=zeros(size(maximos));
for j=1:15;
difemaximos(1,j)=abs(maximos(j)-5);
end
[minimo posicionminimo]=min(difemaximos(1,:));
posicionminimo;
aparamaximoen5dias=a(posicionminimo)
}}

El programa devuelve el valor para el cual <math>a</math> alcanza su máximo para un tiempo <math>t=5</math> días. Éste valor será <math>a=0.0008</math>.

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-12T08:13:06Z

Pedro palacios: /* . Análisis del sistema por el método de Euler */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Palacios Pintor, Pedro (1188)

Pontiveros Bermejo, Diego (1197)

Reinoso Muñoz, Cristina (988)

Rojas Arranz, Almudena (942)

Torre Prado, Yago de la (1006)

Vidal Sánchez, Nieves (1236)}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]

En esta página se discutirá y analizará un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas,
y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la
interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

==. Interpretación del modelo==

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones: 

<math> \left\{\begin{matrix}
\frac{dS}{dt}=-aSI\\
\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI
\end{matrix}\right. </math>

Donde:

-La función <math> S </math> indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas
e <math> I </math> el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de <math> a </math> es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente <math> b </math> es un término relacionado con el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y análogamente, <math> c </math> guardará una relación con el porcentaje de infectados que fallece cada día.

==. Caso de población de riesgo constante==
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes. 

Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales: 

<math> \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.</math> 

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler, método del trapecio y a su vez calcula cuándo llegará el número de infectados a la cuarta parte por este último método, puesto que es el más preciso: 
{{matlab| codigo=
%calculos numericos
clf
t0=0;
tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
saux=ones(1,N+1);
s=input('Introduzca el valor de S: ');
figure(1)
hold on
%solucion por euler
yeuler=zeros(1,N+1);
%condición inicial
yeuler(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
yeuler(i+1)=yeuler(i)+h*(0.003*s*yeuler(i)-0.31*yeuler(i));
end
clear ('i');
plot(t,yeuler,'r')
%trapecio
ytrape=zeros(1,N+1);
%condicion inicial
ytrape(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
ytrape(i+1)=(ytrape(i)+(0.0015*s*ytrape(i)-0.155*ytrape(i))*h)/(1-0.0015*s*h+0.155*h);
end
clear ('i');
plot(t,ytrape,'k');
legend ('solucion euler','solucion por trapecio','location','best');
%el numero de infectados se habra reducido a la cuarta parte cuando sea igual a 500
%para este apartado usamos la aproximación del trapecio ya que es la mas precisa de las dos numericas calculadas.
hold off
figure(2);
plot(t,ytrape);
hold on
cuartaparteaux=ones(1,N+1);
cuartaparte=500*cuartaparteaux;
plot(t,cuartaparte,'r');
legend('solucion por trapecio','cuarta parte de infectados','location','best');
xlabel('t(días)')
ylabel('Población')
%calculamos numericamente la distancia a la recta
hold off
distancia=zeros(1,N+1);
for i=1:(N+1)
distancia(i)=abs((ytrape(i)-500));
end
%buscamos la posicion del minimo
[minimo posicion]=min(distancia(1,:));
%posicion nos dice el valor de t para el que se da el minimo, lo transformamos a tiempo
tiempoacuarta=h*(posicion-1)}}

===. <math> S=0 </math> ===
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de una manera analítica, resultando: 

<math> I=2000e^{-0.31t}</math> 

El tiempo que tarda en reducirse el número
de infectados a la cuarta parte es: <math>t=4,6</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS000.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0]] || [[Archivo:EulerS0zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0 ampliada]] || [[Archivo:EulerS0cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

En estas gráficas, se puede observar que el número de infectados descenderá de manera rápida, puesto que en ningún momento habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad; lo que significa que los infectados sanarán o fallecerán, sin enfermar otras personas.

===. <math> S=100 </math>===
Resuelto analíticamente: 
<math> I=2000e^{-0.01t}</math> 

El tiempo en reducirse es: <math>t=40,1</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS0100.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100]] || [[Archivo:EulerS100zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100 ampliada]] || [[Archivo:EulerS100cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

Como se puede observar en las gráficas, el número de infectados descenderá más lentamente que en el caso anterior (<math>S=0</math>), puesto que aquí sí que habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad, que se convertirán en infectadas. Ésto también queda reflejado en el tiempo que tarda en reducirse el número de personas infectadas a la cuarta parte, que en este caso es mucho mayor.

===. <math> S=200 </math>===
Al resolver la ecuación de manera analítica, se obtiene: 
<math> I=2000e^{0.29t}</math> 

Las gráficas resultantes son: 
{|
|-
| [[Archivo:EulerS200.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200]] || [[Archivo:EulerS200zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200 ampliada]]
|}

En la gráfica se puede observar que el número de personas infectadas crecerá exponencialmente a lo largo del tiempo. 

Analíticamente se demuestra que ésto ocurrirá a partir de <math> S\geq 104 </math>. 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI</math> 
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales, 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I</math> 
La ecuación anterior alcanza su punto crítico en <math> S=104 </math> . 

Por tanto, para <math> S=200 </math> no se puede obtener el tiempo que tardará el número de infectados en reducirse a la cuarta parte, puesto que la función es creciente.

==. Análisis del sistema por el método de Euler==
Para este análisis, se considera el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: 
<math>h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}</math> 

Éste ha sido el programa utilizado: 
[[Archivo:diego1.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:diego2.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]

{{matlab|codigo=
h1=0.1;
h2=0.01;
h3=0.001;
h4=0.0001;
t0=0;
tN=40;
s0=800;
I0=20;
N1=round((tN-t0)/h1);
N2=round((tN-t0)/h2);
N3=round((tN-t0)/h3);
N4=round((tN-t0)/h4);
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;
t3=t0:h3:tN;
t4=t0:h4:tN;
seuler1=zeros(1,N1+1);
ieuler1=zeros(1,N1+1);
seuler2=zeros(1,N2+1);
ieuler2=zeros(1,N2+1);
seuler3=zeros(1,N3+1);
ieuler3=zeros(1,N3+1);
seuler4=zeros(1,N4+1);
ieuler4=zeros(1,N4+1);
%imponemos la condicion inicial
seuler1(1,1)=800;
seuler2(1,1)=800;
seuler3(1,1)=800;
seuler4(1,1)=800;
ieuler1(1,1)=20;
ieuler2(1,1)=20;
ieuler3(1,1)=20;
ieuler4(1,1)=20;
%construimos los bucles que nos den los resultados
for i=1:N1
seuler1(i+1)=seuler1(i)+h1*(-0.003*seuler1(i)*ieuler1(i));
ieuler1(i+1)=ieuler1(i)+h1*((0.003*seuler1(i)*ieuler1(i))-0.31*ieuler1(i));
end
figure(1);
hold on
plot(t1,seuler1,'k')
plot(t1,ieuler1,'g')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N2
seuler2(i+1)=seuler2(i)+h2*(-0.003*seuler2(i)*ieuler2(i));
ieuler2(i+1)=ieuler2(i)+h2*((0.003*seuler2(i)*ieuler2(i))-0.31*ieuler2(i));
end
figure(2);
hold on
plot(t2,seuler2)
plot(t2,ieuler2,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N3
seuler3(i+1)=seuler3(i)+h3*(-0.003*seuler3(i)*ieuler3(i));
ieuler3(i+1)=ieuler3(i)+h3*((0.003*seuler3(i)*ieuler3(i))-0.31*ieuler3(i));
end
figure(3);
hold on
plot(t3,seuler3)
plot(t3,ieuler3,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N4
seuler4(i+1)=seuler4(i)+h4*(-0.003*seuler4(i)*ieuler4(i));
ieuler4(i+1)=ieuler4(i)+h4*((0.003*seuler4(i)*ieuler4(i))-0.31*ieuler4(i));
end
figure(4);
hold on
plot(t4,seuler4)
plot(t4,ieuler4,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
figure(5)
hold on
plot(t1,seuler1,'k');
plot(t2,seuler2,'g');
plot(t3,seuler3,'r');
plot(t4,seuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
figure(6)
hold on
plot(t1,ieuler1,'k');
plot(t2,ieuler2,'g');
plot(t3,ieuler3,'r');
plot(t4,ieuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
%calculamos el maximo y su posicion, usamos el paso mas pequeño dado que nos dara mayor precision
[maximo posicion]=max(ieuler4(1,:));
tiempohastaelmaximo=(posicion-1)*h4
maximo
}} 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(800,20) </math>===
Ésta son dos de las gráficas resultado:
 
{|
|-
| [[Archivo:8002001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:80020001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados <math>I_{max}=505</math> y el momento en el que ésto ocurrirá <math>t=2.7</math> días. Se tienen en cuenta los datos obtenidos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos. 

 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40) </math>===
Se obtendrán las siguientes gráficas: 
{|
|-
| [[Archivo:1401.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:14001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

Se puede observar, que para el paso <math>h=0.1</math>, el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el método de Euler tiene deficiencias cuando se trabaja con derivadas elevadas como es el caso. Sin embargo, al disminuirlo a <math>h=0.01</math> o valores inferiores, la gráfica guarda más relación con la solución real.

Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas <math>I_{0}</math> es muy elevado y al disminuir el valor del paso, el programa aproxima mejor la solución. 

Ésta es la comparación de las distintas poblaciones para los diferentes valores de h:

[[Archivo:diego3.jpg|450px|thumb||left|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]
[[Archivo:diego4.jpg|450px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]

Utilizando el menor paso, para que el programa sea lo más exacto posible, se obtiene el número máximo de enfermos esperado, que es <math>I_{max}=9465</math> y cuándo se producirá <math>t=0.34</math> días. Al haber utilizado <math>h=10^{-4}</math>, el error mencionado anteriormente no influye.

==. Análisis del sistema por Runge-Kutta==
A continuación se resuelve el sistema por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden, partiendo de los mismos datos que los utilizados para el método de Euler: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

El programa por el que se obtiene la solución, a partir de los datos iniciales <math>(S_{0},I_{0})</math>, es el siguiente:
[[Archivo:RK80020.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RK1000040.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(1000,40)]]
{{matlab| codigo =
clear all
t0=0;tN=20;
h=0.1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
%VALORES
a=0.003; b=0.3; c=0.01;
%x0=[800,20];
S0=input('Introduzca el valor S0: ');
I0=input('Introduzca el valor I0: ');
S=zeros(1,N+1);
I=S;
S(1)=S0;
I(1)=I0;

x=zeros(2,N+1);
%Es una matriz de dos filas y N+1 columnas
%Inicializamos el bucle
%x(:,1)=x0;
%xx=x0;
for i=1:N
k11=-a*S(i)*I(i);
k12=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
k21=-a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12);
k22=a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12)-b*(I(i)+(h/2)*k12)-c*(I(i)+(h/2)*k12);
k31=-a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22);
k32=a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22)-b*(I(i)+(h/2)*k22)-c*(I(i)+(h/2)*k22);
k41=-a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32);
k42=a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32)-b*(I(i)+h*k32)-c*(I(i)+h*k32);

S(i+1)=S(i)+(h/6)*(k11+2*k21+2*k31+k41);

I(i+1)=I(i)+(h/6)*(k12+2*k22+2*k32+k42);

end
hold on
plot(t,S)
plot(t,I,'r')
legend('S','I')
}}

Este método comparado con Euler, da lugar a las gráficas: 
[[Archivo:RKcomp80020.jpg|400px|thumb||left|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RKcomp1000040.jpg|400px|thumb||centre|Runge-Kutta para (S0,I0)=(10000,40)]] 

En la primera gráfica, se observa que los métodos de Euler y Runge-Kutta dan resultados similares. 
Sin embargo, en la segunda gráfica, como ya se ha explicado anteriormente, el método de Euler para los valores iniciales <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40)</math> conforme aumenta el paso, más impreciso se vuelve. En cambio, el método Runge-Kutta consigue aproximarlo de manera más exacta. 

Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva un excesivo trabajo operativo producido por su alta complejidad y duración. Ésto deriva en que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.

==. Análisis del sistema con parámetro <math> a </math> variable ==
En este caso, se tiene que el parámetro <math> a </math>, es una función que depende del tiempo: <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> 

Además se tiene unos datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640
\end{matrix}\right.</math> 

Tomando dichos datos, se ha utilizado el método de Heun para aproximar la solución y así poder dibujar la gráfica: 
[[Archivo:avariable.jpg|400px|thumb||right|]]
{{matlab| codigo=
clear all; clf

t0=0; tN=20; S0=1600; I0=40; h=0.1; %a=0.003;
b=0.3; c=0.01;

N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN; %vector n+1 componentes
S=zeros(1,N+1);
a=S;
S(1)=S0;
I=S;
I(1)=I0;

for i=1:N
a(i)=0.003/(1+t(i));
Ss=S(i)-h*a(i)*I(i)*S(i);
Ii=I(i)+h*(a(i)*I(i)*S(i)-b*I(i)-c*I(i)); %aproximaciones intermedias de Heun

S(i+1)=S(i)+h/2*(-a(i)*S(i)*I(i)-a(i)*Ii*Ss);

I(i+1)=I(i)+h/2*(a(i)*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i)+a(i)*Ss*Ii-b*Ii-c*Ii);

end
[fila,col]=find(I==max(I)); %hallar la posicion del maximo dentro del vector.
plot(t,S,'r')
hold on
plot(t,I)
legend('Susceptibles','Infectados')
}}

El coeficiente <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> , varía con respecto al tiempo, tal y como indica la fórmula. 

Se puede observar que a medida que pasa el tiempo el coeficiente variable <math>a</math> disminuye, esto puede ser debido a la inmunidad, que se basa en aumentar la resistencia frente a una enfermedad infecciosa y es directamente proporcional al tiempo. Durante la primera fase de una infección el crecimiento es muy rápido, porque el sistema inmune ni conoce ni sabe combatir esa infección. Una vez alcanzado el máximo, el cuerpo humano ya ha identificado el anticuerpo y sabe como combatirlo debido a que el sistema inmune humano tiene memoria. Esto provoca que el número de infectados empiece a descender rápidamente, llegando incluso hasta su desaparición, ya sea por fallecimiento o curación de los mismos. En consecuencia, el número de personas susceptibles a contraer la enfermedad también descenderá, llegando incluso a permanecer constante cuando la población de infectados desaparezca.

==. Calibración del coeficiente <math> a </math>==
Para calibrar el coeficiente <math> a </math>, se tomará una situación similar a la del apartado anterior, tomando <math> a </math> constante en el intervalo <math>a\in [0.0005, 0.002]</math>. A partir de una experiencia previa se conoce que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días. 

El programa utilizado para resolver este apartado requiere que se divida el intervalo al que pertenece <math> a </math> en un conjunto de valores equidistribuidos, para ello se ha tomado un paso de <math> h=10^{-4} </math>. 
Se usará un bucle para calcular el máximo para cada valor de <math> a </math>, y se seleccionará aquel que esté más cerca de 5 días, momento en el que el número de personas infectadas alcanza su punto más alto. 

Se han utilizado los siguientes datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640\\
a(t)=\frac{0.003}{1+t}
\end{matrix}\right.</math> 

{{matlab| codigo=
ha=0.0001;
a0=0.0005;
aN=0.002;
a=a0:ha:aN;
Na=round((aN-a0)/ha);
ht=0.01;
t0=0;
tN=10;
t=t0:ht:tN;
Nt=round((tN-t0)/ht);
S0=1600;
I0=40;
b=0.3;
c=0.01;
S=zeros(1,Nt+1);
I=zeros(1,Nt+1);
maximos=zeros(1,Na);
I(1)=I0;
S(1)=S0;
for i=1:Na
aaux=a(i);
for j=1:Nt
I(j+1)=I(j)+ht*((aaux*S(j)*I(j))-b*I(j)-c*I(j));
S(j+1)=S(j)+ht*(-aaux*S(j)*I(j));
end
[maximo,posicion]=max(I(1,:));
tiempohastamax=posicion*ht;
maximos(1,i)=tiempohastamax;
end
maximos;
difemaximos=zeros(size(maximos));
for j=1:15;
difemaximos(1,j)=abs(maximos(j)-5);
end
[minimo posicionminimo]=min(difemaximos(1,:));
posicionminimo;
aparamaximoen5dias=a(posicionminimo)
}}

El programa devuelve el valor para el cual <math>a</math> alcanza su máximo para un tiempo <math>t=5</math> días. Éste valor será <math>a=0.0008</math>.

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-12T08:12:04Z

Pedro palacios: /* . Caso de población de riesgo constante */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Palacios Pintor, Pedro (1188)

Pontiveros Bermejo, Diego (1197)

Reinoso Muñoz, Cristina (988)

Rojas Arranz, Almudena (942)

Torre Prado, Yago de la (1006)

Vidal Sánchez, Nieves (1236)}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]

En esta página se discutirá y analizará un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas,
y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la
interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

==. Interpretación del modelo==

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones: 

<math> \left\{\begin{matrix}
\frac{dS}{dt}=-aSI\\
\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI
\end{matrix}\right. </math>

Donde:

-La función <math> S </math> indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas
e <math> I </math> el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de <math> a </math> es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente <math> b </math> es un término relacionado con el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y análogamente, <math> c </math> guardará una relación con el porcentaje de infectados que fallece cada día.

==. Caso de población de riesgo constante==
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes. 

Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales: 

<math> \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.</math> 

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler, método del trapecio y a su vez calcula cuándo llegará el número de infectados a la cuarta parte por este último método, puesto que es el más preciso: 
{{matlab| codigo=
%calculos numericos
clf
t0=0;
tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
saux=ones(1,N+1);
s=input('Introduzca el valor de S: ');
figure(1)
hold on
%solucion por euler
yeuler=zeros(1,N+1);
%condición inicial
yeuler(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
yeuler(i+1)=yeuler(i)+h*(0.003*s*yeuler(i)-0.31*yeuler(i));
end
clear ('i');
plot(t,yeuler,'r')
%trapecio
ytrape=zeros(1,N+1);
%condicion inicial
ytrape(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
ytrape(i+1)=(ytrape(i)+(0.0015*s*ytrape(i)-0.155*ytrape(i))*h)/(1-0.0015*s*h+0.155*h);
end
clear ('i');
plot(t,ytrape,'k');
legend ('solucion euler','solucion por trapecio','location','best');
%el numero de infectados se habra reducido a la cuarta parte cuando sea igual a 500
%para este apartado usamos la aproximación del trapecio ya que es la mas precisa de las dos numericas calculadas.
hold off
figure(2);
plot(t,ytrape);
hold on
cuartaparteaux=ones(1,N+1);
cuartaparte=500*cuartaparteaux;
plot(t,cuartaparte,'r');
legend('solucion por trapecio','cuarta parte de infectados','location','best');
xlabel('t(días)')
ylabel('Población')
%calculamos numericamente la distancia a la recta
hold off
distancia=zeros(1,N+1);
for i=1:(N+1)
distancia(i)=abs((ytrape(i)-500));
end
%buscamos la posicion del minimo
[minimo posicion]=min(distancia(1,:));
%posicion nos dice el valor de t para el que se da el minimo, lo transformamos a tiempo
tiempoacuarta=h*(posicion-1)}}

===. <math> S=0 </math> ===
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de una manera analítica, resultando: 

<math> I=2000e^{-0.31t}</math> 

El tiempo que tarda en reducirse el número
de infectados a la cuarta parte es: <math>t=4,6</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS000.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0]] || [[Archivo:EulerS0zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0 ampliada]] || [[Archivo:EulerS0cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

En estas gráficas, se puede observar que el número de infectados descenderá de manera rápida, puesto que en ningún momento habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad; lo que significa que los infectados sanarán o fallecerán, sin enfermar otras personas.

===. <math> S=100 </math>===
Resuelto analíticamente: 
<math> I=2000e^{-0.01t}</math> 

El tiempo en reducirse es: <math>t=40,1</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS0100.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100]] || [[Archivo:EulerS100zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100 ampliada]] || [[Archivo:EulerS100cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

Como se puede observar en las gráficas, el número de infectados descenderá más lentamente que en el caso anterior (<math>S=0</math>), puesto que aquí sí que habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad, que se convertirán en infectadas. Ésto también queda reflejado en el tiempo que tarda en reducirse el número de personas infectadas a la cuarta parte, que en este caso es mucho mayor.

===. <math> S=200 </math>===
Al resolver la ecuación de manera analítica, se obtiene: 
<math> I=2000e^{0.29t}</math> 

Las gráficas resultantes son: 
{|
|-
| [[Archivo:EulerS200.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200]] || [[Archivo:EulerS200zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200 ampliada]]
|}

En la gráfica se puede observar que el número de personas infectadas crecerá exponencialmente a lo largo del tiempo. 

Analíticamente se demuestra que ésto ocurrirá a partir de <math> S\geq 104 </math>. 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI</math> 
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales, 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I</math> 
La ecuación anterior alcanza su punto crítico en <math> S=104 </math> . 

Por tanto, para <math> S=200 </math> no se puede obtener el tiempo que tardará el número de infectados en reducirse a la cuarta parte, puesto que la función es creciente.

==. Análisis del sistema por el método de Euler==
Para este análisis, se considera el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: 
<math>h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}</math> 

Éste ha sido el programa utilizado: 
[[Archivo:diego1.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:diego2.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]

{{matlab|codigo=
h1=0.1;
h2=0.01;
h3=0.001;
h4=0.0001;
t0=0;
tN=40;
s0=800;
I0=20;
N1=round((tN-t0)/h1);
N2=round((tN-t0)/h2);
N3=round((tN-t0)/h3);
N4=round((tN-t0)/h4);
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;
t3=t0:h3:tN;
t4=t0:h4:tN;
seuler1=zeros(1,N1+1);
ieuler1=zeros(1,N1+1);
seuler2=zeros(1,N2+1);
ieuler2=zeros(1,N2+1);
seuler3=zeros(1,N3+1);
ieuler3=zeros(1,N3+1);
seuler4=zeros(1,N4+1);
ieuler4=zeros(1,N4+1);
%imponemos la condicion inicial
seuler1(1,1)=800;
seuler2(1,1)=800;
seuler3(1,1)=800;
seuler4(1,1)=800;
ieuler1(1,1)=20;
ieuler2(1,1)=20;
ieuler3(1,1)=20;
ieuler4(1,1)=20;
%construimos los bucles que nos den los resultados
for i=1:N1
seuler1(i+1)=seuler1(i)+h1*(-0.003*seuler1(i)*ieuler1(i));
ieuler1(i+1)=ieuler1(i)+h1*((0.003*seuler1(i)*ieuler1(i))-0.31*ieuler1(i));
end
figure(1);
hold on
plot(t1,seuler1,'k')
plot(t1,ieuler1,'g')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N2
seuler2(i+1)=seuler2(i)+h2*(-0.003*seuler2(i)*ieuler2(i));
ieuler2(i+1)=ieuler2(i)+h2*((0.003*seuler2(i)*ieuler2(i))-0.31*ieuler2(i));
end
figure(2);
hold on
plot(t2,seuler2)
plot(t2,ieuler2,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N3
seuler3(i+1)=seuler3(i)+h3*(-0.003*seuler3(i)*ieuler3(i));
ieuler3(i+1)=ieuler3(i)+h3*((0.003*seuler3(i)*ieuler3(i))-0.31*ieuler3(i));
end
figure(3);
hold on
plot(t3,seuler3)
plot(t3,ieuler3,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N4
seuler4(i+1)=seuler4(i)+h4*(-0.003*seuler4(i)*ieuler4(i));
ieuler4(i+1)=ieuler4(i)+h4*((0.003*seuler4(i)*ieuler4(i))-0.31*ieuler4(i));
end
figure(4);
hold on
plot(t4,seuler4)
plot(t4,ieuler4,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
figure(5)
hold on
plot(t1,seuler1,'k');
plot(t2,seuler2,'g');
plot(t3,seuler3,'r');
plot(t4,seuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
figure(6)
hold on
plot(t1,ieuler1,'k');
plot(t2,ieuler2,'g');
plot(t3,ieuler3,'r');
plot(t4,ieuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
%calculamos el maximo y su posicion, usamos el paso mas pequeño dado que nos dara mayor precision
[maximo posicion]=max(ieuler4(1,:));
tiempohastaelmaximo=posicion*h4
maximo
}} 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(800,20) </math>===
Ésta son dos de las gráficas resultado:
 
{|
|-
| [[Archivo:8002001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:80020001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados <math>I_{max}=505</math> y el momento en el que ésto ocurrirá <math>t=2.7</math> días. Se tienen en cuenta los datos obtenidos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos. 

 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40) </math>===
Se obtendrán las siguientes gráficas: 
{|
|-
| [[Archivo:1401.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:14001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

Se puede observar, que para el paso <math>h=0.1</math>, el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el método de Euler tiene deficiencias cuando se trabaja con derivadas elevadas como es el caso. Sin embargo, al disminuirlo a <math>h=0.01</math> o valores inferiores, la gráfica guarda más relación con la solución real.

Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas <math>I_{0}</math> es muy elevado y al disminuir el valor del paso, el programa aproxima mejor la solución. 

Ésta es la comparación de las distintas poblaciones para los diferentes valores de h:

[[Archivo:diego3.jpg|450px|thumb||left|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]
[[Archivo:diego4.jpg|450px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]

Utilizando el menor paso, para que el programa sea lo más exacto posible, se obtiene el número máximo de enfermos esperado, que es <math>I_{max}=9465</math> y cuándo se producirá <math>t=0.34</math> días. Al haber utilizado <math>h=10^{-4}</math>, el error mencionado anteriormente no influye.

==. Análisis del sistema por Runge-Kutta==
A continuación se resuelve el sistema por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden, partiendo de los mismos datos que los utilizados para el método de Euler: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

El programa por el que se obtiene la solución, a partir de los datos iniciales <math>(S_{0},I_{0})</math>, es el siguiente:
[[Archivo:RK80020.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RK1000040.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(1000,40)]]
{{matlab| codigo =
clear all
t0=0;tN=20;
h=0.1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
%VALORES
a=0.003; b=0.3; c=0.01;
%x0=[800,20];
S0=input('Introduzca el valor S0: ');
I0=input('Introduzca el valor I0: ');
S=zeros(1,N+1);
I=S;
S(1)=S0;
I(1)=I0;

x=zeros(2,N+1);
%Es una matriz de dos filas y N+1 columnas
%Inicializamos el bucle
%x(:,1)=x0;
%xx=x0;
for i=1:N
k11=-a*S(i)*I(i);
k12=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
k21=-a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12);
k22=a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12)-b*(I(i)+(h/2)*k12)-c*(I(i)+(h/2)*k12);
k31=-a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22);
k32=a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22)-b*(I(i)+(h/2)*k22)-c*(I(i)+(h/2)*k22);
k41=-a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32);
k42=a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32)-b*(I(i)+h*k32)-c*(I(i)+h*k32);

S(i+1)=S(i)+(h/6)*(k11+2*k21+2*k31+k41);

I(i+1)=I(i)+(h/6)*(k12+2*k22+2*k32+k42);

end
hold on
plot(t,S)
plot(t,I,'r')
legend('S','I')
}}

Este método comparado con Euler, da lugar a las gráficas: 
[[Archivo:RKcomp80020.jpg|400px|thumb||left|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RKcomp1000040.jpg|400px|thumb||centre|Runge-Kutta para (S0,I0)=(10000,40)]] 

En la primera gráfica, se observa que los métodos de Euler y Runge-Kutta dan resultados similares. 
Sin embargo, en la segunda gráfica, como ya se ha explicado anteriormente, el método de Euler para los valores iniciales <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40)</math> conforme aumenta el paso, más impreciso se vuelve. En cambio, el método Runge-Kutta consigue aproximarlo de manera más exacta. 

Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva un excesivo trabajo operativo producido por su alta complejidad y duración. Ésto deriva en que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.

==. Análisis del sistema con parámetro <math> a </math> variable ==
En este caso, se tiene que el parámetro <math> a </math>, es una función que depende del tiempo: <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> 

Además se tiene unos datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640
\end{matrix}\right.</math> 

Tomando dichos datos, se ha utilizado el método de Heun para aproximar la solución y así poder dibujar la gráfica: 
[[Archivo:avariable.jpg|400px|thumb||right|]]
{{matlab| codigo=
clear all; clf

t0=0; tN=20; S0=1600; I0=40; h=0.1; %a=0.003;
b=0.3; c=0.01;

N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN; %vector n+1 componentes
S=zeros(1,N+1);
a=S;
S(1)=S0;
I=S;
I(1)=I0;

for i=1:N
a(i)=0.003/(1+t(i));
Ss=S(i)-h*a(i)*I(i)*S(i);
Ii=I(i)+h*(a(i)*I(i)*S(i)-b*I(i)-c*I(i)); %aproximaciones intermedias de Heun

S(i+1)=S(i)+h/2*(-a(i)*S(i)*I(i)-a(i)*Ii*Ss);

I(i+1)=I(i)+h/2*(a(i)*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i)+a(i)*Ss*Ii-b*Ii-c*Ii);

end
[fila,col]=find(I==max(I)); %hallar la posicion del maximo dentro del vector.
plot(t,S,'r')
hold on
plot(t,I)
legend('Susceptibles','Infectados')
}}

El coeficiente <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> , varía con respecto al tiempo, tal y como indica la fórmula. 

Se puede observar que a medida que pasa el tiempo el coeficiente variable <math>a</math> disminuye, esto puede ser debido a la inmunidad, que se basa en aumentar la resistencia frente a una enfermedad infecciosa y es directamente proporcional al tiempo. Durante la primera fase de una infección el crecimiento es muy rápido, porque el sistema inmune ni conoce ni sabe combatir esa infección. Una vez alcanzado el máximo, el cuerpo humano ya ha identificado el anticuerpo y sabe como combatirlo debido a que el sistema inmune humano tiene memoria. Esto provoca que el número de infectados empiece a descender rápidamente, llegando incluso hasta su desaparición, ya sea por fallecimiento o curación de los mismos. En consecuencia, el número de personas susceptibles a contraer la enfermedad también descenderá, llegando incluso a permanecer constante cuando la población de infectados desaparezca.

==. Calibración del coeficiente <math> a </math>==
Para calibrar el coeficiente <math> a </math>, se tomará una situación similar a la del apartado anterior, tomando <math> a </math> constante en el intervalo <math>a\in [0.0005, 0.002]</math>. A partir de una experiencia previa se conoce que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días. 

El programa utilizado para resolver este apartado requiere que se divida el intervalo al que pertenece <math> a </math> en un conjunto de valores equidistribuidos, para ello se ha tomado un paso de <math> h=10^{-4} </math>. 
Se usará un bucle para calcular el máximo para cada valor de <math> a </math>, y se seleccionará aquel que esté más cerca de 5 días, momento en el que el número de personas infectadas alcanza su punto más alto. 

Se han utilizado los siguientes datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640\\
a(t)=\frac{0.003}{1+t}
\end{matrix}\right.</math> 

{{matlab| codigo=
ha=0.0001;
a0=0.0005;
aN=0.002;
a=a0:ha:aN;
Na=round((aN-a0)/ha);
ht=0.01;
t0=0;
tN=10;
t=t0:ht:tN;
Nt=round((tN-t0)/ht);
S0=1600;
I0=40;
b=0.3;
c=0.01;
S=zeros(1,Nt+1);
I=zeros(1,Nt+1);
maximos=zeros(1,Na);
I(1)=I0;
S(1)=S0;
for i=1:Na
aaux=a(i);
for j=1:Nt
I(j+1)=I(j)+ht*((aaux*S(j)*I(j))-b*I(j)-c*I(j));
S(j+1)=S(j)+ht*(-aaux*S(j)*I(j));
end
[maximo,posicion]=max(I(1,:));
tiempohastamax=posicion*ht;
maximos(1,i)=tiempohastamax;
end
maximos;
difemaximos=zeros(size(maximos));
for j=1:15;
difemaximos(1,j)=abs(maximos(j)-5);
end
[minimo posicionminimo]=min(difemaximos(1,:));
posicionminimo;
aparamaximoen5dias=a(posicionminimo)
}}

El programa devuelve el valor para el cual <math>a</math> alcanza su máximo para un tiempo <math>t=5</math> días. Éste valor será <math>a=0.0008</math>.

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-11T11:47:07Z

Pedro palacios: /* . Interpretación del modelo */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Palacios Pintor, Pedro (1188)

Pontiveros Bermejo, Diego (1197)

Reinoso Muñoz, Cristina (988)

Rojas Arranz, Almudena (942)

Torre Prado, Yago de la (1006)

Vidal Sánchez, Nieves (1236)}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]

En esta página se discutirá y analizará un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.

El modelo se basa en las siguientes hipótesis:

- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas,
y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.

- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la
interacción entre el número de individuos entre ambas clases.

==. Interpretación del modelo==

Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones: 

<math> \left\{\begin{matrix}
\frac{dS}{dt}=-aSI\\
\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI
\end{matrix}\right. </math>

Donde:

-La función <math> S </math> indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas
e <math> I </math> el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.

- El valor de <math> a </math> es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente <math> b </math> es un término relacionado con el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y análogamente, <math> c </math> guardará una relación con el porcentaje de infectados que fallece cada día.

==. Caso de población de riesgo constante==
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes. 

Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales: 

<math> \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.</math> 

Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler, método del trapecio y a su vez calcula cuándo llegará el número de infectados a la cuarta parte por este último método, puesto que es el más preciso: 
{{matlab| codigo=
%calculos numericos
clf
t0=0;
tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
saux=ones(1,N+1);
s=input('Introduzca el valor de S: ');
figure(1)
hold on
%solucion por euler
yeuler=zeros(1,N+1);
%condición inicial
yeuler(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
yeuler(i+1)=yeuler(i)+h*(0.003*s*yeuler(i)-0.31*yeuler(i));
end
clear ('i');
plot(t,yeuler,'r')
%trapecio
ytrape=zeros(1,N+1);
%condicion inicial
ytrape(1)=2000;
%bucle
for i=1:N
ytrape(i+1)=(ytrape(i)+(0.0015*s*ytrape(i)-0.155*ytrape(i))*h)/(1-0.0015*s*h+0.155*h);
end
clear ('i');
plot(t,ytrape,'k');
legend ('solucion euler','solucion por trapecio','location','best');
%el numero de infectados se habra reducido a la cuarta parte cuando sea igual a 500
%para este apartado usamos la aproximación del trapecio ya que es la mas precisa de las dos numericas calculadas.
hold off
figure(2);
plot(t,ytrape);
hold on
cuartaparteaux=ones(1,N+1);
cuartaparte=500*cuartaparteaux;
plot(t,cuartaparte,'r');
legend('solucion por trapecio','cuarta parte de infectados','location','best');
xlabel('t(días)')
ylabel('Población')
%calculamos numericamente la distancia a la recta
hold off
distancia=zeros(1,N+1);
for i=1:(N+1)
distancia(i)=abs((ytrape(i)-500));
end
%buscamos la posicion del minimo
[minimo posicion]=min(distancia(1,:));
%posicion nos dice el valor de t para el que se da el minimo, lo transformamos a tiempo
tiempoacuarta=h*posicion}}

===. <math> S=0 </math> ===
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de una manera analítica, resultando: 

<math> I=2000e^{-0.31t}</math> 

El tiempo que tarda en reducirse el número
de infectados a la cuarta parte es: <math>t=4,6</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS000.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0]] || [[Archivo:EulerS0zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 0 ampliada]] || [[Archivo:EulerS0cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

En estas gráficas, se puede observar que el número de infectados descenderá de manera rápida, puesto que en ningún momento habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad; lo que significa que los infectados sanarán o fallecerán, sin enfermar otras personas.

===. <math> S=100 </math>===
Resuelto analíticamente: 
<math> I=2000e^{-0.01t}</math> 

El tiempo en reducirse es: <math>t=40,1</math> días. 

Las gráficas devueltas, son: 

{|
|-
| [[Archivo:EulerS0100.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100]] || [[Archivo:EulerS100zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 100 ampliada]] || [[Archivo:EulerS100cuarta.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para la reducción de infectados a la cuarta parte]]
|}

Como se puede observar en las gráficas, el número de infectados descenderá más lentamente que en el caso anterior (<math>S=0</math>), puesto que aquí sí que habrá personas susceptibles a contraer la enfermedad, que se convertirán en infectadas. Ésto también queda reflejado en el tiempo que tarda en reducirse el número de personas infectadas a la cuarta parte, que en este caso es mucho mayor.

===. <math> S=200 </math>===
Al resolver la ecuación de manera analítica, se obtiene: 
<math> I=2000e^{0.29t}</math> 

Las gráficas resultantes son: 
{|
|-
| [[Archivo:EulerS200.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200]] || [[Archivo:EulerS200zoom.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para S constante de valor 200 ampliada]]
|}

En la gráfica se puede observar que el número de personas infectadas crecerá exponencialmente a lo largo del tiempo. 

Analíticamente se demuestra que ésto ocurrirá a partir de <math> S\geq 104 </math>. 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI</math> 
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales, 
<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I</math> 
La ecuación anterior alcanza su punto crítico en <math> S=104 </math> . 

Por tanto, para <math> S=200 </math> no se puede obtener el tiempo que tardará el número de infectados en reducirse a la cuarta parte, puesto que la función es creciente.

==. Análisis del sistema por el método de Euler==
Para este análisis, se considera el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: 
<math>h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}</math> 

Éste ha sido el programa utilizado: 
[[Archivo:diego1.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:diego2.jpg|400px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(800,20)]]

{{matlab|codigo=
h1=0.1;
h2=0.01;
h3=0.001;
h4=0.0001;
t0=0;
tN=40;
s0=800;
I0=20;
N1=round((tN-t0)/h1);
N2=round((tN-t0)/h2);
N3=round((tN-t0)/h3);
N4=round((tN-t0)/h4);
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;
t3=t0:h3:tN;
t4=t0:h4:tN;
seuler1=zeros(1,N1+1);
ieuler1=zeros(1,N1+1);
seuler2=zeros(1,N2+1);
ieuler2=zeros(1,N2+1);
seuler3=zeros(1,N3+1);
ieuler3=zeros(1,N3+1);
seuler4=zeros(1,N4+1);
ieuler4=zeros(1,N4+1);
%imponemos la condicion inicial
seuler1(1,1)=800;
seuler2(1,1)=800;
seuler3(1,1)=800;
seuler4(1,1)=800;
ieuler1(1,1)=20;
ieuler2(1,1)=20;
ieuler3(1,1)=20;
ieuler4(1,1)=20;
%construimos los bucles que nos den los resultados
for i=1:N1
seuler1(i+1)=seuler1(i)+h1*(-0.003*seuler1(i)*ieuler1(i));
ieuler1(i+1)=ieuler1(i)+h1*((0.003*seuler1(i)*ieuler1(i))-0.31*ieuler1(i));
end
figure(1);
hold on
plot(t1,seuler1,'k')
plot(t1,ieuler1,'g')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N2
seuler2(i+1)=seuler2(i)+h2*(-0.003*seuler2(i)*ieuler2(i));
ieuler2(i+1)=ieuler2(i)+h2*((0.003*seuler2(i)*ieuler2(i))-0.31*ieuler2(i));
end
figure(2);
hold on
plot(t2,seuler2)
plot(t2,ieuler2,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N3
seuler3(i+1)=seuler3(i)+h3*(-0.003*seuler3(i)*ieuler3(i));
ieuler3(i+1)=ieuler3(i)+h3*((0.003*seuler3(i)*ieuler3(i))-0.31*ieuler3(i));
end
figure(3);
hold on
plot(t3,seuler3)
plot(t3,ieuler3,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
clear('i');
for i=1:N4
seuler4(i+1)=seuler4(i)+h4*(-0.003*seuler4(i)*ieuler4(i));
ieuler4(i+1)=ieuler4(i)+h4*((0.003*seuler4(i)*ieuler4(i))-0.31*ieuler4(i));
end
figure(4);
hold on
plot(t4,seuler4)
plot(t4,ieuler4,'r')
legend('poblacion de riesgo','enfermos','location','best');
hold off
figure(5)
hold on
plot(t1,seuler1,'k');
plot(t2,seuler2,'g');
plot(t3,seuler3,'r');
plot(t4,seuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
figure(6)
hold on
plot(t1,ieuler1,'k');
plot(t2,ieuler2,'g');
plot(t3,ieuler3,'r');
plot(t4,ieuler4);
legend('0.1','0.01','0.001','0.0001','location','best');
hold off
%calculamos el maximo y su posicion, usamos el paso mas pequeño dado que nos dara mayor precision
[maximo posicion]=max(ieuler4(1,:));
tiempohastaelmaximo=posicion*h4
maximo
}} 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(800,20) </math>===
Ésta son dos de las gráficas resultado:
 
{|
|-
| [[Archivo:8002001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:80020001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados <math>I_{max}=505</math> y el momento en el que ésto ocurrirá <math>t=2.7</math> días. Se tienen en cuenta los datos obtenidos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos. 

 

===. <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40) </math>===
Se obtendrán las siguientes gráficas: 
{|
|-
| [[Archivo:1401.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.1]] || [[Archivo:14001.jpg|thumb|300px|left|Gráfica para h=0.01]]
|} 

Se puede observar, que para el paso <math>h=0.1</math>, el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el método de Euler tiene deficiencias cuando se trabaja con derivadas elevadas como es el caso. Sin embargo, al disminuirlo a <math>h=0.01</math> o valores inferiores, la gráfica guarda más relación con la solución real.

Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas <math>I_{0}</math> es muy elevado y al disminuir el valor del paso, el programa aproxima mejor la solución. 

Ésta es la comparación de las distintas poblaciones para los diferentes valores de h:

[[Archivo:diego3.jpg|500px|thumb||left|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de enfermos para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]
[[Archivo:diego4.jpg|500px|thumb||right|Comparación entre las gráficas obtenidas para la población de susceptible para cada paso con (S0,I0)=(10000,40)]]

Utilizando el menor paso, para que el programa sea lo más exacto posible, se obtiene el número máximo de enfermos esperado, que es <math>I_{max}=9465</math> y cuándo se producirá <math>t=0.34</math> días. Al haber utilizado <math>h=10^{-4}</math>, el error mencionado anteriormente no influye.

==. Análisis del sistema por Runge-Kutta==
A continuación se resuelve el sistema por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden, partiendo de los mismos datos que los utilizados para el método de Euler: 

<math>\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.</math> 

El programa por el que se obtiene la solución, a partir de los datos iniciales <math>(S_{0},I_{0})</math>, es el siguiente:
[[Archivo:RK80020.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RK1000040.jpg|350px|thumb||right|Runge-Kutta para (S0,I0)=(1000,40)]]
{{matlab| codigo =
clear all
t0=0;tN=20;
h=0.1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
%VALORES
a=0.003; b=0.3; c=0.01;
%x0=[800,20];
S0=input('Introduzca el valor S0: ');
I0=input('Introduzca el valor I0: ');
S=zeros(1,N+1);
I=S;
S(1)=S0;
I(1)=I0;

x=zeros(2,N+1);
%Es una matriz de dos filas y N+1 columnas
%Inicializamos el bucle
%x(:,1)=x0;
%xx=x0;
for i=1:N
k11=-a*S(i)*I(i);
k12=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
k21=-a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12);
k22=a*(S(i)+(h/2)*k11)*(I(i)+(h/2)*k12)-b*(I(i)+(h/2)*k12)-c*(I(i)+(h/2)*k12);
k31=-a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22);
k32=a*(S(i)+(h/2)*k21)*(I(i)+(h/2)*k22)-b*(I(i)+(h/2)*k22)-c*(I(i)+(h/2)*k22);
k41=-a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32);
k42=a*(S(i)+h*k31)*(I(i)+h*k32)-b*(I(i)+h*k32)-c*(I(i)+h*k32);

S(i+1)=S(i)+(h/6)*(k11+2*k21+2*k31+k41);

I(i+1)=I(i)+(h/6)*(k12+2*k22+2*k32+k42);

end
hold on
plot(t,S)
plot(t,I,'r')
legend('S','I')
}}

Este método comparado con Euler, da lugar a las gráficas: 
[[Archivo:RKcomp80020.jpg|400px|thumb||left|Runge-Kutta para (S0,I0)=(800,20)]]
[[Archivo:RKcomp1000040.jpg|400px|thumb||centre|Runge-Kutta para (S0,I0)=(10000,40)]] 

En la primera gráfica, se observa que los métodos de Euler y Runge-Kutta dan resultados similares. 
Sin embargo, en la segunda gráfica, como ya se ha explicado anteriormente, el método de Euler para los valores iniciales <math> (S_{0},I_{0})=(10000,40)</math> conforme aumenta el paso, más impreciso se vuelve. En cambio, el método Runge-Kutta consigue aproximarlo de manera más exacta. 

Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva un excesivo trabajo operativo producido por su alta complejidad y duración. Ésto deriva en que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.

==. Análisis del sistema con parámetro <math> a </math> variable ==
En este caso, se tiene que el parámetro <math> a </math>, es una función que depende del tiempo: <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> 

Además se tiene unos datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640
\end{matrix}\right.</math> 

Tomando dichos datos, se ha utilizado el método de Heun para aproximar la solución y así poder dibujar la gráfica: 
[[Archivo:avariable.jpg|400px|thumb||right|]]
{{matlab| codigo=
clear all; clf

t0=0; tN=20; S0=1600; I0=40; h=0.1; %a=0.003;
b=0.3; c=0.01;

N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN; %vector n+1 componentes
S=zeros(1,N+1);
a=S;
S(1)=S0;
I=S;
I(1)=I0;

for i=1:N
a(i)=0.003/(1+t(i));
Ss=S(i)-h*a(i)*I(i)*S(i);
Ii=I(i)+h*(a(i)*I(i)*S(i)-b*I(i)-c*I(i)); %aproximaciones intermedias de Heun

S(i+1)=S(i)+h/2*(-a(i)*S(i)*I(i)-a(i)*Ii*Ss);

I(i+1)=I(i)+h/2*(a(i)*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i)+a(i)*Ss*Ii-b*Ii-c*Ii);

end
[fila,col]=find(I==max(I)); %hallar la posicion del maximo dentro del vector.
plot(t,S,'r')
hold on
plot(t,I)
legend('Susceptibles','Infectados')
}}

El coeficiente <math> a(t)=\frac{0.003}{1+t} </math> , varía con respecto al tiempo, tal y como indica la fórmula. 

Se puede observar que a medida que pasa el tiempo el coeficiente variable <math>a</math> disminuye, esto puede ser debido a la inmunidad, que se basa en aumentar la resistencia frente a una enfermedad infecciosa y es directamente proporcional al tiempo. Durante la primera fase de una infección el crecimiento es muy rápido, porque el sistema inmune ni conoce ni sabe combatir esa infección. Una vez alcanzado el máximo, el cuerpo humano ya ha identificado el anticuerpo y sabe como combatirlo debido a que el sistema inmune humano tiene memoria. Esto provoca que el número de infectados empiece a descender rápidamente, llegando incluso hasta su desaparición, ya sea por fallecimiento o curación de los mismos. En consecuencia, el número de personas susceptibles a contraer la enfermedad también descenderá, llegando incluso a permanecer constante cuando la población de infectados desaparezca.

==. Calibración del coeficiente <math> a </math>==
Para calibrar el coeficiente <math> a </math>, se tomará una situación similar a la del apartado anterior, tomando <math> a </math> constante en el intervalo <math>a\in [0.0005, 0.002]</math>. A partir de una experiencia previa se conoce que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días. 

El programa utilizado para resolver este apartado requiere que se divida el intervalo al que pertenece <math> a </math> en un conjunto de valores equidistribuidos, para ello se ha tomado un paso de <math> h=10^{-4} </math>. 
Se usará un bucle para calcular el máximo para cada valor de <math> a </math>, y se seleccionará aquel que esté más cerca de 5 días, momento en el que el número de personas infectadas alcanza su punto más alto. 

Se han utilizado los siguientes datos iniciales: 
<math>\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640\\
a(t)=\frac{0.003}{1+t}
\end{matrix}\right.</math> 

{{matlab| codigo=
ha=0.0001;
a0=0.0005;
aN=0.002;
a=a0:ha:aN;
Na=round((aN-a0)/ha);
ht=0.01;
t0=0;
tN=10;
t=t0:ht:tN;
Nt=round((tN-t0)/ht);
S0=1600;
I0=40;
b=0.3;
c=0.01;
S=zeros(1,Nt+1);
I=zeros(1,Nt+1);
maximos=zeros(1,Na);
I(1)=I0;
S(1)=S0;
for i=1:Na
aaux=a(i);
for j=1:Nt
I(j+1)=I(j)+ht*((aaux*S(j)*I(j))-b*I(j)-c*I(j));
S(j+1)=S(j)+ht*(-aaux*S(j)*I(j));
end
[maximo,posicion]=max(I(1,:));
tiempohastamax=posicion*ht;
maximos(1,i)=tiempohastamax;
end
maximos;
difemaximos=zeros(size(maximos));
for j=1:15;
difemaximos(1,j)=abs(maximos(j)-5);
end
[minimo posicionminimo]=min(difemaximos(1,:));
posicionminimo;
aparamaximoen5dias=a(posicionminimo)
}}

El programa devuelve el valor para el cual <math>a</math> alcanza su máximo para un tiempo <math>t=5</math> días. Éste valor será <math>a=0.0008</math>.

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T12:36:15Z

Pedro palacios: /* . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T12:34:38Z

Pedro palacios: /* . S=100 */

Archivo:EulerS100.jpg

2015-03-05T12:33:24Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T12:32:50Z

Pedro palacios: /* . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T12:26:45Z

Pedro palacios: /* . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T12:20:30Z

Pedro palacios: /* . S=0 */

Archivo:EulerS0.jpg

2015-03-05T12:07:53Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T11:56:34Z

Pedro palacios: /* . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T11:41:36Z

Pedro palacios: /* . ANÁLISIS DEL SISTEMA CON PARÁMETRO a VARIABLE */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T11:40:15Z

Pedro palacios: /* . CALIBRACIÓN DEL COEFICIENTE a */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-05T11:37:28Z

Pedro palacios: /* . CALIBRACIÓN DEL COEFICIENTE a */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-04T14:45:48Z

Pedro palacios: /* . INTERPRETACIÓN DEL MODELO */

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-03-04T14:44:30Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-02-26T11:35:37Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-02-26T11:24:09Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-02-26T11:20:08Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-02-26T10:57:57Z

Pedro palacios:

Modelos epidemiológicos. Grupo C14

2015-02-26T10:52:09Z

Pedro palacios: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Palacios Pint...»

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-14T21:43:19Z

Pedro palacios: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==
[[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
Al girar en torno a un eje <math> \vec{w} </math> unitario con una variación angular
dada por la funcion <math> \theta (t) </math>, los puntos tendrán una trayectoria
circular y los radiovectores de dichos puntos ser verán afectados por una rotación,
como puede observarse en la figura de la derecha. 
sea <math> r_{o}</math> el radiovector del punto en t=0

<math>r(t)=R(\theta (t),\vec{w})\cdot\vec{r_{o}}</math> 
de esta expresión también
podemos deducir que: 

<math>\vec{r_{o}}=R^{-1}(\theta (t),\vec{w})\cdot\vec{r(t)}</math> 

debido a la ortogonalidad de las rotaciones podemos expresar esto como: 

<math>\vec{r_{o}}=R^{T}(\theta (t),\vec{w})\cdot\vec{r(t)}</math> 

derivando la primera expresión obtenemos 

<math>\frac{\partial \vec{r}(t)}{\partial t}=\frac{\partial R \theta (t)}{\partial t}\cdot \vec{r_{o}}</math> 

sustituyendo el valor de <math> \vec{r_{o}} </math> y cambiando de notación expresamos la velocidad
como: 

<math>\frac{\partial \vec{r}(t)}{\partial t}=\dot{R}\cdot R^{T}\cdot \vec{r}</math>
donde
<math>\dot{R}\cdot R^{T}=\Omega </math> es la velocidad angular,
el producto de estas dos matrices: 
 

<math>\dot{R}=\begin{pmatrix}
-sen\theta +sen\theta\cdot (w_{1})^{2} &sen\theta w_{1}w_{2}-w_{3}cos\theta &sen\theta w_{1}w_{3}+w_{2}cos\theta \\
sen\theta w_{2}w_{1}+w_{3}cos\theta &-sen\theta+sen\theta(w_{2})^{2} &sen\theta w_{2}w_{3}-w_{1}cos\theta \\
sen\theta w_{3}w_{1}-w_{2}cos\theta &sen\theta w_{3}w_{2}+w_{1}cos\theta & -sen\theta+sen\theta (w_{3})^{2}
\end{pmatrix}</math> 
 

<math>R^{T}=\begin{pmatrix}
cos\theta+(1-cos\theta)(w_{1})^2 &(1-cos\theta)w_{2}w_{1}+w_{3}sen\theta &(1-cos\theta)w_{3}w_{1}-w{2}sen\theta \\
(1-cos\theta)w_{1}w_{2}-w_{3}sen\theta&cos\theta+(1-cos\theta)(w_{2})^{2} &(1-cos\theta)w_{3}w_{2}+w_{1}sen\theta \\
(1-cos\theta)w_{1}w_{3}+w_{2}sen\theta &(1-cos\theta)w_{2}w_{3}-w_{1}sen\theta &cos\theta+(1-cos\theta)(w_{3})^{2}
\end{pmatrix}</math> 
 

Realizar el producto de esas dos matrices puede ser realmente tedioso, por lo que vamos a intentar tomar
caminos alternativos para demostrar que es antisimétrica y despues hayar sus componentes. 

dado que una rotación es ortogonal se cumplira: 

<math> R\cdot R^{T}=I </math> 

derivando esta expresión en funcion del tiempo obtenemos 

<math>\frac{\partial R}{\partial t}\cdot R^{T}+\frac{\partial R^{T}}{\partial t}\cdot R=\frac{\partial I}{\partial t}</math> 

o lo que es lo mismo 

<math>\dot{R}\cdot R^{T}+\dot{R^{T}}\cdot{R}=0</math> 

por lo que la matriz 
<math>\dot{R} \cdot R^{T}</math> 
antes definida como velocidad angular debe ser antisimétrica. 
 

Existe otra manera de demostrar la antisimetría que ademas nos permite conocer las componentes del tensor
velocidad angular sin realizar la multiplicación de matrices. 

al ser un conjunto de puntos en rotación pura donde no existe traslación, por el campo de velocidades
podemos definir la velocidad de cada punto como: 

<math>\vec{v_{i}}=\Omega \times \vec{r_{i}}</math> 

donde <math> \Omega </math> es el vector velocidad angular, de dirección la del versor <math> \vec{w} </math> y módulo
el de <math> \dot{\theta} </math>, la velocidad angular en esta fórmula actua como un tensor <math> (\Omega ) \times </math>
cuyas componentes podemos calcular por la propiedad fundamental del los tensores. 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=g_{i}\cdot \left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \cdot g_{j}\right ]</math> 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=g_{i}\cdot (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times g_{j}</math> 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot \left [g_{i},\vec{w},g_{j} \right ]</math> 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot \left [g_{i},\vec{w^{k}}\cdot g_{k},g_{j} \right ]</math> 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot -w^{k}\left [g_{i},g_{j},g_{k} \right ]</math> 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \| \cdot -w^{k}\cdot (+/-) \sqrt{g} \varepsilon _{ijk}</math> 

en una base ortonormal orientada positiva 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot -w^{k}\varepsilon _{ijk}</math> 

desarrollamos el indice k 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot(-w^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-w^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-w^{3} \cdot \varepsilon _{ij3})</math> 

desarrollamos la matrices 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=\left \| \dot{\theta} \right \|\cdot(-w^{1}\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0&0 &1 \\
0&-1 &0
\end{pmatrix}-w^{2}\begin{pmatrix}
0 &0 &-1 \\
0 &0 &0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}-w^{3}\begin{pmatrix}
0 &1 &0 \\
-1 & 0&0 \\
0 &0 &0
\end{pmatrix})</math> 

finalmente operando obtenemos la matriz de la velocidad angular, antisimetrica tal y como sabíamos que tenia que quedar y de componentes: 

<math>\left [ (\left \|\dot{\theta} \right \|\vec{w})\times \right ]_{ij}=(\Omega )=\begin{pmatrix}
0 &-\left \| \dot{\theta} \right \|w^{3} &\left \| \dot{\theta} \right \|w^{2} \\
\left \| \dot{\theta} \right \|w^{3} & 0 &-\left \| \dot{\theta} \right \|w^{1} \\
-\left \| \dot{\theta} \right \|w^{2} &\left \| \dot{\theta} \right \|w^{1} & 0
\end{pmatrix}</math>

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
[[Archivo: Steinerg22.jpg|200px|thumb||right|podemos observar que r'=r-a]]
El teorema de Steiner relaciona el tensor de inercia de cualquier punto del espacio
con el tensor de inercia en el centro de masas a traves del vector <math>\vec{a}</math> que une el centro
de masas con el punto del que se desea obtener el tensor de inercia. 

<math>I_{p}=I_{g}+m\cdot (\left \| a \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-a\otimes a)</math> 

Dado el radiovector de los puntos <math>\vec{r_{i}}</math> desde el centro de masas, ubicado en el origen y el vector <math>\vec{a}</math>
que une G con P, los radiovectores respecto del nuevo punto P serán: 

<math>\vec{{r_{i}}'}=\vec{r_{i}}-\vec{a}</math> 

Por la definición de tensor de inercia que obtuvimos en el apartado anterior deducimos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{{r_{i}}'} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot\vec{{r_{i}}'}\otimes\vec{{r_{i}}'})</math> 

sustiuyendo el valor de <math>\vec{{r_{i}}'}</math> obtenemos la expresión: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{r_{i}}-\vec{a} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes(\vec{r_{i}}-\vec{a}))</math> 

desarrollamos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot (\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes (\vec{r_{i}}-\vec{a}) \right ]</math> 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+(\vec{a}\cdot\vec{a}) \right ]\cdot\textbf{1}-m_{i}\left[\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{r_{i}}\otimes(-\vec{a})+(-\vec{a})\otimes\vec{r_{i}}+(-\vec{a})\otimes(-\vec{a}) \right ]\right]</math> 

ordenando y simplificando 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ \left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^2 \right ]\cdot\mathbf{1}-m_{i}(\vec{r_{i}}\otimes \vec{r_{i}}-\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}-\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{a}\otimes\vec{a})\right ]</math> 

desarrollando y ordenando lo podemos expresar como: 

<math>I_{p}=\mathbf{\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}} \right ]}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

donde como puede apreciarse el primer sumatorio resaltado en letra negrita corresponde
al momento de inercia en G por lo que podemos expresar la igualdad como: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

desarollamos con la masa y obtenemos: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}}m_{i})+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+(m_{i}\vec{r_{i}})\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes(m_{i}\vec{r_{i}})-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Por la definición de centro de masas 

<math>\sum m_{i}\cdot\vec{r_{i}}=0</math> 

Por lo que en nuestra expresión queda 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot0)+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+0\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes0-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Este es el paso que limita que el teorema de Steiner solo funcione para el centro de gravedad, si
tenemos el tensor de inercia en un punto P distinto de G y queremos calcular un tensor de inercia
en Q tambien distinto de G, tendriamos que aplicar steiner dos veces, una de P a G y otra de G a Q. 

ya simplificando los terminos que se anulan resulta 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

que es el teorema de Steiner

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numéricamente que: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math> 

En apartados anteriores hemos demostrado analíticamente que: 

<math>\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w} </math> 

Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si obteniendo la energía cinética mediante un programa por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple, siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetría la parte izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}-I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores que llevan la dirección de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este código calcula los autovectores de Ig y
%pinta los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-14T17:26:33Z

Pedro palacios: /* . TEOREMA DE STEINER */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==
[[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
Cuando una o varias partículas se mueven en torno a un eje generado por un vector unitario <math>\vec{w}</math> con una variación
angular función del tiempo, como podemos observar en la imagen dichas partículas
se moverán en trayectorias circulares y sus radiovectores sufrirán una rotación
de eje el eje de giro y de angulo variable en función del tiempo. 

sea <math>r_{0}</math> el radiovector de una partícula en t=0, podremos expresar
el nuevo radiovector en cualquier instante como una rotación función del tiempo
<math>r(t)=R(\theta(t) ,\vec{w})\cdot\vec{r_{0}}</math> 
dado que las rotaciones son tensores ortogonales se cumplira: 
<math>R^{t}\cdot R=I</math> 
derivando esta expresión en función del tiempo obtenemos: 
<math>\frac{\partial R^{t}}{\partial t}\cdot R+\frac{\partial R}{\partial t}\cdot R^{t}=\frac{\partial I}{\partial t}</math> 
<math>\dot{R^{t}}\cdot R+\dot{R}\cdot R^{t}=0</math>

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
[[Archivo: Steinerg22.jpg|200px|thumb||right|podemos observar que r'=r-a]]
El teorema de Steiner relaciona el tensor de inercia de cualquier punto del espacio
con el tensor de inercia en el centro de masas a traves del vector <math>\vec{a}</math> que une el centro
de masas con el punto del que se desea obtener el tensor de inercia. 

<math>I_{p}=I_{g}+m\cdot (\left \| a \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-a\otimes a)</math> 

Dado el radiovector de los puntos <math>\vec{r_{i}}</math> desde el centro de masas, ubicado en el origen y el vector <math>\vec{a}</math>
que une G con P, los radiovectores respecto del nuevo punto P serán: 

<math>\vec{{r_{i}}'}=\vec{r_{i}}-\vec{a}</math> 

Por la definición de tensor de inercia que obtuvimos en el apartado anterior deducimos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{{r_{i}}'} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot\vec{{r_{i}}'}\otimes\vec{{r_{i}}'})</math> 

sustiuyendo el valor de <math>\vec{{r_{i}}'}</math> obtenemos la expresión: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{r_{i}}-\vec{a} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes(\vec{r_{i}}-\vec{a}))</math> 

desarrollamos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot (\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes (\vec{r_{i}}-\vec{a}) \right ]</math> 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+(\vec{a}\cdot\vec{a}) \right ]\cdot\textbf{1}-m_{i}\left[\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{r_{i}}\otimes(-\vec{a})+(-\vec{a})\otimes\vec{r_{i}}+(-\vec{a})\otimes(-\vec{a}) \right ]\right]</math> 

ordenando y simplificando 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ \left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^2 \right ]\cdot\mathbf{1}-m_{i}(\vec{r_{i}}\otimes \vec{r_{i}}-\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}-\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{a}\otimes\vec{a})\right ]</math> 

desarrollando y ordenando lo podemos expresar como: 

<math>I_{p}=\mathbf{\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}} \right ]}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

donde como puede apreciarse el primer sumatorio resaltado en letra negrita corresponde
al momento de inercia en G por lo que podemos expresar la igualdad como: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

desarollamos con la masa y obtenemos: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}}m_{i})+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+(m_{i}\vec{r_{i}})\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes(m_{i}\vec{r_{i}})-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Por la definición de centro de masas 

<math>\sum m_{i}\cdot\vec{r_{i}}=0</math> 

Por lo que en nuestra expresión queda 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot0)+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+0\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes0-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Este es el paso que limita que el teorema de Steiner solo funcione para el centro de gravedad, si
tenemos el tensor de inercia en un punto P distinto de G y queremos calcular un tensor de inercia
en Q tambien distinto de G, tendriamos que aplicar steiner dos veces, una de P a G y otra de G a Q. 

ya simplificando los terminos que se anulan resulta 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

que es el teorema de Steiner

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numéricamente que: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math> 

En apartados anteriores hemos demostrado analíticamente que: 

<math>\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w} </math> 

Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si obteniendo la energía cinética mediante un programa por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple, siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetría la parte izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores que llevan la dirección de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este código calcula los autovectores de Ig y
%pinta los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-14T16:22:37Z

Pedro palacios: /* . TEOREMA DE STEINER */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==
[[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
Cuando una o varias partículas se mueven en torno a un eje generado por un vector unitario <math>\vec{w}</math> con una variación
angular función del tiempo, como podemos observar en la imagen dichas partículas
se moverán en trayectorias circulares y sus radiovectores sufrirán una rotación
de eje el eje de giro y de angulo variable en función del tiempo. 

sea <math>r_{0}</math> el radiovector de una partícula en t=0, podremos expresar
el nuevo radiovector en cualquier instante como una rotación función del tiempo
<math>r(t)=R(\theta(t) ,\vec{w})\cdot\vec{r_{0}}</math> 
dado que las rotaciones son tensores ortogonales se cumplira: 
<math>R^{t}\cdot R=I</math> 
derivando esta expresión en función del tiempo obtenemos: 
<math>\frac{\partial R^{t}}{\partial t}\cdot R+\frac{\partial R}{\partial t}\cdot R^{t}=\frac{\partial I}{\partial t}</math> 
<math>\dot{R^{t}}\cdot R+\dot{R}\cdot R^{t}=0</math>

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
[[Archivo: Steinerg22.jpg|200px|thumb||right|podemos observar que r'=r-a]]
El teorema de Steiner relaciona el tensor de inercia de cualquier punto del espacio
con el tensor de inercia en el centro de masas a traves del vector <math>\vec{a}</math> que une el centro
de masas con el punto del que se desea obtener el tensor de inercia. 

<math>I_{p}=I_{g}+m\cdot (\left \| a \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-a\otimes a)</math> 

Dado el radiovector de los puntos <math>\vec{r_{i}}</math> desde el centro de masas, ubicado en el origen y el vector <math>\vec{a}</math>
que une G con P, los radiovectores respecto del nuevo punto P serán: 

<math>\vec{{r_{i}}'}=\vec{r_{i}}-\vec{a}</math> 

Por la definición de tensor de inercia que obtuvimos en el apartado anterior deducimos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{{r_{i}}'} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot\vec{{r_{i}}'}\otimes\vec{{r_{i}}'})</math> 

sustiuyendo el valor de <math>\vec{{r_{i}}'}</math> obtenemos la expresión: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\cdot\left \|\vec{r_{i}}-\vec{a} \right \|^{2}\cdot \mathbf{1}-mi\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes(\vec{r_{i}}-\vec{a}))</math> 

desarrollamos: 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot (\vec{r_{i}}-\vec{a})\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}-\vec{a})\otimes (\vec{r_{i}}-\vec{a}) \right ]</math> 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+(\vec{a}\cdot\vec{a}) \right ]\cdot\textbf{1}-m_{i}\left[\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{r_{i}}\otimes(-\vec{a})+(-\vec{a})\otimes\vec{r_{i}}+(-\vec{a})\otimes(-\vec{a}) \right ]\right]</math> 

ordenando y simplificando 

<math>I_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left [ \left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-2(\vec{a}\cdot \vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^2 \right ]\cdot\mathbf{1}-m_{i}(\vec{r_{i}}\otimes \vec{r_{i}}-\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}-\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}+\vec{a}\otimes\vec{a})\right ]</math> 

desarrollando y ordenando lo podemos expresar como: 

<math>I_{p}=\mathbf{\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}} \right ]}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

donde como puede apreciarse el primer sumatorio resaltado en letra negrita corresponde
al momento de inercia en G por lo que podemos expresar la igualdad como: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}m_{i}\left [( -2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}})+\left \| \vec{a} \right \|^{2})\cdot\mathbf{1}+\vec{r_{i}}\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes\vec{r_{i}}-\vec{a}\otimes \vec{a} \right ]</math> 

desarollamos con la masa y obtenemos: 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}}m_{i})+m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}+(m_{i}\vec{r_{i}})\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes(m_{i}\vec{r_{i}})-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Por la definición de centro de masas 

<math>\sum m_{i}\cdot\vec{r_{i}}=0</math> 

Por lo que en nuestra expresión queda 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot0)+m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}+0\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes0-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

Este es el paso que limita que el teorema de Steiner solo funcione para el centro de gravedad, si
tenemos el tensor de inercia en un punto P distinto de G y queremos calcular un tensor de inercia
en Q tambien distinto de G, tendriamos que aplicar steiner dos veces, una de P a G y otra de G a Q. 

ya simplificando los terminos que se anulan resulta 

<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math> 

que es el teorema de Steiner

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numéricamente que: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math> 

En apartados anteriores hemos demostrado analíticamente que: 

<math>\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w} </math> 

Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si obteniendo la energía cinética mediante un programa por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple, siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetría la parte izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores que llevan la dirección de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este código calcula los autovectores de Ig y
%pinta los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-13T17:18:50Z

Pedro palacios: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==
[[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
Cuando una o varias partículas se mueven en torno a un eje generado por un vector unitario <math>\vec{w}</math> con una variación
angular función del tiempo, como podemos observar en la imagen dichas partículas
se moverán en trayectorias circulares y sus radiovectores sufrirán una rotación
deje eje el eje de giro y de angulo variable en función del tiempo. 

sea <math>r_{0}</math> el radiovector de una partícula en t=0, podremos expresar
el nuevo radiovector en cualquier instante como una rotación función del tiempo
<math>r(t)=R(\theta(t) ,\vec{w})\cdot\vec{r_{0}}</math> 
dado que las rotaciones son tensores ortogonales se cumplira: 
<math>R^{t}\cdot R=I</math> 
derivando esta expresión en función del tiempo obtenemos: 
<math>\frac{\partial R^{t}}{\partial t}\cdot R+\frac{\partial R}{\partial t}\cdot R^{t}=\frac{\partial I}{\partial t}</math> 
<math>\dot{R^{t}}\cdot R+\dot{R}\cdot R^{t}=0</math>

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento de angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Archivo:Esquemarotacion.jpg

2014-12-13T16:52:43Z

Pedro palacios:

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-13T16:51:12Z

Pedro palacios: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Cuando una o varias partículas se mueven en torno a un eje determinado con una variación
angular función del tiempo, como podemos observar en la imagen dichas partículas
se moverán en trayectorias circulares y sus radiovectores sufrirán una rotación
deje eje el eje de giro y de angulo variable en función del tiempo.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento de angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-13T14:10:05Z

Pedro palacios: /* . RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas.
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
Construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento de angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

se define energía cinética de un sistema de n partículas como: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{v_{i}} \right \|^{2}</math> 

donde la velocidad de las partículas también se puede expresar como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times \vec{v_{i}}</math> 

sustituyendo: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

operamos esta expresión para intentar dejarla en función del tensor de inercia. 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|^{2}</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\left \| \vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|\cdot\left \|\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right \|</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\cdot\sqrt{\left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2}}\right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ \left \| \vec{w} \right \|^{2}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})^{2} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\left [ (\vec{w}\cdot\vec{w})\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}})\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\vec{w}\left [ \vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{w}\cdot\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}\cdot\vec{w}\cdot\left [ \vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\vec{r_{i}} \right ]</math> 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\vec{w}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w})\cdot\vec{r_{i}} \right ]</math> 

Expresamos la fórmula de manera tensorial: 

<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\vec{w}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]\cdot\vec{w}</math> 

llamamos I a: 

<math>I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot(\vec{r_{i}}\otimes\vec{r_{i}}) \right ]</math> 

que como demostramos en el apartado anterior, es el tensor de inercia 

podemos expresar la energía cinética como: 

<math>E_{c}=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot\mathbf{I}\cdot\vec{w}</math> 

tal y como queríamos demostrar 

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-13T12:39:13Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==

Siendo el momento de angular de un sistema de particulas: 

<math>L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot \vec{v_{i}})</math>. 

En dicha fórmula tambien es posible expresar la velocidad
de las particulas como: 

<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math> 

resultando la expresión: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}}\times(m_{i}\cdot(\vec{w}\times\vec{r_{i}})) </math> 

La desarrollamos empleando la regla de expulsión. 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\vec{w}\cdot (\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}m_{i}) \right ] </math> 

ordenando y simplificando la expresión obtenemos: 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{r_{i}})-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

<math> L=\sum_{i=i}^{n}m_{i}\left [\vec{w}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}-\vec{r_{i}}\cdot(\vec{r_{i}}\cdot\vec{w}) \right ] </math> 

pudiendo construir la expresión tensorial de dicha fórmula: 

<math> L=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ]\cdot\vec{w} </math> 

si llamamos I a: 

<math> I=\sum_{i=1}^{n}\left [ m_{i}\cdot\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2}\cdot\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{r_{i}} \otimes\vec{r_{i}} \right ] </math> 

tal y como queriamos demostrar podemos expresar el momento angular L como: 

<math> L=I\cdot\vec{w} </math> 

donde I es el tensor de inercia.

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-13T10:36:35Z

Pedro palacios: /* . ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T20:12:10Z

Pedro palacios: /* Obtención masa y posición G */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
La masa total sería aproximadamente 81,79kg

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T20:00:42Z

Pedro palacios: /* Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3} */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===
Construimos un programa que calcule las componentes de I respecto de la base e1,e2,e3,
las componentes del tensor resultan ser:
<math>
\begin{pmatrix}
663,100 &-0,688 &13,047 \\
-0,688&662,100 &-36,932 \\
13,047 &-36,932 &883,200
\end{pmatrix}
</math>
y el programa que lo calcula tiene este código:
{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

siendo el resultado del momento respecto del eje Z

<math>
\begin{pmatrix}
13,043\\
-36,932\\
883,200
\end{pmatrix}
</math>

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:39:19Z

Pedro palacios: /* . RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:37:55Z

Pedro palacios: /* . RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia:
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:35:24Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:34:33Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>:

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:32:57Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

=== Obtención masa y posición G===

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

=== Tensor de inercia respecto al centro de masas===

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia nos basamos en las siguientes fórmulas:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz</math>:

<math>I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz</math>:

<math>I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz</math>:

<math>I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>:

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>:

conocido el tensor de inercia en el origen como:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

{{matlab| codigo=
%momento de inercia
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-ycg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-ycg).*(xx-xcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-xcg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-xcg).^2+(zz-zcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-ycg).*(zz-zcg)).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-ycg).^2+(xx-xcg).^2).*dens.*(vv.^2+uu.^2);
IX=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
IY=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
IZ=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
IXY=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
IXZ=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
IYZ=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
IGX=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
IGXY=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
IGXZ=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
IGY=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
IGYZ=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
IGZ=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
I=[IX IXY IXZ;
IXY IY IYZ;
IXZ IYZ IZ];
IG=[IGX -IGXY -IGXZ;
-IGXY IGY -IGYZ;
-IGXY -IGYZ IGZ];
}}

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:21:44Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>:
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Utilizamos para el cálculo de las integrales el método del trapecio.

[[Archivo: Figure9.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%centro de masas y masa
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*dens.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
f=dens.*(vv.^2+uu.^2);
M1=h*h*w2'*f*w1;
xcg=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
ycg=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zcg=0.05;
rcg=[xcg ycg zcg];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xcg,ycg,zcg,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

Archivo:Figure9.jpg

2014-12-05T19:21:25Z

Pedro palacios:

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:17:45Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>:

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:16:56Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:15:48Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

La masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua vienen dadas por:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int x\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>
<math>Y_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int y\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>
<math>Z_{G}=\frac{1}{M}\cdot \int z\rho (x,y,z)\cdot dx\cdot dy\cdot dz</math>

cuya parametrización es:

<math>X_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ Y_{G}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T19:00:04Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

[[Archivo: Figure8*.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%mallado y superficie
h=1/100;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
dens=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,dens)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}

Archivo:Figure8*.jpg

2014-12-05T18:59:35Z

Pedro palacios:

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T18:53:17Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T18:51:30Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas:
<math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>
que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T18:50:34Z

Pedro palacios: /* . TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).

La masa vendrá dada por la expresión:
<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>
donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.

Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como:
<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.

Esta placa está comprendida entre las parábolas:
<math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math> que parametrizamos de la siguiente forma:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T18:43:02Z

Pedro palacios:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}

==. TENSOR DE INERCIA RESPECTO A UN SÓLIDO==
En este apartado tratamos con sistemas de partículas con distribución continua de masa, por lo que en los cálculos se sustituirán los sumatorios por integrales sobre el sólido y las masas por una densidad d(x,y,z).
La masa vendrá dada por la expresión <math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math> donde <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>.
Tomamos una placa plana cuyas medidas están expresadas en metros, tiene grosor 0,1m y la densidad viene dada como <math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>.
Esta placa está comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math> que parametrizamos de la siguiente forma:
<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>

Movimiento de partículas. Grupo 22C

2014-12-05T18:21:55Z

Pedro palacios: /* . RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 22-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Palacios Pintor, Pedro

Lafita Gómez-Bravo, María

De la Torre Prado, Yago

Vidal Sánchez, Nieves }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Consideramos un conjunto de 20 partículas que inicialmente se encuentran en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi) = (cos(2πi/10),sin(2πi/10), i/10), i=1, 2, ..., 20 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que las partículas están unidas por alambres de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

==. VISUALIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
Creamos un programa para obtener representación de la posición de las partículas
Los ejes de la siguiente figura están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[0,2].
construimos los vectores con las coordenadas X, Y, Z de los 20 puntos y los representamos.

[[Archivo:Visualización1.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab| codigo=

%la primera parte del programa calcula las
%coordenadas de los puntos materiales.
%crea una matriz de 3 filas y 20 columnas,
%donde cada columna son las
%tres coordenadas de los puntos.
coordenadas=zeros(3,20);
for i=1:20
coordenadas(1,i)=(cos((2*pi*i)/10));
coordenadas(2,i)=(sin((2*pi*i)/10));
coordenadas(3,i)=(i/10);
end
clear('i');
%dibujamos la helice en 3d con los ejes
%pedidos,
%creamos los vectores de coordeandas X, Y, Z
coorX=zeros(1,20);
coorY=zeros(1,20);
coorZ=zeros(1,20);
for i=1:20
coorX(1,i)=coordenadas(1,i);
coorY(1,i)=coordenadas(2,i);
coorZ(1,i)=coordenadas(3,i);
end
clear('i');
%pintamos esos vectores
figure(1);
plot3(coorX,coorY,coorZ, '--. b');
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
}}

==. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==

Sabiendo que las partículas tienen masa mi=10+i/10, para calcular el centro de masas hacemos uso de la siguiente fórmula:
(∑inrimi)/M donde M es la masa total y ri= la distancia del punto al eje correspondiente X, Y ó Z. Calculamos
los valores ponderados que cada punto material aporta al centro de masas, los sumamos y representamos las coordenadas (XG,YG,ZG) en color verde.

[[Archivo: Visualización.jpg|400px|thumb|right||Visualización del centro de masas]]
{{matlab| codigo=
%calculamos una matriz con las masas
masas=zeros(1,20);
for i=1:20
masas(1,i)=(10+i/10);
end
clear('i');
%calculamos cuanto aporta cada
% particula al centro de masas
%y el centro de masas
auxXG=zeros(1,20);
auxYG=zeros(1,20);
auxZG=zeros(1,20);
for i=1:20
auxXG(1,i)=(masas(1,i)*coorX(1,i));
auxYG(1,i)=(masas(1,i)*coorY(1,i));
auxZG(1,i)=(masas(1,i)*coorZ(1,i));
end
clear('i');
masatotal=sum(masas);
auxXG=sum(auxXG);
auxYG=sum(auxYG);
auxZG=sum(auxZG);
%calculamos las coordenads del centro de masas y lo pintamos
XG=((1/masatotal)*auxXG);
YG=((1/masatotal)*auxYG);
ZG=((1/masatotal)*auxZG);
plot3(XG,YG,ZG,'. g ','linewidth',10)
hold off
figure(2);
}}

==. ROTACIÓN DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS==
===Matriz rotación con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Con la definición tensorial de la rotación, hacemos un programa que calcule las componentes de dicho tensor para un determinado ángulo θ=π/16 alrededor
de un eje generado por el tensor unitario w=e3. La matriz de rotación obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808 & -0,1951 &0 \\
0,1951&0,9808 &0 \\
0&0 & 1
\end{pmatrix}</math>
El código que nos permite obtener dicha matriz de componentes de la rotación es este:
{{matlab| codigo=
%esta parte del programa calcula la primera matriz de rotación
%calculamos la matriz de la rotación a partir de un eje de vector w
%y un ángulo theta
w=[0, 0 , 1];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion1=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion1=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Una vez tenemos la matriz del tensor rotación, realizamos el producto contraído de dicho tensor
con los radiovectores de los puntos materiales para realizarles el giro pedido. Representamos las
nuevas coordenadas de los puntos junto con las originales para que el lector pueda apreciar la
transformación
[[Archivo: Rotacion1.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
%separamos los vectores directores de
%cada particula
%y les hacemos la rotación
coorxR1=zeros(1,20);
cooryR1=zeros(1,20);
coorzR1=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion1*vaux;
coorxR1(1,i)=rotpunto(1);
cooryR1(1,i)=rotpunto(2);
coorzR1(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR1,cooryR1, coorzR1, '--. g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--p b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1 y angulo θ= π/16===

De manera análoga al apartado 3.1, obtenemos la matriz de rotación asociada al eje ω=e1 y de ángulo θ=π/16.
la matriz obtenida por el programa es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0&0,9808 &-0,1951 \\
0&0,1951 & 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
Obtenida con un programa muy similar al del apartado anterior pero adaptado a los nuevos datos.
{{matlab| codigo=
%segunda matriz de rotacion, eje e1
w=[1, 0 , 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion2=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion2=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Hacemos la rotación a los radiovectores de las partículas y las representamos junto a sus posiciones
originales.
[[Archivo: Rotacion2.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1 y angulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear ('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada particula y
%realizamos la rotación
coorxR2=zeros(1,20);
cooryR2=zeros(1,20);
coorzR2=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion2*vaux;
coorxR2(1,i)=rotpunto(1);
cooryR2(1,i)=rotpunto(2);
coorzR2(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR2,cooryR2, coorzR2, '--p r')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16===

Calculamos la matriz de rotación a partir de un eje ω=e2 y un ángulo θ= π/16.
Volvemos a ejecutar el programa que nos permite obtener la matriz de rotación
esta vez para eje ω=e2 y ángulo θ=π/16. La matriz obtenida es la siguiente:
<math>\begin{pmatrix}
0,9808& 0 &0,1951 \\
0&1&0 \\
-0,1951&0& 0,9808
\end{pmatrix}
</math>
obtenida gracias al programa de código:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la tercera rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
w=[0, 1, 0];
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion3=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion3=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Al igual que en los apartados anteriores, rotamos todos los vectores de posición
de las partículas y las representamos junto a su posición original.
[[Archivo: Rotacion3.jpg|400px|thumb||right|Visualización de un sistema de puntos rotados con eje ω=e2 y ángulo θ= π/16]]{{matlab| codigo=
clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
% cada partícula
%y les hacemos la rotación
coorxR3=zeros(1,20);
cooryR3=zeros(1,20);
coorzR3=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion3*vaux;
coorxR3(1,i)=rotpunto(1);
cooryR3(1,i)=rotpunto(2);
coorzR3(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR3,cooryR3, coorzR3, '--p k')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
hold off
}}

===Matriz rotación con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16===
En esta rotación emplearemos un programa muy similar pero que tendrá que tener en cuenta
que para obtener la matriz de componentes de una rotación el eje introducido en la fórmula
debe ser unitario. Esto se soluciona dividiendo el vector ω entre su módulo.
La matriz obtenida para esta rotación es:
<math>\begin{pmatrix}
0,9872& -0,1062 &0,1190 \\
0,1190&0,9872&-0,1062 \\
-0,1062&0,1190& 0,9872
\end{pmatrix}
</math>
Siendo el programa:
{{matlab| codigo=
%calculamos la matriz de la cuarta rotación
%a partir de un vector w y un eje angulo theta
a=1/sqrt(3);
w=[a, a, a];clc
theta=pi/16;
matriz1=eye(3);
matriz2=zeros(3,3);
matriz3=zeros(3,3);
for i=1:3
matriz2(1,i)=(w(1)*w(i));
matriz2(2,i)=(w(2)*w(i));
matriz2(3,i)=(w(3)*w(i));
end
clear('i');
matriz3(1,1)=0;
matriz3(1,2)=(-1*w(3));
matriz3(1,3)=(w(2));
matriz3(2,1)=(w(3));
matriz3(2,2)=0;
matriz3(2,3)=(-1*w(1));
matriz3(3,1)=(-1*w(2));
matriz3(3,2)=(w(1));
matriz3(3,3)=0;
%construimos la matriz de rotación
rotacion4=zeros(3,3);
matrizaux1=(cos(theta)*matriz1);
matrizaux2=((1-cos(theta))*matriz2);
matrizaux3=(sin(theta)*matriz3);
rotacion4=matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;
}}
Ahora rotamos los vectores directores de las partículas y los representamos.
[[Archivo: Rotacion4.jpg|400px|thumb||right|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e1+e2+e3 y ángulo θ= π/16]]
{{matlab| codigo=clear('vaux');
%separamos los vectores directores de
%cada partícula y
%les hacemos la rotación
coorxR4=zeros(1,20);
cooryR4=zeros(1,20);
coorzR4=zeros(1,20);
vaux=zeros(3,1);
for i=1:20
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(2,1)=coorY(1,i);
vaux(3,1)=coorZ(1,i);
rotpunto=rotacion4*vaux;
coorxR4(1,i)=rotpunto(1);
cooryR4(1,i)=rotpunto(2);
coorzR4(1,i)=rotpunto(3);
clear('rotpunto');
end
clear('i');
plot3(coorxR4,cooryR4, coorzR4, '--p m')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
hold on
plot3(coorX, coorY, coorZ, '--. b')
clear ('matriz1','matriz2','matriz3','w','matrizaux1','matrizaux2','matrizaux3');
hold off
%fin del apartado 3
}}

==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==

Dado un sistema que gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> cuya variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo, comprobamos analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada
con su posición mediante un tensor antisimétrico A de la siguiente forma <math>v_{i}(t)=\frac{dr_{i}(t)}{dt}=A\cdot r_{i}(t)</math> para todo i = 1, 2, ..., 20.

Para poder expresar la velocidad angular <math>\Omega </math> en forma vectorial, primero multiplicamos su módulo <math>\dot{\Theta}(t)</math> por su vector director unitario <math>\overrightarrow{\omega}</math> <math>\rightarrow \Omega =\left | \dot{\Theta}(t) \right |\cdot \overrightarrow{\omega}</math>.

Por el campo de velocidades sabemos que <math>\overrightarrow{V_{i}}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{\Omega}\times \overrightarrow{r_{i}}</math>.

En forma tensorial <math>\overrightarrow{V_{i}}=(\overrightarrow{\Omega }\times )\cdot \overrightarrow{r_{i}}</math>.

A continuación se demuestra que <math>\overrightarrow{\Omega }\times </math> es un tensor antisimétrico donde <math>\Omega =\overrightarrow{\omega}\times </math> :

<math>\Omega _{ij}=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [\Omega \cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot [(\overrightarrow{\omega}\times )\cdot \overrightarrow{g_{j}}]=\overrightarrow{g_{i}}\cdot (\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{g_{j}})=[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{\omega},\overrightarrow{g_{j}}]=-[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{\omega}]=-\omega ^{k}[\overrightarrow{g_{i}},\overrightarrow{g_{j}},\overrightarrow{g_{k}}]=-\omega ^{k}\pm \sqrt{g}\varepsilon _{ijk}=-\omega ^{1}\cdot \varepsilon _{ij1}-\omega ^{2}\cdot \varepsilon _{ij2}-\omega ^{3}\cdot \varepsilon _{ik3}</math>
<math>-\omega^{1}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{2}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)-\omega ^{3}\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & -\omega ^{3} & \omega ^{2}\\
\omega ^{3} & 0 & -\omega ^{1}\\
-\omega ^{2} & \omega ^{1} & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>

Por consiguiente se puede demostrar que el vector axial asociado a <math>\overrightarrow{\Omega}\times </math> es <math>\dot{\Theta }(t)\cdot \overrightarrow{\omega } </math> multiplicando la matriz de coordenadas de <math>\Omega </math> por <math>\dot{\Theta }(t)</math>.

==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==
Con la fórmula demostrada en el apartado anterior hallamos las componentes
de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular
ω=e3. Una vez determinadas dichas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
El código que realiza dicho proceso es el siguiente:
[[Archivo: Imagen5.jpg|350px|thumb||right|Visualización de los vectores velocidad]]
[[Archivo: Tangente.jpg|350px|thumb||right|véase que los vectores son tangentes a la trayectoria]]
{{matlab| codigo=
%pintamos los las partículas y calculamos
%los vectores de velocidad
plot3(coorX,coorY,coorZ, '-. b')
axis([-2,2,-2,2,0,2]);
hold on
%calculamos las coordenadas de los vectores
% velocidad de los puntos materiales
coorVx=zeros(1,20);
coorVy=zeros(1,20);
coorVz=zeros(1,20);
omega=[0,0,1];
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
for i=1:20
radioaux(1,1)=coorX(1,i);
radioaux(1,2)=coorY(1,i);
radioaux(1,3)=coorZ(1,i);
veloaux=cross(omega,radioaux);
coorVx(1,i)=veloaux(1);
coorVy(1,i)=veloaux(2);
coorVz(1,i)=veloaux(3);
clear('veloaux','radioaux');
radioaux=zeros(1,3);
veloaux=zeros(1,3);
end
for i=1:20
xaux=coorX(1,i);
yaux=coorY(1,i);
zaux=coorZ(1,i);
vxaux=coorVx(1,i);
vyaux=coorVy(1,i);
vzaux=coorVz(1,i);
%pintamos el vector velocidad con el comando quiver
quiver3(xaux,yaux,zaux,vxaux,vyaux,vzaux)
clear('xaux','yaux','zaux','vxaux','vyaux','vzaux');
end
hold off
}}

==. TENSOR DE INERCIA==
El momento angular del sistema se define por <math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>.
Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, donde <math>\overrightarrow{\omega}</math> es la velocidad angular, comprobamos analíticamente que podemos escribir <math>L=I\cdot \overrightarrow{\omega}</math> donde I es un tensor de orden 2 conocido como tensor de inercia y sus componentes momentos de inercia.

<math>L=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow {r_{i}}\times m_{i}\cdot\overrightarrow {v_{i}}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{r_{i}}\cdot (m_{i}\cdot \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}})</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\\
\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i} & \overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}
\end{vmatrix}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [ \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{r_{i}}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot m_{i}) \right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}\left [m_{i} \cdot (\overrightarrow{\omega}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}}))-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\right ]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}[\overrightarrow{\omega}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})]]</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}} ]\cdot \overrightarrow{\omega}</math>
<math>=\sum_{i=1}^{20}[m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\overrightarrow{\omega}=L</math>

===Cálculo de las componentes del tensor I de inercia en la base {e1,e2,e3}===

{{matlab| codigo=
%calculamos el tensor de inercia
%primera matriz del tensor% %base i,j,k
%calculamos la primera matriz
clear ('vaux','i');
primeramatriz=zeros(3,3);
identidad=eye(3);
for i=1:20
primeramatrizaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
modulocuadrado=vaux*vaux';
masa=masas(i);
momento=masa*modulocuadrado;
primeramatrizaux=momento*identidad;
primeramatriz=primeramatriz+primeramatrizaux;
clear('masa','primeramatrizaux','vaux','modulocuadrado','momento');
end
clear('i');
%calculamos la segunda matriz
segundamatriz=zeros(3,3);
clear ('vaux');
clear ('masa');
for i=1:20
segundamatrizaux=zeros(3,3);
segundamatrizauxaux=zeros(3,3);
vaux=zeros(1,3);
vaux(1,1)=coorX(1,i);
vaux(1,2)=coorY(1,i);
vaux(1,3)=coorZ(1,i);
masa=masas(i);
segundamatrizaux(1,1)=vaux(1,1)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(1,2)=vaux(1,1)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(1,3)=vaux(1,1)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(2,1)=vaux(1,2)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(2,2)=vaux(1,2)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(2,3)=vaux(1,2)*vaux(1,3);
segundamatrizaux(3,1)=vaux(1,3)*vaux(1,1);
segundamatrizaux(3,2)=vaux(1,3)*vaux(1,2);
segundamatrizaux(3,3)=vaux(1,3)*vaux(1,3);
segundamatrizauxaux=masa*segundamatrizaux;
segundamatriz=segundamatriz+segundamatrizauxaux;
clear ('vaux','segundamatrizaux','segundamatrizauxaux');
end
clear('i');
tensordeinercia=zeros(3,3);
tensordeinercia=primeramatriz+segundamatriz
}}

Ahora lo calculamos suponiendo que ω=e3:

{{matlab| codigo=
w=[0;0;1];
momentoejez=tensordeinercia*w;
momentoejez
}}

==. RELACIÓN DEL TENSOR DE INERCIA Y LA ENERGÍA CINÉTICA==

La energía cinética total del sistema se define como <math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>. Sustituyendo el valor de la velocidad <math>\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r_{i}} </math>, comprobamos que podemos escribir <math>E_{c}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>, donde I es el tensor de inercia.
<math>\E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}\cdot m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_{i}} \right|]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}}) }\cdot \sqrt{\left | \overrightarrow{w} \right|^{2}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})}]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})^{2}]=\frac{1}{2}m_{i}[\left | \overrightarrow{w} \right |^{2}\cdot\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}[(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w})\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot (\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]</math>
<math>=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\overrightarrow{w}\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{r_{i}})-\overrightarrow{r_{i}}(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{r_{i}})]=\frac{1}{2}m_{i}\cdot \overrightarrow{w}[\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{w}-(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]</math>
<math>=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}[m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot \overrightarrow{\omega})-m_{i}\cdot [(\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{\omega})\cdot \overrightarrow{r_{i}}]]=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega}\cdot [m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}]\cdot \overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\omega}\cdot I\cdot \overrightarrow{\omega}</math>

Hacemos un programa que calcule la energía cinética con la fórmula que acabamos de demostrar siendo el resultado
441,60 J
{{matlab| codigo=
%calculamos la energía cinética del sistema de partículas
energiaux=tensordeinercia*w;
W=(1/2)*w;
energiacinetica=(W')*energiaux;
energiacinetica
}}

==. TEOREMA DE STEINER==
El Teorema de Steiner permite relacionar el tensor de inercia respecto a un eje de giro que pasa por el centro de masas IG con el tensor de inercia correspondiente a un eje de giro que pasa por cualquier otro punto IP <math>\Rightarrow I_{P}=I_{G}+m\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}</math> siendo <math>\overrightarrow{a}</math> el vector que une el centro de masas G con el punto P.

Para empezar la demostración definimos IP=IG+T, donde T es un tensor de orden 2. El teorema quedará demostrado si <math>T=m(\left \| \overrightarrow{a} \right \|^{2}\cdot 1-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>.

[[Archivo: Steinerg22.jpg|600x400px|centro|]]

Definimos r'=(r-a) para demostrar lo siguiente:
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{{r_{i}}'} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{{r_{i}}'}\otimes \overrightarrow{{r_{i}}'})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}(\left | \overrightarrow{r_{i}}- \overrightarrow{a}\right |^{2}\cdot 1-(\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})\otimes (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}))=\sum_{i=1}^{20}m_{i}([\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a})]\cdot 1-[\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1+m_{i}\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-m_{i}\cdot 2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1-m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-m_{i}\cdot \overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>I_{P}=\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{r_{i}} \right |^{2}\cdot 1-\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{r_{i}}])+\sum_{i=1}^{20}(m_{i}\cdot [\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a}])</math>

Steiner quedará demostrado si
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot (\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}}-\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a} - \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cdot 1+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{a})=0</math>
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot(-2\cdot (\overrightarrow{r_{i}}\cdot \overrightarrow{a} )\cdot 1+\overrightarrow{r_{i}}\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes \overrightarrow{r_{i}})=0</math>
<math>(-2\cdot [(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\cdot \overrightarrow{a})]\cdot 1+(\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \overrightarrow{r_{i}})\otimes \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes (\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}} )=0</math>.
Como por definición del centro de masas <math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot\overrightarrow{r_{i}}=0</math>.
<math>(-2\cdot (0\cdot \overrightarrow{a})\cdot 1+0\otimes\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\otimes 0=0 </math> tal como se quería demostrar.

=== Demostración númerica de la fórmula de energía cinética ===

En este apartado demostraremos numericamente que:
<math>E_{c}=\sum_{i=1}^{20}\frac{1}{2}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{w}\cdot I_{G}\cdot \overrightarrow{w}</math>
En apartados anteriores hemos demostrado analiticamente que:
<math>\sum_{i=1}^{20}m_{i}\cdot \left | \overrightarrow{v_{i}} \right |^{2}=\sum_{i=1}^{20}\overrightarrow{w}\cdot I\cdot \overrightarrow{w}</math>
Luego calcularemos el tensor de inercia en G por Steiner y veremos si calculándolo mediante un problema por ambos procedimientos
da resultados iguales. Esto se cumple siendo la energía cinética 441,60 J calculada mediante el tensor de inercia en el origen en otro apartado, y mediante el tensor de inercia en G 441,58 J. Ambos resultados pueden considerarse iguales ya que al no ser una distribución de masas uniforme,
los valores, aunque tienden al mismo valor, no serán exactamente iguales.
El programa que realiza estos cálculos tiene el siguiente código:

{{matlab| codigo=
%calculamos el momento de inercia en G respecto del de O hayado en el apartado anterior
%las componentes del tensor de inercia en O es la matriz 'tensordeinercia'
steineraux2=zeros(3,3);
GO=[-1*XG,-1*YG,-1*ZG];
modulogocuad=GO*GO';
steineraux1=eye(3,3)*modulogocuad;
for i=1:3
steineraux2(1,i)=GO(1)*GO(i);
steineraux2(2,i)=GO(2)*GO(i);
steineraux2(3,i)=GO(3)*GO(i);
end
steineraux=steineraux1-steineraux2;
steiner=masatotal*steineraux;
inerciaG=tensordeinercia-steiner;
%ya hemos calculado el tensor de inercia en g 'inerciaG'
%calculamos la energía cinetica como 1/2W*inerciaG*w donde w=e3
clear('w','W');
w=[0;0;1];
kineticaux=inerciaG*w;
W=(1/2)*w;
kinetica=(W')*kineticaux;
kinetica
}}

==. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS==
Definimos el vector de inercia en 0 asociado a una dirección cuyo vector de dirección es <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\overrightarrow{I_{u}}=\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}</math>

Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>

<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>

Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>

Restamos las ecuaciones anteriores y por simetria la izquierda de la igualdad es cero

<math>0=(I_{i}\cdot I_{j})\cdot (\overrightarrow{u_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{j}})</math>

Asi se demuestra que si los autovalores <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> son distintos, entonces los vectores de los ejes han de ser ortogonales

Ahora realizamos un programa que pinte los ejes principales de inercia.

[[Archivo: ejesprincipales.jpg|600x400px|thumb||right|ejes principales de inercia]]
{{matlab| codigo=
%este codigo calcula los autovectores de Ig y
%pintamos los ejes principales
[eves,evas]=eig(inerciaG);
vectoreje1=zeros(1,3);
vectoreje2=zeros(1,3);
vectoreje3=zeros(1,3);
for i=1:3
vectoreje1(i)=eves(i,1);
vectoreje2(i)=eves(i,2);
vectoreje3(i)=eves(i,3);
end
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta1=zeros(1,2);
coorYrecta1=zeros(1,2);
coorZrecta1=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta1(i)=XG+t(i)*vectoreje1(1);
coorYrecta1(i)=YG+t(i)*vectoreje1(2);
coorZrecta1(i)=ZG+t(i)*vectoreje1(3);
end
figure(7)
plot3(coorX,coorY,coorZ,'-. b')
hold on
plot3(XG,YG,ZG, '.')
plot3(coorXrecta1,coorYrecta1,coorZrecta1,'- r')
%segundo eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta2=zeros(1,2);
coorYrecta2=zeros(1,2);
coorZrecta2=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta2(i)=XG+t(i)*vectoreje2(1);
coorYrecta2(i)=YG+t(i)*vectoreje2(2);
coorZrecta2(i)=ZG+t(i)*vectoreje2(3);
end
plot3(coorXrecta2,coorYrecta2,coorZrecta2,'- g')
%tercer eje
clear ('i');
t=linspace(-1,1,2);
coorXrecta3=zeros(1,2);
coorYrecta3=zeros(1,2);
coorZrecta3=zeros(1,2);
for i=1:2
coorXrecta3(i)=XG+t(i)*vectoreje3(1);
coorYrecta3(i)=YG+t(i)*vectoreje3(2);
coorZrecta3(i)=ZG+t(i)*vectoreje3(3);
end
plot3(coorXrecta3,coorYrecta3,coorZrecta3,'- k')
}}