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La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T12:57:12Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α, aparte la eleccion de una pared de longitud L despreciable ante z nos da la oportunidad de calcular el flujo de manera más simplificada.

<math>

\Phi = \int_{-\infty}^0 \int_0^L ({v}\cdot n) \, dx \, dz,
</math>
Donde
<math> {v} = u(z) \overrightarrow{i} + \overrightarrow v(z) j </math> <math> y {n} = \cos\alpha \overrightarrow{i} + \sin\alpha \overrightarrow{j} . </math>
El producto escalar es:

<math> v \cdot n= u(z) \cos\alpha + v(z) \sin\alpha. </math>

<math> v \cdot n = V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos\alpha \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) + \sin\alpha \sin\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) \right].

</math>
Usando la intentidad trigonométrica:
<math> \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B </math>

<math> v \cdot n = V_0 e^{z/d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right). </math>

<math> \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz dx </math>

Resolvemos la parte dx

<math> \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Para resolverla usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz </math>

<math> \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math> \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes
<math>
\Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral,<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz
</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I </math> esta la sustituimos en <math> \Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Entonces
<math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)
</math>
Solo nos queda evaluar la integral entre
<math>z=-\infty </math> y <math> z=0 </math>

Al evaluar,
Para z =0

<math>
e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty todos los </math>
<math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

el flujo de ekman se dirige hacia el oeste debido a la interacciónn del viento la fuerza de Coriolis, perpenticular al viento, confirmando el transporte de Ekman

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T12:30:16Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α, aparte la eleccion de una pared de longitud L despreciable ante z nos da la oportunidad de calcular el flujo de manera más simplificada.

<math> \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz dx </math>

Resolvemos la parte dx

<math> \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Para resolverla usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz </math>

<math> \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math> \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes
<math>
\Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral,<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz
</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I </math> esta la sustituimos en <math> \Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Entonces
<math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)
</math>
Solo nos queda evaluar la integral entre
<math>z=-\infty </math> y <math> z=0 </math>

Al evaluar,
Para z =0

<math>
e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty todos los </math>
<math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

el flujo de ekman se dirige hacia el oeste debido a la interacciónn del viento la fuerza de Coriolis, perpenticular al viento, confirmando el transporte de Ekman
<math> </math>

<math> </math>

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T12:28:26Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α, aparte la eleccion de una pared de longitud L despreciable ante z nos da la oportunidad de calcular el flujo de manera más simplificada.

<math> \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz dx </math>

Resolvemos la parte dx

<math> \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Para resolverla usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz </math>

<math> \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math> \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes
<math>
\Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral,<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz
</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I </math> esta la sustituimos en \Phi

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>
Entonces
<math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)
</math>
Solo nos queda evaluar la integral entre
<math>z=-\infty </math> y <math> z=0 </math>

Al evaluar,
Para z =0

<math>
e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty todos los </math>
<math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

el flujo de ekman se dirige hacia el oeste debido a la interacciónn del viento la fuerza de Coriolis, perpenticular al viento, confirmando el transporte de Ekman
<math> </math>

<math> </math>

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T12:05:10Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α

<math> \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz dx </math>
Resolvemos la parte dx

<math> \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>

Para resolverla usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right), \quad dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz </math>

<math> \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>

<math> \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes
<math>
\Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral,<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>
Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz
</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>

Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - I </math> esta la sustituimos en {\Phi}

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>
Entonces
<math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right)
</math>
Solo nos queda evaluar la integral entre
<math>z=-\infty </math> y <math> z=0 </math>

Al evaluar,
Para z =0

<math>
e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) = \cos(\phi - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) = \sin(\phi - \alpha) </math>

Y para z =-\infty todos los
<math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(\phi - \alpha) + \sin(\phi - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(\phi - \alpha) + \sin(\phi - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(\phi - \alpha) + \sin(\phi - \alpha)\right]
</math>

<math> </math>

<math> </math>

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T11:56:53Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α

<math> \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz dx </math>
Resolvemos la parte dx

<math> \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>

Para resolverla usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right), \quad dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz </math>

<math> \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>

<math> \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes
<math>
\Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral,<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>
Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz
</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) dz </math>
Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - I </math> está la sustituimos en \phi

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) - I \right] </math>
Como <math> \Phi=I </math>
Entonces
<math> 2I = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right)
</math>
Solo nos queda evaluar la integral entre
<math>z=-\infty </math> y <math> z=0 </math>
Al evaluar,
Para z =0

<math>
e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) = \cos(\phi - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + \phi - \alpha\right) = \sin(\phi - \alpha) </math>
Para z =-\infty todos los
<math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría
<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T11:19:24Z

Pablo.alcaide: /* Flujo neto de v a través de la pared */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==
Se está considerando una pared vertical perpendicular al vector <math> \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j </math>, con orientación dependiente de α

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

<math> </math>

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-08T15:16:06Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)

plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-08T12:07:31Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

Tal y como muestra la siguiente imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

\n

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal (w = 0) y homogéneo en las direcciones horizontales , el rotacional se reduce a:

Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-08T12:05:55Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

Tal y como muestra la siguiente imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

\n

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal (w = 0) y homogéneo en las direcciones horizontales , el rotacional se reduce a:

Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-07T11:42:37Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

Archivo:Ap9.png

2024-12-07T11:38:13Z

Pablo.alcaide:

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-04T18:18:49Z

Pablo.alcaide: /* Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-04T18:13:09Z

Pablo.alcaide: /* Divergencia de v */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-04T18:09:26Z

Pablo.alcaide: /* Divergencia de v */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} } \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-04T18:05:39Z

Pablo.alcaide: /* Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:campovelniveles.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación campo V ]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \cos ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \sin ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

Archivo:Campovelniveles.png

2024-12-04T18:04:57Z

Pablo.alcaide: campo velocidad diferentes z

campo velocidad diferentes z

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-04T18:02:47Z

Pablo.alcaide: /* Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E)

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
% Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);

% Campo vectorial
quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
pause(0.5); % Pausa entre planos
end

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:curva.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \cos ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \sin ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T19:14:42Z

Pablo.alcaide: /* Divergencia de v */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \cos ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d } } \sin ( \frac { z } { d \theta } + \theta ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T19:02:50Z

Pablo.alcaide: /* Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T18:48:03Z

Pablo.alcaide: /* Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Aparte tenemos que, <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>

Igualamos:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>; en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>,

En la derivada de v pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T18:30:54Z

Pablo.alcaide: /* Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?
Partimos de los datos:
<math> \color{white} u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>
<math> \color{white} v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta ) </math>
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>
Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \color{white} \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) ) </math>

<math> \color{white} \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>
Para ahora calcular las segundas derivadas,
<math> \color{white} \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} + )) </math>
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>
Aparte tenemos que <math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>
Igualamos
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>, y sustituimos <math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) </math>; en la ecuación, quedándonos:
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>,
En la derivada de v pasará lo mismo:
<math> \color{white} \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + \theta ) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>

Por lo que sí se verifica
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T18:15:37Z

Pablo.alcaide: /* Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?
Partimos de los datos:

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-02T10:03:43Z

Pablo.alcaide: /* Valor de ϑ */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-01T20:25:38Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( \theta )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( \theta )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> \theta = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvadeekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Curvaekmancilindricas.png

2024-12-01T20:10:02Z

Pablo.alcaide:

Archivo:Curvacilindricasekman.png

2024-12-01T20:00:48Z

Pablo.alcaide:

Archivo:Curvadeekman.png

2024-12-01T19:51:25Z

Pablo.alcaide:

Archivo:Curvaekman.png

2024-12-01T19:42:32Z

Pablo.alcaide:

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-01T19:41:18Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( \theta )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( \theta )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> \theta = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
 
[[Archivo:curvaekman.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros dados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4; % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100; % Profundidad máxima (m)
z_min = -500; % Profundidad mínima (m)
dz = 5; % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2); % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u); % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)'); % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)'); % Dirección angular
zlabel('e_z (m)'); % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-01T19:20:43Z

Pablo.alcaide: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La espiral de Ekman es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción afecta el movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, desarrollado por el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman a principios del siglo XX, explica cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente: hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenómeno produce una estructura en forma de espiral en la columna de agua, conocida como espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( \theta )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( \theta )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> \theta = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-11-28T15:15:50Z

Pablo.alcaide: /* Valor de ϑ */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( \theta )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( \theta )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> \theta = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-11-28T13:52:36Z

Pablo.alcaide: /* Valor de ϑ */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + \theta )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> \theta = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-11-28T09:50:26Z

Pablo.alcaide: /* Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==

== Valor de ϑ==
== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-11-28T09:50:03Z

Pablo.alcaide: /* Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
hola

== Valor de ϑ==
== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
== Divergencia de v==
== Rotacional de v==
== Flujo neto de v a través de la pared==
== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==

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[[Categoría:TC24/25]]