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Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T18:00:08Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=
En sismología, las ondas S son ondas transversales, también llamadas de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación, de forma alterna entre un lado y el otro.

Esto se relaciona directamente con el trabajo al considerar la placa y su dominio como una sección de la corteza terrestre, y el desplazamiento el provocado por este tipo de ondas durante un terremoto.

En el desplazamiento, dado por la siguiente función:
<center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r}_0 - ct)</math></center>
El vector <math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}</math>, representa la amplitud de la onda, y al ir en la dirección <math>\vec{i}</math> implica que el desplazamiento de las partículas es horizontal.
El vector <math>\vec{b} = \pi \vec{j}</math>, es el vector de fase, y al ir en dirección <math>\vec{j}</math>, indica que la propagación de la onda es vertical.
Al ser ambos vectores perpendiculares, la onda es transversal.

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:59:36Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0 </math>
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{\partial frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=
En sismología, las ondas S son ondas transversales, también llamadas de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación, de forma alterna entre un lado y el otro.

Esto se relaciona directamente con el trabajo al considerar la placa y su dominio como una sección de la corteza terrestre, y el desplazamiento el provocado por este tipo de ondas durante un terremoto.

En el desplazamiento, dado por la siguiente función:
<center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r}_0 - ct)</math></center>
El vector <math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}</math>, representa la amplitud de la onda, y al ir en la dirección <math>\vec{i}</math> implica que el desplazamiento de las partículas es horizontal.
El vector <math>\vec{b} = \pi \vec{j}</math>, es el vector de fase, y al ir en dirección <math>\vec{j}</math>, indica que la propagación de la onda es vertical.
Al ser ambos vectores perpendiculares, la onda es transversal.

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:58:36Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=
En sismología, las ondas S son ondas transversales, también llamadas de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación, de forma alterna entre un lado y el otro.

Esto se relaciona directamente con el trabajo al considerar la placa y su dominio como una sección de la corteza terrestre, y el desplazamiento el provocado por este tipo de ondas durante un terremoto.

En el desplazamiento, dado por la siguiente función:
<center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r}_0 - ct)</math></center>
El vector <math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}</math>, representa la amplitud de la onda, y al ir en la dirección <math>\vec{i}</math> implica que el desplazamiento de las partículas es horizontal.
El vector <math>\vec{b} = \pi \vec{j}</math>, es el vector de fase, y al ir en dirección <math>\vec{j}</math>, indica que la propagación de la onda es vertical.
Al ser ambos vectores perpendiculares, la onda es transversal.

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:57:54Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>
<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=
En sismología, las ondas S son ondas transversales, también llamadas de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación, de forma alterna entre un lado y el otro.

Esto se relaciona directamente con el trabajo al considerar la placa y su dominio como una sección de la corteza terrestre, y el desplazamiento el provocado por este tipo de ondas durante un terremoto.

En el desplazamiento, dado por la siguiente función:
<center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r}_0 - ct)</math></center>
El vector <math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}</math>, representa la amplitud de la onda, y al ir en la dirección <math>\vec{i}</math> implica que el desplazamiento de las partículas es horizontal.
El vector <math>\vec{b} = \pi \vec{j}</math>, es el vector de fase, y al ir en dirección <math>\vec{j}</math>, indica que la propagación de la onda es vertical.
Al ser ambos vectores perpendiculares, la onda es transversal.

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:56:48Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=
En sismología, las ondas S son ondas transversales, también llamadas de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación, de forma alterna entre un lado y el otro.

Esto se relaciona directamente con el trabajo al considerar la placa y su dominio como una sección de la corteza terrestre, y el desplazamiento el provocado por este tipo de ondas durante un terremoto.

En el desplazamiento, dado por la siguiente función:
<center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r}_0 - ct)</math></center>
El vector <math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}</math>, representa la amplitud de la onda, y al ir en la dirección <math>\vec{i}</math> implica que el desplazamiento de las partículas es horizontal.
El vector <math>\vec{b} = \pi \vec{j}</math>, es el vector de fase, y al ir en dirección <math>\vec{j}</math>, indica que la propagación de la onda es vertical.
Al ser ambos vectores perpendiculares, la onda es transversal.

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:52:56Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T17:51:24Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
axis([0,4,-0.5,0.5])
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el código en Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos vectoriales.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \}{\partial x}{\frac{1}{10}\cos\left ( π y\right ) + \frac{\partial \0}{\partial y} + \frac{\partial \0}{\partial z}=0 </math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=0,1;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=0,1;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T15:19:10Z

Paula.decea: /* Campo de vectores en el mallado del sólido. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta la representación gráfica de este campo, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vectormallado2.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.10;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T15:14:59Z

Paula.decea: /* Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vector_mallado.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.20;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T15:12:46Z

Paula.decea: /* Representación de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
La expresión dada para la temperatura viene dada en coordenadas cilíndricas, para su representación, en el código se ha pasado a coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vector_mallado.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.20;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-04T15:08:00Z

Paula.decea: /* Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
{{matlab|codigo=
clear;clc; % Borramos las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.1;
%Se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}

=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Gradiente como campo vectorial y curvas de nivel.=

[[Archivo:Gradiente_3.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa el gradiente como campo vectorial y las curvas de nivel de T, demostrando así que el gradiente es ortogonal las curvas de nivel de T. 
El gradiente de un campo vectorial teniendo en cuenta que <center> <math> 𝜌^2=x^2+y^2 </math> </center> es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1) </math> </center>

{{matlab|codigo=
clear;clc;
y = linspace(-0.5, 0.5, 20);
x = linspace(0, 4, 20);
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(Mx.^2+My.^2);
MT= -log((rho-1).^2+0.1);
axis equal;
hold on;
figure;
U=-(2.*(rho-1).*Mx)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
V=-(2.*(rho-1).*My)./(rho.*((rho-1).^2+0.1));
quiver(Mx,My,U,V,'k');
contour(Mx,My,MT,20)
colorbar
hold on
quiver(Mx,My,U,V,'k');
axis equal;
hold off
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado.
Consideramos ahora el campo de vectores:
<math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i}</math>

A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Vector_mallado.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear;clc; % borra las variables usadas anteriormente para no causar confusión
h=0.20;
%se establecen las variables x e y con equidistancia h

%se establecen las variables x e y con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;

[Mx, My] = meshgrid(x, y);
figure;
hold on
mesh(Mx,My,0.*My) %se crea el gráfico
xlabel('x'); ylabel('y')
U = cos(pi * My) / 10;
V = zeros(size(My));
%campo de vectores
quiver(Mx, My, U, V,'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on

}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}cos({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Pregunta5.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-03T08:39:28Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> </center>

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<center><math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> </center>

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-03T08:38:21Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a la recta <math> y=0.5 </math>, representada en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-03T08:37:14Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Archivo:GraficaRotacionalCorregida1.png

2025-12-03T08:36:38Z

Paula.decea:

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-03T08:32:44Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacionalCorregida.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Archivo:GraficaRotacionalCorregida.png

2025-12-03T08:32:01Z

Paula.decea:

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-03T08:30:54Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([0,4,-0.5,0.5]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=
Dada la función de la densidad: <math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} </math>

Primero pasamos la función de densidad a coordenadas cartesianas:

<center><math> d(ρ,θ)=1+e^{ρ·ρcosθ} \rightarrow d(x,y)=1+e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} </math></center>

El valor de la masa viene dado por la integral de superficie en <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>:
<center><math> M = \int_{S} ddS = \int \int_{D} d|\vec{r_{x}}(x, y) \times \vec{r_{y}}(x, y)| dxdy </math></center>

<math> \vec{r_{0}} = x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \vec{r_{x}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{x}} = \vec{i} </math>, <math> \vec{r_{y}}(x,y)= \frac{\partial{\vec{r_{0}}}}{\partial{y}} = \vec{j} </math>

<center><math> \vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y) = \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} </math></center>
<center><math> |\vec{r_{x}}(x,y) \times \vec{r_{i}}(x,y)| = |\vec{k}| = 1 </math></center>

<center><math> M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{4} 1 + e^{x·\sqrt{x^2+y^2}} dxdy </math></center>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
xmin=0;
xmax=4;
ymin=-1/2;
ymax=1/2;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%Definimos una función anónima para la densidad
d=@(x,y) 1+exp(x.*sqrt(x.^2+y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, xmin, xmax, ymin, ymax);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

Con ello obtenemos que la masa total de la placa es aproximadamente 1199015.787397

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-01T17:44:23Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Rotacional66.jpg|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([-0.5,0.5,0,4]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=

=Aplicaciones a la vida real.=

Archivo:Rotacional66.jpg

2025-12-01T17:42:02Z

Paula.decea:

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-01T17:32:31Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=0:h:4;
y=-1/2:h:1/2;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([0,4,-1/2,1/2]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([-0.5,0.5,0,4]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-01T17:31:26Z

Paula.decea: /* Representación del sólido antes y después del desplazamiento. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin({π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( \π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([-0.5,0.5,0,4]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-01T17:30:54Z

Paula.decea: /* Representación del sólido antes y después del desplazamiento. */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{10}sin(\{π}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.

h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( \π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([-0.5,0.5,0,4]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-12-01T17:28:32Z

Paula.decea: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 4]</math> x <math>[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:ondamallado1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión.
*En líneas tres y cuatro de código discretizamos las variables x e y.
*Posteriormente escribimos los comandos para crear el mallado.
*Las dos penúltimas líneas servirán para dar nombre a los ejes x e y respectivamente e igualar la escala de ejes.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure;
hold on
mesh(X,Y,0*X)
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
hold off
}}
=Representación de la temperatura.=
[[Archivo:Temperaturaplaca1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
En la gráfica de la temperatura del sólido, se puede observar que el calor se concentra en los puntos cuya distancia al origen es 1, representado en color amarillo. 
La temperatura del sólido es:<center><math> 𝑇(𝜌,𝜃)=−log((𝜌−1)^2+0.1)</math> </center>
{{matlab|codigo=
clear;clc;
h=0.1;
%se establecen las variables con equidistancia h
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(cos(pi*Y))/10 %desplazamiento;
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=-log((rho-1).^2+0.1); %temperatura del sólido
figure;
surf(X,Y,T) %creación de la gráfica;
shading interp
colorbar %añade la escala de colores utilizada para representar la gráfica
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') %nombre de los ejes
view(2)
axis equal
grid on
}}

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos\left ( \π y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/10).*cos((pi).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,4.5,-1/2.5,1/2.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0.5 </math> e <math> y=2.5 </math>, representadas en el tono más claro de amarillo.
[[Archivo:GraficaRotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Se definen las variables x e y
h=1/10;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional
R=pi/10*sin(pi*My);
surf(Mx,My,R)
shading flat

% Personalizamos la gráfica
% Título
title('Representación del módulo del rotacional en la placa');
% Nombre en los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Ejes equidistantes
axis equal
% Fijamos el rango de visión
axis([-0.5,0.5,0,4]);
% Escala de colores
colorbar;
view(2)
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallarán las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es nulo. Esto implica su inexistencia así como la imposibilidad de representarlas.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejej1.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ky=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje j
Kx=zeros(size(Mx)); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje j
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje j
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje j
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{j}−(\vec{j}·σ·\vec{j})\vec{j}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{j}·σ·\vec{j}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:tangencialesejei.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=[0:h:4];
y=[-1/2:h:1/2];
z=0;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Kx=(-pi/10)*sin(pi*My); %Componente X de las tensiones tangenciales al eje i
Ky=zeros(size(Mx)); %Componente Y de las tensiones tangenciales al eje i
Kz=zeros(size(Kx)); %Componente Z de las tensiones tangenciales al eje i
quiver(x,y,Kx,Ky); %Representación del campo de las tensiones tangenciales al eje i
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje j');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1,5,-2,2]); %Límites de representación
view(2) %Punto de vista vertical
}}

=Cálculo de la masa aproximada.=

=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:20:38Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:15:07Z

Paula.decea: /* Cálculo de la masa aproximada a una integral. */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:13:54Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:10:43Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:09:16Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:08:27Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T11:07:15Z

Paula.decea: /* Tensor de tensiones */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:53:55Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:53:00Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:49:34Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:47:42Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:46:54Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:46:14Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:42:02Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:41:18Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:40:25Z

Paula.decea: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-28T10:39:48Z

Paula.decea:

Archivo:GraficaRotacional.png

2025-11-27T15:52:54Z

Paula.decea:

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:45:42Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

<center><math> \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 </math></center>

En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i</math>.

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Representación de la temperatura.=

=Curvas de nivel de la temperatura.=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Campo de vectores en el mallado del sólido.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación del sólido antes y después del desplazamiento.=

A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}
=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Cálculo de la masa aproximada a una integral.=
=Aplicaciones a la vida real.=

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:24:54Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math> es la velocidad de propagación.
Si <math>\vec{a} </math> es paralelo a <math>\vec{b} </math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente: <center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/10 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:18:01Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}{|\vec b|}</math>

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:17:23Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math> se conoce como amplitud, <math>\vec{b} </math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>\frac{c}[]|\vec b|</math>

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:13:44Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center> Donde <math>\vec{a} </math>

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:05:49Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center>. Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center>, Donde

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:05:09Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y)</math>, y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)<math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center>. Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center>, Donde

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

Onda transversal plana a través de una placa rectangular

2025-11-27T15:02:39Z

Paula.decea:

{{ TrabajoED | Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Noelia Calabria Bermejo
*Paula de Cea Ibáñez
*Carlota Del Valle Díez
*Alba García Cruz
*Ruth Rodríguez Torres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y, t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x, y) y del tiempo t, y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y, t)</math>. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x, y)<math> de la placa en un instante de tiempo t viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).</math></center>. Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda <center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),</math></center>, Donde

<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}