MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-25T13:45:09Z

PabloRibao: /* Pendiente */

{{ TrabajoSIG | Localización para la explotación de la trufa en Soria | • Iñigo Sanchez Arratia • Antonio del Pozo Mínguez • Agustín Laja Santiago • Pablo Ribao Gil. | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

== Introducción ==

En este trabajo vamos a estudiar la viabilidad de la realización de actividades truficulturales en la provincia de Soria.
La truficultura es el cultivo de la trufa, el fruto de un hongo micorrícico que vive asociado a las raíces de ciertos árboles o arbustos como los avellanos, las encinas o los robles.
Para poder llevarlo a cabo, la trufa necesitará unas condiciones concretas de humedad, temperatura, pendiente del terreno etc.
Gracias al QGIS vamos a ser capaces de delimitar zonas donde el cultivo de la trufa será posible.

==Tuber Aestivum==
[[Archivo:tuber-aestivum.jpg|200px|thumb|left|Tuber Aestivum]]
Esta será el tipo de trufa en el que nos vamos a fijar.
Trufa globosa, compacta, de 1,5-7 cm de diámetro, dependiendo en gran medida de la edad. Peridio negro, cubierto de verrugas piramidales de 4 a 6 caras y de 2,5-4 (-6) mm de altura, con estrías longitudinales poco marcadas. Gleba con numerosas venaciones fértiles y estériles, muy ramificadas, que parten de multitud de puntos del peridio; el color de la gleba varía de acuerdo con el estado de madurez, de forma que inicialmente es blanca, después, con la maduración, las venas fértiles van tomando un color amarillo-pardusco, pardo-oliva y finalmente pardo-grisáceo, mientras que las venas estériles permanecen blancuzcas entre las anteriores. En fresco desprende un olor suave y agradable. Microscopía.- Peridio pseudoparenquimático, de 200-400 µm, opaco, constituido por células angulares de 9-14(-19) µm de diámetro, mayores y más pigmentadas hacia la superficie.

==Condiciones de desarrollo==
La tuber aestivum necesita unas precipitaciones anuales en torno a los 400-1500 mm anuales, encontrándose el óptimo aproximadamente en la media de ambos valores, ya que la cantidad de agua que reciba la planta debe ser suficiente pero moderada debido a que el exceso puede afectar negativamente al desarrollo de la trufa.

En cuanto a temperaturas lo óptimo es el intervalo de temperaturas medias anuales comprendido entre 10-18ºC, y con un número medio de heladas al año de 10-80. A esta trufa le perjudican terrenos excesivamente llanos pues requiere un flujo de agua moderado como comentamos anteriormente, además al tratarse de un hongo que crece en la raíz de la planta, es recomendable que esta se pueda desarrollar de la manera mas plena posible, por lo que es necesario evitar zonas de gran pendiente que restan espacio de crecimiento a la raíz.

Un factor muy a tener en cuenta es la altitud a la que se encuentre la explotación, pues esta trufa sólo puede darse entre altitudes de 100 a 1500 metros, estando el óptimo en torno a los 700 m.s.n.m. Hay que añadir que la tipología de terreno adecuada son rocas de edad geológica encuadradas en los periodos Primario, Secundario-Mesozoico (Triásico, Jurásico, Cretácico), Terciario y aluviales del Cuaternario o recientes, con un predominio de calizas duras del Jurásico Superior.

==Zona de Estudio==
Según las características comentadas en el apartado anterior, la zona mas adecuada para el cultivo de la trufa es el noreste de la Península Ibérica, destacando Cataluña, Aragón, Valencia y Soria. En esta ultima, será en la que centremos nuestro estudio, más concreto en la comarca de Gomara cuya situación se muestra en el mapa.

[[Archivo:SORIA_72.jpg|200px|thumb|Right|Localización de Gomara en la provincia de Soria]]

===Metodología de estudio===
Para determinar la mejor zona de cultivo de trufa en la zona seleccionada hemos recurrido a las variables que se muestran a continuación que hemos considerado como las mas importantes. Basándonos en cada una de ellas, hemos delimitado varias zonas en función de los parámetros óptimos que permiten una mayor probabilidad de desarrollo del hongo.

===Características de la Zona de Estudio===

====Precipitaciones====

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos pluviometricos de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las precipitaciones medias de la zona.

[[Archivo:ojete.JPG|400x400px|marco|centro|Precipitaciones]]

====Temperatura====

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos de temperatura de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las temperaturas medias anuales de la zona.

[[Archivo:Pepito.JPG|500x500px|marco|centro|TEMPERATURA]]

====Altitud====

Recurriendo al CNIG podemos obtener la altitud de la zona de estudio.

[[Archivo:altitudessoria.JPG|500x500px|marco|centro|ALTITUD]]

====Pendiente====
[[Archivo:Pendientesoriaa.png|200px|thumb|down|Pendiente]]

[[Archivo:GOMARA.JPG|200px|thumb|Right|LOCALIZACIÓN]]

==Resultados==
Tras el estudio realizado, existen dos zonas que cumplen los requisitos que hemos expuesto, están señalados en el mapa adjunto con puntos.
Pero estos requisitos solo se fijan en condiciones ambientales, para poder decantarnos por una de las dos opciones estudiamos en la página del catastro la situación de cada uno, observamos que en el primer punto no existía ninguna parcela por ser una zona protegida, al contrario del segundo, motivo suficiente para decantarnos por este último.
[[Archivo:SOLUCION.JPG|200px|thumb|Left|SOLUCIONES]]

Archivo:Pendientesoriaa.png

2015-05-25T13:44:29Z

PabloRibao:

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-25T13:42:34Z

PabloRibao: /* Pendiente */

{{ TrabajoSIG | Localización para la explotación de la trufa en Soria | • Iñigo Sanchez Arratia • Antonio del Pozo Mínguez • Agustín Laja Santiago • Pablo Ribao Gil. | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

== Introducción ==

En este trabajo vamos a estudiar la viabilidad de la realización de actividades truficulturales en la provincia de Soria.
La truficultura es el cultivo de la trufa, el fruto de un hongo micorrícico que vive asociado a las raíces de ciertos árboles o arbustos como los avellanos, las encinas o los robles.
Para poder llevarlo a cabo, la trufa necesitará unas condiciones concretas de humedad, temperatura, pendiente del terreno etc.
Gracias al QGIS vamos a ser capaces de delimitar zonas donde el cultivo de la trufa será posible.

==Tuber Aestivum==
[[Archivo:tuber-aestivum.jpg|200px|thumb|left|Tuber Aestivum]]
Esta será el tipo de trufa en el que nos vamos a fijar.
Trufa globosa, compacta, de 1,5-7 cm de diámetro, dependiendo en gran medida de la edad. Peridio negro, cubierto de verrugas piramidales de 4 a 6 caras y de 2,5-4 (-6) mm de altura, con estrías longitudinales poco marcadas. Gleba con numerosas venaciones fértiles y estériles, muy ramificadas, que parten de multitud de puntos del peridio; el color de la gleba varía de acuerdo con el estado de madurez, de forma que inicialmente es blanca, después, con la maduración, las venas fértiles van tomando un color amarillo-pardusco, pardo-oliva y finalmente pardo-grisáceo, mientras que las venas estériles permanecen blancuzcas entre las anteriores. En fresco desprende un olor suave y agradable. Microscopía.- Peridio pseudoparenquimático, de 200-400 µm, opaco, constituido por células angulares de 9-14(-19) µm de diámetro, mayores y más pigmentadas hacia la superficie.

==Condiciones de desarrollo==
La tuber aestivum necesita unas precipitaciones anuales en torno a los 400-1500 mm anuales, encontrándose el óptimo aproximadamente en la media de ambos valores, ya que la cantidad de agua que reciba la planta debe ser suficiente pero moderada debido a que el exceso puede afectar negativamente al desarrollo de la trufa.

En cuanto a temperaturas lo óptimo es el intervalo de temperaturas medias anuales comprendido entre 10-18ºC, y con un número medio de heladas al año de 10-80. A esta trufa le perjudican terrenos excesivamente llanos pues requiere un flujo de agua moderado como comentamos anteriormente, además al tratarse de un hongo que crece en la raíz de la planta, es recomendable que esta se pueda desarrollar de la manera mas plena posible, por lo que es necesario evitar zonas de gran pendiente que restan espacio de crecimiento a la raíz.

Un factor muy a tener en cuenta es la altitud a la que se encuentre la explotación, pues esta trufa sólo puede darse entre altitudes de 100 a 1500 metros, estando el óptimo en torno a los 700 m.s.n.m. Hay que añadir que la tipología de terreno adecuada son rocas de edad geológica encuadradas en los periodos Primario, Secundario-Mesozoico (Triásico, Jurásico, Cretácico), Terciario y aluviales del Cuaternario o recientes, con un predominio de calizas duras del Jurásico Superior.

==Zona de Estudio==
Según las características comentadas en el apartado anterior, la zona mas adecuada para el cultivo de la trufa es el noreste de la Península Ibérica, destacando Cataluña, Aragón, Valencia y Soria. En esta ultima, será en la que centremos nuestro estudio, más concreto en la comarca de Gomara cuya situación se muestra en el mapa.

[[Archivo:SORIA_72.jpg|200px|thumb|Right|Localización de Gomara en la provincia de Soria]]

===Metodología de estudio===
Para determinar la mejor zona de cultivo de trufa en la zona seleccionada hemos recurrido a las variables que se muestran a continuación que hemos considerado como las mas importantes. Basándonos en cada una de ellas, hemos delimitado varias zonas en función de los parámetros óptimos que permiten una mayor probabilidad de desarrollo del hongo.

===Características de la Zona de Estudio===

====Precipitaciones====
[[Archivo:ojete.JPG|200px|thumb|down|PRECIPITACIONES]]

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos pluviometricos de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las precipitaciones medias de la zona.

====Temperatura====

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos de temperatura de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las temperaturas medias anuales de la zona.

[[Archivo:Pepito.JPG|500x500px|marco|centro|TEMPERATURA]]

====Altitud====
[[Archivo:altitudessoria.JPG|200px|thumb|Right|ALTITUD]]
Recurriendo al CNIG podemos obtener la altitud de la zona de estudio.

====Pendiente====
[[Archivo:Pendientesoria.png |200px|thumb|down|Pendiente]]

[[Archivo:GOMARA.JPG|200px|thumb|Right|LOCALIZACIÓN]]

==Resultados==
Tras el estudio realizado, existen dos zonas que cumplen los requisitos que hemos expuesto, están señalados en el mapa adjunto con puntos.
Pero estos requisitos solo se fijan en condiciones ambientales, para poder decantarnos por una de las dos opciones estudiamos en la página del catastro la situación de cada uno, observamos que en el primer punto no existía ninguna parcela por ser una zona protegida, al contrario del segundo, motivo suficiente para decantarnos por este último.
[[Archivo:SOLUCION.JPG|200px|thumb|Left|SOLUCIONES]]

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-25T13:41:27Z

PabloRibao: /* Zona de Estudio */

{{ TrabajoSIG | Localización para la explotación de la trufa en Soria | • Iñigo Sanchez Arratia • Antonio del Pozo Mínguez • Agustín Laja Santiago • Pablo Ribao Gil. | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

== Introducción ==

En este trabajo vamos a estudiar la viabilidad de la realización de actividades truficulturales en la provincia de Soria.
La truficultura es el cultivo de la trufa, el fruto de un hongo micorrícico que vive asociado a las raíces de ciertos árboles o arbustos como los avellanos, las encinas o los robles.
Para poder llevarlo a cabo, la trufa necesitará unas condiciones concretas de humedad, temperatura, pendiente del terreno etc.
Gracias al QGIS vamos a ser capaces de delimitar zonas donde el cultivo de la trufa será posible.

==Tuber Aestivum==
[[Archivo:tuber-aestivum.jpg|200px|thumb|left|Tuber Aestivum]]
Esta será el tipo de trufa en el que nos vamos a fijar.
Trufa globosa, compacta, de 1,5-7 cm de diámetro, dependiendo en gran medida de la edad. Peridio negro, cubierto de verrugas piramidales de 4 a 6 caras y de 2,5-4 (-6) mm de altura, con estrías longitudinales poco marcadas. Gleba con numerosas venaciones fértiles y estériles, muy ramificadas, que parten de multitud de puntos del peridio; el color de la gleba varía de acuerdo con el estado de madurez, de forma que inicialmente es blanca, después, con la maduración, las venas fértiles van tomando un color amarillo-pardusco, pardo-oliva y finalmente pardo-grisáceo, mientras que las venas estériles permanecen blancuzcas entre las anteriores. En fresco desprende un olor suave y agradable. Microscopía.- Peridio pseudoparenquimático, de 200-400 µm, opaco, constituido por células angulares de 9-14(-19) µm de diámetro, mayores y más pigmentadas hacia la superficie.

==Condiciones de desarrollo==
La tuber aestivum necesita unas precipitaciones anuales en torno a los 400-1500 mm anuales, encontrándose el óptimo aproximadamente en la media de ambos valores, ya que la cantidad de agua que reciba la planta debe ser suficiente pero moderada debido a que el exceso puede afectar negativamente al desarrollo de la trufa.

En cuanto a temperaturas lo óptimo es el intervalo de temperaturas medias anuales comprendido entre 10-18ºC, y con un número medio de heladas al año de 10-80. A esta trufa le perjudican terrenos excesivamente llanos pues requiere un flujo de agua moderado como comentamos anteriormente, además al tratarse de un hongo que crece en la raíz de la planta, es recomendable que esta se pueda desarrollar de la manera mas plena posible, por lo que es necesario evitar zonas de gran pendiente que restan espacio de crecimiento a la raíz.

Un factor muy a tener en cuenta es la altitud a la que se encuentre la explotación, pues esta trufa sólo puede darse entre altitudes de 100 a 1500 metros, estando el óptimo en torno a los 700 m.s.n.m. Hay que añadir que la tipología de terreno adecuada son rocas de edad geológica encuadradas en los periodos Primario, Secundario-Mesozoico (Triásico, Jurásico, Cretácico), Terciario y aluviales del Cuaternario o recientes, con un predominio de calizas duras del Jurásico Superior.

==Zona de Estudio==
Según las características comentadas en el apartado anterior, la zona mas adecuada para el cultivo de la trufa es el noreste de la Península Ibérica, destacando Cataluña, Aragón, Valencia y Soria. En esta ultima, será en la que centremos nuestro estudio, más concreto en la comarca de Gomara cuya situación se muestra en el mapa.

[[Archivo:SORIA_72.jpg|200px|thumb|Right|Localización de Gomara en la provincia de Soria]]

===Metodología de estudio===
Para determinar la mejor zona de cultivo de trufa en la zona seleccionada hemos recurrido a las variables que se muestran a continuación que hemos considerado como las mas importantes. Basándonos en cada una de ellas, hemos delimitado varias zonas en función de los parámetros óptimos que permiten una mayor probabilidad de desarrollo del hongo.

===Características de la Zona de Estudio===

====Precipitaciones====
[[Archivo:ojete.JPG|200px|thumb|down|PRECIPITACIONES]]

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos pluviometricos de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las precipitaciones medias de la zona.

====Temperatura====

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos de temperatura de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las temperaturas medias anuales de la zona.

[[Archivo:Pepito.JPG|500x500|thumb|left|TEMPERATURA]]

====Altitud====
[[Archivo:altitudessoria.JPG|200px|thumb|Right|ALTITUD]]
Recurriendo al CNIG podemos obtener la altitud de la zona de estudio.

====Pendiente====
[[Archivo:Pendientesoria.png200px|thumb|down|Pendiente]]
[[Archivo:GOMARA.JPG|200px|thumb|Right|LOCALIZACIÓN]]

==Resultados==
Tras el estudio realizado, existen dos zonas que cumplen los requisitos que hemos expuesto, están señalados en el mapa adjunto con puntos.
Pero estos requisitos solo se fijan en condiciones ambientales, para poder decantarnos por una de las dos opciones estudiamos en la página del catastro la situación de cada uno, observamos que en el primer punto no existía ninguna parcela por ser una zona protegida, al contrario del segundo, motivo suficiente para decantarnos por este último.
[[Archivo:SOLUCION.JPG|200px|thumb|Left|SOLUCIONES]]

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-25T13:40:41Z

PabloRibao: /* Características de la Zona de Estudio */

{{ TrabajoSIG | Localización para la explotación de la trufa en Soria | • Iñigo Sanchez Arratia • Antonio del Pozo Mínguez • Agustín Laja Santiago • Pablo Ribao Gil. | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

== Introducción ==

En este trabajo vamos a estudiar la viabilidad de la realización de actividades truficulturales en la provincia de Soria.
La truficultura es el cultivo de la trufa, el fruto de un hongo micorrícico que vive asociado a las raíces de ciertos árboles o arbustos como los avellanos, las encinas o los robles.
Para poder llevarlo a cabo, la trufa necesitará unas condiciones concretas de humedad, temperatura, pendiente del terreno etc.
Gracias al QGIS vamos a ser capaces de delimitar zonas donde el cultivo de la trufa será posible.

==Tuber Aestivum==
[[Archivo:tuber-aestivum.jpg|200px|thumb|left|Tuber Aestivum]]
Esta será el tipo de trufa en el que nos vamos a fijar.
Trufa globosa, compacta, de 1,5-7 cm de diámetro, dependiendo en gran medida de la edad. Peridio negro, cubierto de verrugas piramidales de 4 a 6 caras y de 2,5-4 (-6) mm de altura, con estrías longitudinales poco marcadas. Gleba con numerosas venaciones fértiles y estériles, muy ramificadas, que parten de multitud de puntos del peridio; el color de la gleba varía de acuerdo con el estado de madurez, de forma que inicialmente es blanca, después, con la maduración, las venas fértiles van tomando un color amarillo-pardusco, pardo-oliva y finalmente pardo-grisáceo, mientras que las venas estériles permanecen blancuzcas entre las anteriores. En fresco desprende un olor suave y agradable. Microscopía.- Peridio pseudoparenquimático, de 200-400 µm, opaco, constituido por células angulares de 9-14(-19) µm de diámetro, mayores y más pigmentadas hacia la superficie.

==Condiciones de desarrollo==
La tuber aestivum necesita unas precipitaciones anuales en torno a los 400-1500 mm anuales, encontrándose el óptimo aproximadamente en la media de ambos valores, ya que la cantidad de agua que reciba la planta debe ser suficiente pero moderada debido a que el exceso puede afectar negativamente al desarrollo de la trufa.

En cuanto a temperaturas lo óptimo es el intervalo de temperaturas medias anuales comprendido entre 10-18ºC, y con un número medio de heladas al año de 10-80. A esta trufa le perjudican terrenos excesivamente llanos pues requiere un flujo de agua moderado como comentamos anteriormente, además al tratarse de un hongo que crece en la raíz de la planta, es recomendable que esta se pueda desarrollar de la manera mas plena posible, por lo que es necesario evitar zonas de gran pendiente que restan espacio de crecimiento a la raíz.

Un factor muy a tener en cuenta es la altitud a la que se encuentre la explotación, pues esta trufa sólo puede darse entre altitudes de 100 a 1500 metros, estando el óptimo en torno a los 700 m.s.n.m. Hay que añadir que la tipología de terreno adecuada son rocas de edad geológica encuadradas en los periodos Primario, Secundario-Mesozoico (Triásico, Jurásico, Cretácico), Terciario y aluviales del Cuaternario o recientes, con un predominio de calizas duras del Jurásico Superior.

==Zona de Estudio==
Según las características comentadas en el apartado anterior, la zona mas adecuada para el cultivo de la trufa es el noreste de la Península Ibérica, destacando Cataluña, Aragón, Valencia y Soria. En esta ultima, será en la que centremos nuestro estudio, más concreto en la comarca de Gomara cuya situación se muestra en el mapa.

[[Archivo:SORIA_72.jpg|200px|thumb|Right|Localización de Gomara en la provincia de Soria]]

===Metodología de estudio===
Para determinar la mejor zona de cultivo de trufa en la zona seleccionada hemos recurrido a las variables que se muestran a continuación que hemos considerado como las mas importantes. Basándonos en cada una de ellas, hemos delimitado varias zonas en función de los parámetros óptimos que permiten una mayor probabilidad de desarrollo del hongo.

===Características de la Zona de Estudio===

====Precipitaciones====
[[Archivo:ojete.JPG|200px|thumb|down|PRECIPITACIONES]]

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos pluviometricos de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las precipitaciones medias de la zona.

====Temperatura====

Para obtener las precipitaciones de la zona recurrimos a los datos de temperatura de la AEMET y con los datos de las estaciones circundantes hemos generado un mapa que representa gráficamente las temperaturas medias anuales de la zona.

[[Archivo:Pepito.JPG|500x500|thumb|left|TEMPERATURA]]

====Altitud====
[[Archivo:altitudessoria.JPG|200px|thumb|Right|ALTITUD]]
Recurriendo al CNIG podemos obtener la altitud de la zona de estudio.

====Pendiente====
[[Archivo:pendientesoria|200px|thumb|down|Pendiente]]
[[Archivo:GOMARA.JPG|200px|thumb|Right|LOCALIZACIÓN]]

==Resultados==
Tras el estudio realizado, existen dos zonas que cumplen los requisitos que hemos expuesto, están señalados en el mapa adjunto con puntos.
Pero estos requisitos solo se fijan en condiciones ambientales, para poder decantarnos por una de las dos opciones estudiamos en la página del catastro la situación de cada uno, observamos que en el primer punto no existía ninguna parcela por ser una zona protegida, al contrario del segundo, motivo suficiente para decantarnos por este último.
[[Archivo:SOLUCION.JPG|200px|thumb|Left|SOLUCIONES]]

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:48:10Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:47:58Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:47:42Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:46:42Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:45:50Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Localización para la explotación de la trufa en la provincia de Soria

2015-05-19T18:44:32Z

PabloRibao: /* Temperatura */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T11:25:03Z

PabloRibao: /* MASA DE LA PLACA */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T11:17:35Z

PabloRibao: /* TENSIÓN DE VON MISES */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T11:15:33Z

PabloRibao:

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T10:22:53Z

PabloRibao:

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T10:22:16Z

PabloRibao:

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 817 
Paco Durán Muñoz 721 
Almudena Román Sánchez-Rey 678 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas 835}} }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T10:16:06Z

PabloRibao:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
Pablo Ribao Gil 817 
Paco Durán Muñoz 721 
Almudena Román Sánchez-Rey 678 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas 835}} 

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T10:12:29Z

PabloRibao:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4328

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:52:57Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:captura1993.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Capturatensiones.jpg

2014-12-04T09:47:08Z

PabloRibao:

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:46:42Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{j} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:pabloribaogilsaezgarayruizbuitron.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:44:44Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:pabloribaogilsaezgarayruizbuitron.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:41:23Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:pabloribaogilsaezgaray.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Caminos.jpg

2014-12-04T09:40:16Z

PabloRibao:

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:39:27Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Caminos.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:35:06Z

PabloRibao: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0*Y;
tx=0.2*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:26:36Z

PabloRibao: /* VARIACIÓN DE TEMPERATURA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:26:17Z

PabloRibao: /* VARIACIÓN DE TEMPERATURA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente26.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:23:05Z

PabloRibao: /* VARIACIÓN DE TEMPERATURA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:Gradiente26.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Gradiente1.jpg

2014-12-04T09:21:30Z

PabloRibao: Gradiente y curvas de nivel

Gradiente y curvas de nivel

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T09:19:15Z

PabloRibao: /* VARIACIÓN DE TEMPERATURA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Figura.jpg

2014-12-04T09:00:22Z

PabloRibao: Distribución de las temperaturas

Distribución de las temperaturas

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T08:59:34Z

PabloRibao: /* DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T08:57:04Z

PabloRibao: /* DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=4; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
w1=ones(N1+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:42:14Z

PabloRibao:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:38:49Z

PabloRibao: /* TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A \vec{j} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:38:15Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:36:53Z

PabloRibao: /* TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:36:10Z

PabloRibao: /* TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{xy} \tau_{xz} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{xz} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:35:06Z

PabloRibao: /* TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A \vec{j} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y en las columnas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{xy} \tau_{xz} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{xz} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:34:20Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y en las columnas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{xy} \tau_{xz} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{xz} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{xz} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:30:42Z

PabloRibao: /* TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A \vec{i} */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:30:31Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:27:09Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:19:27Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:18:20Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:15:33Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:12:56Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:07:13Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T18:05:01Z

PabloRibao: /* TENSIONES DE LA PLACA */