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Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-16T13:51:26Z

PabloV: /* . Ecuación de Cattaneo-Vernotte */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
La ecuación del calor clásica es una herramienta crucial para los ingenieros y físicos. Ahora bien, esta ecuación plantea un serio problema conocido como la paradoja de la velocidad de propagación. En este trabajo estudiaremos estefenómeno y plantearemos una solución, apoyándonos en un ejemplo concreto.

=. Problema concreto=
Consideramos el siguiente problema: Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0, 1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la
dirección longitudinal. En el extremo derecho
se consigue mantener la temperatura a 10°C mientras que en el izquierdo la temperatura
es siempre de 1°C. Además, la temperatura en el instante inicial viene dada por la función <math> u_0 (x)= 10-10 \cdot 1_{[1/3,2/3]}(x)</math> . Así, el sistema que modeliza este problema es el siguiente:

<center><math> \begin{cases}
u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t>0 \\
u(0,t)=10 & t>0 \\
u(1,t)=1 & t>0 \\
u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1]
\end{cases} </math></center>

Su solución estacionaria es:

<center><math> v(x)=9x+1 </math></center>

y la solución general es:

<center><math> u(x,t)= 9x+1+ \sum_{n=1}^{\infty}b_n sen(n \pi x)e^{n^2\pi ^2 t}</math></center>,

donde <math> b_n </math> es una constante de la forma:

AQUI VEMOS QUE HACEMOS CON BN

Si visualizamos estas soluciones con <math> t \in [0,1] </math> y <math> x \in [0,1] </math>:

[[Archivo:sol2.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

[[Archivo:sol11.jpeg|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

[[Archivo:Animación solución.gif|400px|thumb|right|Convergencia a la solución estacionaria]]

Observamos que la solución u comienza en la temperatura correcta (salvo por oscilaciones) y para un tiempo suficientemente pequeño se aproxima considerablemente a la solución de equilibrio. Además, en el siguiente apartado se comentará un detalle de la solución que se debe estudiar en mayor profundidad.

<syntaxhighlight lang="matlab">

syms n
syms x
syms t
g=sin(n*pi*x);
f1=(-9*x-9)*g;
f2=(-9*x+9)*g;
f3=(-9*x+1)*g;
f4=(-9*x-1)*g;

F1=int(f1,-1,-2/3);
F2=int(f3,-2/3,-1/3);
F3=int(f1,-1/3,0);
F4=int(f2,0,1/3);
F5=int(f4,1/3,2/3);
F6=int(f2,2/3,1);

F(n)=F1+F2+F3+F4+F5+F6;

sol=9*x+1;
k=20; %numero de elementos
for i=1:k
sol=sol+F(i)*sin(i*pi*x)*exp(-(i^2)*pi^2*t);
end
u(x,t)=sol;
[X, T] = meshgrid(linspace(0,1,50), linspace(0,1,50));
Z=u(X,T);
Z=double(Z);
figure
surf(X, T, Z)
xlabel('x'), ylabel('t'), zlabel('u(x,t)')
title('Gráfico de la solución')
colorbar
shading interp

% Definir parámetros
xv = linspace(0,1,100); % Dominio de x (100 puntos entre 0 y 1)
t_values = linspace(0,0.1,60); % Valores de t para cada frame (60 frames)

% Crear la figura
fig = figure;
v = VideoWriter('animacion_ftejercicio2.mp4', 'MPEG-4'); % Guardar animación en video
v.FrameRate = 5; % FPS
open(v);

for t = t_values
y = u(xv,t); % Evaluar la función en x para el tiempo t
plot(xv, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Graficar en 1D
ylim([0, 12]); % Mantener el mismo rango en y
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
title(sprintf('t = %.2f', t)); % Mostrar el tiempo actual
grid on;
drawnow;

% Capturar frame para el video
frame = getframe(fig);
writeVideo(v, frame);
end

close(v); % Cerrar archivo de video
close(fig); % Cerrar la figura

disp('Animación guardada como animacion_ft.mp4');
</syntaxhighlight>
=. Paradoja de la velocidad de propagación=

[[Archivo:Paradoja.jpeg|400px|thumb|derecha|Solución para t=0]]

Observamos que, en nuestra solución, para <math>t>0</math> la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, en <math>t=0</math> observamos que para el intervalo <math> x \in [1/3,2/3]</math> la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor <math>t>0</math> arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.

==. Ecuación de Cattaneo-Vernotte==
Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:

<center><math>q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u</math></center>

Añadimos el factor <math> \tau \frac{\partial q}{\partial t} </math> a la Ley de Fourier, donde <math>\tau</math> se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica:

<center><math> \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \alpha \Delta u </math></center>

donde <math> \alpha </math> es la difusividad térmica. En nuestro caso, <math> \alpha=1 </math>

<center><math> \begin{cases}
\tau u_{tt}+u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t>0 \\
u(0,t)=10 & t>0 \\
u(1,t)=1 & t>0 \\
u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1] \\
u_t(x,0)=0 & x \in [0,1]
\end{cases} </math></center>

Esta nueva ecuación garantiza que la velocidad de propagación del calor se produzca con velocidad finita, por lo que se utiliza en modelos donde el efecto de propagación instantánea tiene importancia.

Homogeneizamos el problema con el cambio de variable <math> w(t,x)=u(t,x) -v(x)</math>. Si resolvemos esta ecuación por separación de variables, tenemos las siguientes soluciones para la función espacial <math>X(x)</math> y temporal <math> T(t)</math>:

La ecuación espacial con estas condiciones nos proporciona la colección de soluciones <math> X_{n}(x)=A_{n}sen(n\pi x) </math>

Para la ecuación temporal, tenemos la solución <math> T_{n}(t)=e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) </math>, con <math> \omega = \frac{\sqrt{4\tau n^{2}\pi^{2}-1}}{2\tau} </math>

Por tanto, la solución de la ecuación de Cattaneo-Vernotte en nuestro caso es:

<center><math> u(x,t) = 1+9x+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) \cdot sen(n\pi x) </math></center>

=. Referencias =

* Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0735193307001637 [1<nowiki>]</nowiki>]).

* Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([https://francis.naukas.com/2008/10/22/la-velocidad-de-la-propagacion-del-calor-entre-la-paradoja-y-la-entropia/ [2<nowiki>]</nowiki>])

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-16T10:03:39Z

PabloV: /* . Problema concreto */

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-16T10:03:13Z

PabloV: /* . Problema concreto */

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-16T10:02:47Z

PabloV: /* . Problema concreto */

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-16T10:01:50Z

PabloV: /* . Problema concreto */

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T12:25:40Z

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Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:53:44Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math><center>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<math>
\begin{aligned}

v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

== ==

<center>
<math> u_t - u_{xx} = 0 </math>
</center>

<center>
<math> u(0,t) = 1 </math>,
<math> u(1,t) = 10 </math>
</center>

<center>
<math> u(x,0) = 10 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) </math>
</center>

<center>
<math> w = u - v </math>
</center>

<center>
<math> v''(x) = 0 </math>
</center>

<center>
<math> v(0) = 1 </math>
<math> v(1) = 10 </math>
</center>

<center>
<math> v(x) = 9x + 1 </math>
</center>

<center>
<math> w_t - w_{xx} = 0 </math>
</center>

<center>
<math> w(0,t) = 0 </math>,
<math> w(1,t) = 0 </math>
</center>

<center>
<math> w(x,0) = -9x + 9 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) </math>
</center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:40:40Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math><center>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<math>
\begin{aligned}

v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:40:00Z

PabloV: /* Problema */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math><center>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<math>
\begin{aligned}

v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:39:15Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<math>
\begin{aligned}

v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:38:57Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math>
\begin{aligned}

v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:38:27Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

</center><math>
\begin{aligned}
v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:38:05Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math>
\begin{aligned}
v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:37:41Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<math><center>
\begin{aligned}
v''(x) &= 0
\end{aligned}
</math>

con las condiciones de frontera:

<math>
\begin{aligned}
v(0) &= 1 \\
v(1) &= 10
\end{aligned}
</math>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:36:46Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math> v''(x) = 0 </math>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:36:25Z

PabloV: /* Cálculo de la solución estacionaria */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

</center><math> v''(x) = 0 </math></center>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:35:48Z

PabloV: /* Problema */

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= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math> v''(x) = 0 </math></center>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:35:29Z

PabloV: /* Problema */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<math>
\begin{aligned}
u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
\end{aligned}
</math>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math> v''(x) = 0 </math></center>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:34:30Z

PabloV: /* Problema */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math> u(0,t) = 1, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> u(1,t) = 10, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math> v''(x) = 0 </math></center>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:33:42Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
= Problema =

Se tiene la ecuación de difusión:

<center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

<center><math> u(0,t) = 1, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> u(1,t) = 10, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Cálculo de la solución estacionaria =

Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:

<center><math> v''(x) = 0 </math></center>

con las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = 10 </math></center>

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera:

<center><math> v(0) = b = 1 </math></center>
<center><math> v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 </math></center>

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

= Resolviendo la ecuación homogénea =

Se introduce el cambio de variable:

<center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>

De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:

<center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

<center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>

= Resolviendo por separación de variables =

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:

<center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Donde los coeficientes de Fourier son:

<center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>

Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

= Nota sobre la función inicial =

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

<center><math>
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
</math></center>

Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:30:44Z

PabloV:

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:29:03Z

PabloV: /* Problema */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Problema ==

== Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet ==

=== Planteamiento del Problema ===
Necesitamos resolver el siguiente sistema:
* $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
* $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
* $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
* $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$

=== Solución Estacionaria ===
La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:
* $v''(x) = 0$
* $v(0) = 1$
* $v(1) = 10$

Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$
De las condiciones de contorno:
* $v(0) = b = 1$
* $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$

Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$

=== Cambio de Variable ===
Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:
* $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
* $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
* $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
* $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$

=== Solución por Separación de Variables ===
Resolvemos por separación de variables, obteniendo:
$w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$

Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$

Por tanto, la solución completa es:
$u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:26:58Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Problema ==

Se tiene la ecuación de difusión:

∂u/∂t - ∂²u/∂x² = 0, para $ x $ en el intervalo (0,1) y $ t > 0 $.

Las condiciones de frontera e iniciales son:

* $ u(0,t) = 1 $, para $ t > 0 $.
* $ u(1,t) = 10 $, para $ t > 0 $.
* $ u(x,0) = 10 $, para $ x \in (0,1) $.

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:25:28Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Problema ==

Se tiene la ecuación de difusión:

\[
u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
\]

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

\[
u(0,t) = 1, \quad t > 0
\]
\[
u(1,t) = 10, \quad t > 0
\]
\[
u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1)
\]

== Cálculo de la solución estacionaria ==

Para encontrar la solución estacionaria $ v(x) $, se asume que cuando $ t \to \infty $, la solución $ u(x,t) $ se estabiliza y tiende a una función $ v(x) $ que satisface:

\[
v''(x) = 0
\]
\[
v(0) = 1
\]
\[
v(1) = 10
\]

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos $ v(x) = ax + b $. Sustituyendo las condiciones de frontera:

* $ v(0) = b = 1 $
* $ v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 $

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

\[
v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1)
\]

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

== Resolviendo la ecuación homogénea ==

Se introduce el cambio de variable:

\[
w(x,t) = u(x,t) - v(x)
\]

De esta manera, $ w(x,t) $ satisface la ecuación de calor homogénea:

\[
w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
\]
\[
w(0,t) = 0, \quad t > 0
\]
\[
w(1,t) = 0, \quad t > 0
\]
\[
w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1)
\]

== Resolviendo por separación de variables ==

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para $ w(x,t) $:

\[
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
\]

Donde los coeficientes de Fourier son:

\[
B_n = \frac{18}{n\pi}
\]

Finalmente, la solución general para $ u(x,t) $ es:

\[
u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
\]

== Nota sobre la función inicial ==

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

\[
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
\]

Dado que $ \tilde{g}(x) $ es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en $ x=0 $, asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

\[
u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
\]

Este resultado describe la evolución de la temperatura a lo largo de la barra en función del tiempo.

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:22:33Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Problema ==
Se obtiene el sistema:
\[
u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
\]
\[
u(0,t) = 1, \quad t > 0
\]
\[
u(1,t) = 10, \quad t > 0
\]
\[
u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1)
\]

== Solución Estacionaria ==
Calculamos la solución estacionaria $ v(x) $, de esta forma cuando $ t \to \infty $, $ u(x,t) \to v(x) $ y $ v $ será solución de:
\[
v''(x) = 0
\]
\[
v(0) = 1
\]
\[
v(1) = 10
\]
Resolviendo:
\[
v(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R}
\]
Dado que $ v(0) = b = 1 $ y $ v(1) = a + 1 = 10 $, obtenemos $ a = 9 $, por lo que:
\[
v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1)
\]
Graficamos esta solución.

== Resolviendo ==
Se realiza el cambio de variable:
\[
w(x,t) = u(x,t) - v(x)
\]
Entonces, el sistema se transforma en:
\[
w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
\]
\[
w(0,t) = 0, \quad t > 0
\]
\[
w(1,t) = 0, \quad t > 0
\]
\[
w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1)
\]

== Resolviendo por Separación de Variables ==
Se obtiene:
\[
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
\]
\[
u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x), \quad x \in (0,1), \quad t > 0
\]
Donde:
\[
B_n = \frac{18}{n\pi}
\]

== Nota ==
Se usa la extensión impar de:
\[
\tilde{g}(x) =
\begin{cases}
-9x + 9, & x \in (0,1) \\
-9x - 9, & x \in (-1,0)
\end{cases}
\]
$\tilde{g}(x)$ es impar y no cambia puntualmente su desarrollo de Fourier en $ x = 0 $. Así, la solución final es:
\[
u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
\]

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:21:08Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Planteamiento del problema ==
Se tiene el siguiente sistema:

=== Condiciones iniciales y de frontera ===
* Ecuación del calor:
: $ u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 $

* Condiciones de frontera:
: $ u(0,t) = 1 \quad t > 0 $
: $ u(1,t) = 10 \quad t > 0 $

* Condición inicial:
: $ u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1) $

== Solución estacionaria ==
Calculamos la solución estacionaria $ v(x) $ de la forma $ u(x,t) = v(x) + w(x,t) $, de esta forma cuando $ t \to \infty $, $ w \to 0 $ y $ v $ será solución de:

* $ v''(x) = 0 $
* $ v(0) = 1 $
* $ v(1) = 10 $

Resolviendo:
* $ v(x) = ax + b $

Donde $ v(0) = b = 1 $ y $ v(1) = a + 1 = 10 $, por lo que $ a = 9 $, entonces:

* $ v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1) $

== Resolución de la ecuación homogénea ==
Realizamos el cambio de variable $ w(x,t) = u(x,t) - v(x) $, con lo que el sistema queda:

* $ w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 $
* $ w(0,t) = 0 \quad t > 0 $
* $ w(1,t) = 0 \quad t > 0 $
* $ w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1) $

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

* $ w(x,t) = \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) $

Por lo que la solución completa es:

* $ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) $

Calculando $ B_n $:

* $ B_n = \frac{18}{n \pi} $

Por lo que la solución final queda expresada como:

* $ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) $

Ecuación del calor (PPAD)

2025-03-15T11:18:12Z

PabloV:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
== Planteamiento del problema ==
Se tiene el siguiente sistema:

Condiciones iniciales y de frontera:

 ecuación del calor:
:u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0

 Condiciones de frontera:
:u(0,t) = 1 \quad t > 0
:u(1,t) = 10 \quad t > 0

 Condición inicial:
:u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1)

== Solución estacionaria ==
Calculamos la solución estacionaria $ v(x) $ de la forma $ u(x,t) = v(x) + w(x,t) $, de esta forma cuando $ t \to \infty $, $ w \to 0 $ y $ v $ será solución de:

:v''(x) = 0
:v(0) = 1
:v(1) = 10

Resolviendo:
:v(x) = ax + b

Donde $ v(0) = b = 1 $ y $ v(1) = a + 1 = 10 $, por lo que $ a = 9 $, entonces:
:v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1)

== Resolución de la ecuación homogénea ==
Realizamos el cambio de variable $ w(x,t) = u(x,t) - v(x) $, con lo que el sistema queda:

:w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0
:w(0,t) = 0 \quad t > 0
:w(1,t) = 0 \quad t > 0
:w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1)

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

:w(x,t) = \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)

Por lo que la solución completa es:

:u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)

Calculando $ B_n $:

:B_n = \frac{18}{n \pi}

Por lo que la solución final queda expresada como:

:u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:20:35Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2(- \pi, \pi) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2(a, b) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2(- \pi, \pi) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2(a,b) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2(a,b) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2(a,b) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2(-2,3) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:19:38Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2(- \pi, \pi) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2(a, b) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:16:37Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:15:48Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

### Cálculo de los coeficientes de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = (f,\frac{1}{\sqrt{5}})_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:14:50Z

PabloV: /* . Introducción */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

### Cálculo de los coeficientes de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:13:44Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

### Cálculo de los coeficientes de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
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Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:12:43Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{-10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

### Cálculo de los coeficientes de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

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[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:11:28Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}

=. Introducción=
Se define el espacio de Hilbert <math>L^2(a,b)</math> como:
<center><math> L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} </math>,</center>
donde <math> a,b \in \mathbb{R} </math> y <math> a \lt b </math>. <math>L^2(a,b)</math> es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:
<center><math> (f,g)_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} </math>,</center>
Esta construcción del espacio <math> L^{2} </math> permite plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.
=. Base trigonométrica=
Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio <math>L^2(-\pi,\pi)</math>. En éste se define la base numerable <math> \beta </math> dada por los siguientes elementos:
<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>
que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

=. Aproximación de una función por la base trigonométrica=
Sea <center><math> f(x) = xe^{-x} </math>,</center>
definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio <math>L^2(-2,3)</math>.

Consideramos el espacio de Hilbert $ L^2([- \pi, \pi]) $ con el producto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} $. En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

<center><math> \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>,</center>

Si consideramos ahora el espacio $ L^2([a, b]) $, buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

<center><math> h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] </math>,</center>

De esta manera, $ h(x) \in [-\pi, \pi] $, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio $ L^2([- \pi, \pi]) $ al nuevo intervalo $ [a, b] $.

Bajo este cambio de variable, una función $ f(x) $ en $ L^2([a,b]) $ se puede expresar como:

<math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} d_n \cos(n R(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sin(n R(x))
</math>

donde el coeficiente $ d_0 $ es:

<math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{b-a}}
</math>

para que su norma sea 1, pues:

<math>
\left\langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\rangle = \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1.
</math>

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de $ L^2([a,b]) $:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \cos\left(n \frac{2\pi (x-a)}{b-a} - \pi\right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \sin\left(n \frac{2\pi (x-a)}{b-a} - \pi\right) \right\}.
</math>

Para preservar la ortonormalidad en $ L^2([a,b]) $, los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

<math>
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}}
</math>

para los términos trigonométricos.

Considerando el espacio del intervalo $ L^2([-2,3]) $, tenemos que la base trigonométrica buscada será:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x+2)}{5} - \pi \right) \right) \right\}.
</math>

Esto se puede reescribir como:

<math>
\mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}.
</math>

Sea la función $ f(x) = x e^{-x} $. Se verifica que $ f(x) \in L^2([-2,3]) $, pues:

<math>
\int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{-10}-5)}{4 e^6}.
</math>

Dado que $ f(x) $ es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

<math>
f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right).
</math>

### Cálculo de los coeficientes de Fourier

El coeficiente $ d_0 $ se obtiene como:

<math>
d_0 = \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}.
</math>

Para los coeficientes $ d_n $:

<math>
d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

Para los coeficientes $ d_m $:

<math>
d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx.
</math>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:09:44Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:08:07Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:05:13Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:04:55Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:03:38Z

PabloV: /* . Aproximación de una función por la base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:02:35Z

PabloV:

Series de Fourier (Grupo PPAD)

2025-02-11T20:00:56Z

PabloV: