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Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T16:49:59Z

Pablo Retamar: /* Bibliografía */

{{ TrabajoSIG | Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid | Ana Herrero Gracia
Pablo Retamar Leboutet | [[:Categoría:SIGAIC_17/18|Curso 17/18]] }}

== Introducción ==

El objetivo del trabajo es encontrar las rutas óptimas desde diferentes puntos de la ciudad de Madrid hasta la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. La finalidad es encontrar diferentes caminos para que estudiantes, profesores y demás trabajadores de la universidad puedan llegar a la escuela en bici. Se buscará la circulación por caminos que disminuyan el peligro que supone desplazarse por calles con un alto nivel de tráfico y la dificultad de recorrer calles estrechas.
Para el desarrollo del trabajo se tendrán en cuenta los carriles bici ya existentes, incorporando tanto calles peatonales como carriles ciclables y el resto de calles, tratando de evitar en todo momento las principales que no estén habilitadas para este tipo de vehículos. Para ello se incorporará un criterio de velocidades en cada tipo de vía en función de los diferentes aspectos comentados.
Los recorridos que se van a realizar abarcan la almendra de Madrid, es decir, el interior de la m-30. Los recorridos tendrán su origen en el centroide de los distintos barrios de la ciudad, terminando todos ellos en el parking de la escuela.
Partiendo de un mapa general con todas las vías existentes, se realizarán dos mapas temáticos en función de la congestión del tráfico, lo que limitará el uso de unas u otras vías.

== Metodología ==

En primer lugar hemos partido de tres capas vectoriales básicas para nuestro trabajo en las que se encuentran el callejero de Madrid, los carribles bici y los carriles ciclables.
A cada capa le hemos dado un atributo de velocidad diferente para las situaciones de tráfico en hora punta y en hora no punta.
A cada tipo de vía le hemos asignado un factor por el que multiplicar la velocidad media de circulación en bici, cuyos valores se pueden observar en la siguiente tabla:
{| class="wikitable"
|-
! Factores de velocidad !! Hora Punta !! Hora No Punta
|-
| Calles || 1 || 3
|-
| Carriles ciclables || 2 || 3
|-
| Carriles Bici || 4 || 5
|}

A continuación hemos asignado dicho factor multiplicado por una velocidad media de 12km/h a cada capa para más tarde unificarlas. De este modo conseguimos que la circulación por carriles bici y carriles ciclables tenga preferencia ante las calles no adaptadas.
A la hora de juntar las vías hemos creado una nueva capa vectorial de nombre “Unificada” en la que hemos copiado las vías de cada una de las capas anteriores. Para ello, ha sido necesario crear dos atributos en la nueva capa cuyos nombres coincidiesen con los atributos de las velocidades de las capas originales, y para que el programa pudiese tener referencia de cada uno de los elementos copiados se ha añadido un atributo ya existente en la capa original, como se puede observar en la siguiente imagen:

[[Archivo:TablaAtributos.jpg|800px|thumb|center|Tabla de atributos]]

A la hora de realizar las rutas nos hemos apoyado en la herramienta de QGIS de la ruta más corta. Para ello hemos configurado el grafo de rutas dos veces para que tomase como valor de la velocidad el correspondiente de los atributos de “velocidad” (para tráficos densos) y “vNoPunta” (para tráficos menos densos), manteniéndonos siempre en la capa de nombre “Unificada”.
Los puntos de inicio y final de las rutas son los centroides de cada uno de los barrios de Madrid y el parking de la ETSICCP, respectivamente. Las rutas han sido creadas tomando criterios de longitud y tiempo mínimos, diferenciando en este último caso los criterios de velocidades. Las rutas obtenidas se han exportado a tres capas en las que se agrupan en función del criterio, llamadas "Longitud", "TiempoPunta" y "TiempoNoPunta".

== Resultados ==

En primer lugar incluimos la situación inicial de la que partimos en nuestro trabajo, seguido de las diferentes rutas en función de cada criterio explicado anteriormente.

[[Archivo:Mapabasebicis.jpg|800px|thumb|center|Mapa base]]
[[Archivo:TiempoNoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora no punta]]
[[Archivo:TiempoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora punta]]
[[Archivo:Longitud.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas más cortas]]

La tabla incluida en los anejos recoge los tiempos y longitudes de cada uno de los recorridos estudiados.

A continuación hemos realizado los perfiles de las rutas más representativas, que destacamos en la siguiente imagen:

[[Archivo:MapaPerfiles.jpg|800px|thumb|center|Mapa con las rutas en hora punta más significativas]]

Para la obtención de los perfiles hemos trabajado con la capa ráster de la zona de la Comunidad de Madrid y la herramienta ProfileTool.

[[Archivo:Perfillapaz.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de La Paz]]

[[Archivo:Perfilfberro.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de Fuente del Berro]]

[[Archivo:Perfillegazpi.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de Legazpi]]

== Conclusiones ==

Conclusiones
Comparando las diferentes rutas analizadas llegamos a la conclusión de que es preferible seguir las rutas que priorizan la circulación por los carriles adaptados. Por un lado, se puede observar que los tiempos de recorrido son inferiores que en las rutas de menor longitud y, además, este tipo de vías son más seguras para los ciclistas y ofrecen un trayecto más cómodo.
En nuestra opinión, resulta rentable circular por las vías adaptadas y si se fomenta su uso se podrán realizar en un futuro un mayor número de carriles bici dentro de la almendra de Madrid. Esto tendrá consecuencias positivas tanto en el Medio Ambiente como en la salud y seguridad de los ciudadanos.

== Anejos ==

La siguiente tabla recoge los tiempos y longitudes de cada uno de los recorridos estudiados:
[[Archivo:Tablaveltiempo.jpg|800px|thumb|center|Tabla resumen de las rutas]]

== Bibliografía ==

Vias ciclistas: http://datos.gob.es/catalogo/l01280796-bici-vias-ciclistas

CartoCiudad: http://datos.gob.es/es/catalogo/e00125901-cartociudad

Ciclocarriles: http://datos.gob.es/catalogo/l01280796-bici-ciclocarriles

[[Categoría:SIGAIC_17/18]]

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T16:49:08Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoSIG | Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid | Ana Herrero Gracia
Pablo Retamar Leboutet | [[:Categoría:SIGAIC_17/18|Curso 17/18]] }}

== Introducción ==

El objetivo del trabajo es encontrar las rutas óptimas desde diferentes puntos de la ciudad de Madrid hasta la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. La finalidad es encontrar diferentes caminos para que estudiantes, profesores y demás trabajadores de la universidad puedan llegar a la escuela en bici. Se buscará la circulación por caminos que disminuyan el peligro que supone desplazarse por calles con un alto nivel de tráfico y la dificultad de recorrer calles estrechas.
Para el desarrollo del trabajo se tendrán en cuenta los carriles bici ya existentes, incorporando tanto calles peatonales como carriles ciclables y el resto de calles, tratando de evitar en todo momento las principales que no estén habilitadas para este tipo de vehículos. Para ello se incorporará un criterio de velocidades en cada tipo de vía en función de los diferentes aspectos comentados.
Los recorridos que se van a realizar abarcan la almendra de Madrid, es decir, el interior de la m-30. Los recorridos tendrán su origen en el centroide de los distintos barrios de la ciudad, terminando todos ellos en el parking de la escuela.
Partiendo de un mapa general con todas las vías existentes, se realizarán dos mapas temáticos en función de la congestión del tráfico, lo que limitará el uso de unas u otras vías.

== Metodología ==

En primer lugar hemos partido de tres capas vectoriales básicas para nuestro trabajo en las que se encuentran el callejero de Madrid, los carribles bici y los carriles ciclables.
A cada capa le hemos dado un atributo de velocidad diferente para las situaciones de tráfico en hora punta y en hora no punta.
A cada tipo de vía le hemos asignado un factor por el que multiplicar la velocidad media de circulación en bici, cuyos valores se pueden observar en la siguiente tabla:
{| class="wikitable"
|-
! Factores de velocidad !! Hora Punta !! Hora No Punta
|-
| Calles || 1 || 3
|-
| Carriles ciclables || 2 || 3
|-
| Carriles Bici || 4 || 5
|}

A continuación hemos asignado dicho factor multiplicado por una velocidad media de 12km/h a cada capa para más tarde unificarlas. De este modo conseguimos que la circulación por carriles bici y carriles ciclables tenga preferencia ante las calles no adaptadas.
A la hora de juntar las vías hemos creado una nueva capa vectorial de nombre “Unificada” en la que hemos copiado las vías de cada una de las capas anteriores. Para ello, ha sido necesario crear dos atributos en la nueva capa cuyos nombres coincidiesen con los atributos de las velocidades de las capas originales, y para que el programa pudiese tener referencia de cada uno de los elementos copiados se ha añadido un atributo ya existente en la capa original, como se puede observar en la siguiente imagen:

[[Archivo:TablaAtributos.jpg|800px|thumb|center|Tabla de atributos]]

A la hora de realizar las rutas nos hemos apoyado en la herramienta de QGIS de la ruta más corta. Para ello hemos configurado el grafo de rutas dos veces para que tomase como valor de la velocidad el correspondiente de los atributos de “velocidad” (para tráficos densos) y “vNoPunta” (para tráficos menos densos), manteniéndonos siempre en la capa de nombre “Unificada”.
Los puntos de inicio y final de las rutas son los centroides de cada uno de los barrios de Madrid y el parking de la ETSICCP, respectivamente. Las rutas han sido creadas tomando criterios de longitud y tiempo mínimos, diferenciando en este último caso los criterios de velocidades. Las rutas obtenidas se han exportado a tres capas en las que se agrupan en función del criterio, llamadas "Longitud", "TiempoPunta" y "TiempoNoPunta".

== Resultados ==

En primer lugar incluimos la situación inicial de la que partimos en nuestro trabajo, seguido de las diferentes rutas en función de cada criterio explicado anteriormente.

[[Archivo:Mapabasebicis.jpg|800px|thumb|center|Mapa base]]
[[Archivo:TiempoNoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora no punta]]
[[Archivo:TiempoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora punta]]
[[Archivo:Longitud.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas más cortas]]

La tabla incluida en los anejos recoge los tiempos y longitudes de cada uno de los recorridos estudiados.

A continuación hemos realizado los perfiles de las rutas más representativas, que destacamos en la siguiente imagen:

[[Archivo:MapaPerfiles.jpg|800px|thumb|center|Mapa con las rutas en hora punta más significativas]]

Para la obtención de los perfiles hemos trabajado con la capa ráster de la zona de la Comunidad de Madrid y la herramienta ProfileTool.

[[Archivo:Perfillapaz.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de La Paz]]

[[Archivo:Perfilfberro.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de Fuente del Berro]]

[[Archivo:Perfillegazpi.jpg|800px|thumb|center|Perfil desde el barrio de Legazpi]]

== Conclusiones ==

Conclusiones
Comparando las diferentes rutas analizadas llegamos a la conclusión de que es preferible seguir las rutas que priorizan la circulación por los carriles adaptados. Por un lado, se puede observar que los tiempos de recorrido son inferiores que en las rutas de menor longitud y, además, este tipo de vías son más seguras para los ciclistas y ofrecen un trayecto más cómodo.
En nuestra opinión, resulta rentable circular por las vías adaptadas y si se fomenta su uso se podrán realizar en un futuro un mayor número de carriles bici dentro de la almendra de Madrid. Esto tendrá consecuencias positivas tanto en el Medio Ambiente como en la salud y seguridad de los ciudadanos.

== Anejos ==

La siguiente tabla recoge los tiempos y longitudes de cada uno de los recorridos estudiados:
[[Archivo:Tablaveltiempo.jpg|800px|thumb|center|Tabla resumen de las rutas]]

== Bibliografía ==

Vias ciclistas: http://datos.gob.es/catalogo/l01280796-bici-vias-ciclistas
CartoCiudad: http://datos.gob.es/es/catalogo/e00125901-cartociudad
Ciclocarriles: http://datos.gob.es/catalogo/l01280796-bici-ciclocarriles

[[Categoría:SIGAIC_17/18]]

Archivo:Tablaveltiempo.jpg

2018-05-25T16:47:15Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T16:46:00Z

Pablo Retamar:

Archivo:Perfillegazpi.jpg

2018-05-25T16:45:36Z

Pablo Retamar:

Archivo:Perfilfberro.jpg

2018-05-25T16:45:10Z

Pablo Retamar:

Archivo:Perfillapaz.jpg

2018-05-25T16:44:14Z

Pablo Retamar:

Archivo:MapaPerfiles.jpg

2018-05-25T16:42:25Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T16:41:02Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoSIG | Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid | Ana Herrero Gracia
Pablo Retamar Leboutet | [[:Categoría:SIGAIC_17/18|Curso 17/18]] }}

== Introducción ==

El objetivo del trabajo es encontrar las rutas óptimas desde diferentes puntos de la ciudad de Madrid hasta la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. La finalidad es encontrar diferentes caminos para que estudiantes, profesores y demás trabajadores de la universidad puedan llegar a la escuela en bici. Se buscará la circulación por caminos que disminuyan el peligro que supone desplazarse por calles con un alto nivel de tráfico y la dificultad de recorrer calles estrechas.
Para el desarrollo del trabajo se tendrán en cuenta los carriles bici ya existentes, incorporando tanto calles peatonales como carriles ciclables y el resto de calles, tratando de evitar en todo momento las principales que no estén habilitadas para este tipo de vehículos. Para ello se incorporará un criterio de velocidades en cada tipo de vía en función de los diferentes aspectos comentados.
Los recorridos que se van a realizar abarcan la almendra de Madrid, es decir, el interior de la m-30. Los recorridos tendrán su origen en el centroide de los distintos barrios de la ciudad, terminando todos ellos en el parking de la escuela.
Partiendo de un mapa general con todas las vías existentes, se realizarán dos mapas temáticos en función de la congestión del tráfico, lo que limitará el uso de unas u otras vías.

== Metodología ==

En primer lugar hemos partido de tres capas vectoriales básicas para nuestro trabajo en las que se encuentran el callejero de Madrid, los carribles bici y los carriles ciclables.
A cada capa le hemos dado un atributo de velocidad diferente para las situaciones de tráfico en hora punta y en hora no punta.
A cada tipo de vía le hemos asignado un factor por el que multiplicar la velocidad media de circulación en bici, cuyos valores se pueden observar en la siguiente tabla:
{| class="wikitable"
|-
! Factores de velocidad !! Hora Punta !! Hora No Punta
|-
| Calles || 1 || 3
|-
| Carriles ciclables || 2 || 3
|-
| Carriles Bici || 4 || 5
|}

A continuación hemos asignado dicho factor multiplicado por una velocidad media de 12km/h a cada capa para más tarde unificarlas. De este modo conseguimos que la circulación por carriles bici y carriles ciclables tenga preferencia ante las calles no adaptadas.
A la hora de juntar las vías hemos creado una nueva capa vectorial de nombre “Unificada” en la que hemos copiado las vías de cada una de las capas anteriores. Para ello, ha sido necesario crear dos atributos en la nueva capa cuyos nombres coincidiesen con los atributos de las velocidades de las capas originales, y para que el programa pudiese tener referencia de cada uno de los elementos copiados se ha añadido un atributo ya existente en la capa original, como se puede observar en la siguiente imagen:

[[Archivo:TablaAtributos.jpg|800px|thumb|center|Tabla de atributos]]

A la hora de realizar las rutas nos hemos apoyado en la herramienta de QGIS de la ruta más corta. Para ello hemos configurado el grafo de rutas dos veces para que tomase como valor de la velocidad el correspondiente de los atributos de “velocidad” (para tráficos densos) y “vNoPunta” (para tráficos menos densos), manteniéndonos siempre en la capa de nombre “Unificada”.
Los puntos de inicio y final de las rutas son los centroides de cada uno de los barrios de Madrid y el parking de la ETSICCP, respectivamente. Las rutas han sido creadas tomando criterios de longitud y tiempo mínimos, diferenciando en este último caso los criterios de velocidades. Las rutas obtenidas se han exportado a tres capas en las que se agrupan en función del criterio, llamadas "Longitud", "TiempoPunta" y "TiempoNoPunta".

== Resultados ==

En primer lugar incluimos la situación inicial de la que partimos en nuestro trabajo, seguido de las diferentes rutas en función de cada criterio explicado anteriormente.

[[Archivo:Mapabasebicis.jpg|800px|thumb|center|Mapa base]]
[[Archivo:TiempoNoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora no punta]]
[[Archivo:TiempoPunta.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas en hora punta]]
[[Archivo:Longitud.jpg|800px|thumb|center|Mapa con rutas más cortas]]

== Conclusiones ==

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_17/18]]

Archivo:Longitud.jpg

2018-05-25T16:40:38Z

Pablo Retamar:

Archivo:TiempoPunta.jpg

2018-05-25T16:40:10Z

Pablo Retamar:

Archivo:TiempoNoPunta.jpg

2018-05-25T16:39:11Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T16:38:44Z

Pablo Retamar:

Archivo:Mapabasebicis.jpg

2018-05-25T16:37:35Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T15:09:04Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T15:06:18Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T14:59:25Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T14:58:39Z

Pablo Retamar:

Archivo:TablaAtributos.jpg

2018-05-25T14:54:16Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T14:20:44Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T14:18:34Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-25T13:35:24Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-22T17:24:40Z

Pablo Retamar: Pablo Retamar trasladó la página Trayectos hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid a Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

Trayectos hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-22T17:24:40Z

Pablo Retamar: Pablo Retamar trasladó la página Trayectos hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid a Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

#REDIRECCIÓN [[Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid]]

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-22T17:23:25Z

Pablo Retamar:

Trayectos en bici hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid

2018-05-22T17:18:43Z

Pablo Retamar: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Trayectos hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid | Ana Herrero Gracia Pablo Retamar Leboutet | Curso 17/18 }} == Introdu...»

{{ TrabajoSIG | Trayectos hasta la ETSICCP desde los barrios de Madrid | Ana Herrero Gracia
Pablo Retamar Leboutet | [[:Categoría:SIGAIC_17/18|Curso 17/18]] }}

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_17/18]]

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:50:33Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''Introducción'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', justifica que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:Traperunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos (Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corterungeeuler.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:47:21Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''Introducción'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', justifica que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:Traperunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corterungeeuler.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Archivo:Traperunge.jpg

2017-04-28T08:46:42Z

Pablo Retamar:

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:45:00Z

Pablo Retamar: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''Introducción'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', justifica que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corterungeeuler.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:44:51Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''Introducción'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corterungeeuler.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Archivo:Corterungeeuler.jpg

2017-04-28T08:44:13Z

Pablo Retamar:

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:40:17Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''Introducción'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:39:38Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que para este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:38:15Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que se podría afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 segundos de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducidoa medida que el valor de k1 aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:33:50Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que se sustituyen los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que se aumenta el paso ''h''.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y queda determinada por: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en este caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:28:41Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que aumentamos el paso h.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, se ha seguido el orden contrario, y se empieza por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:25:49Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,1.02), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4. Sin embargo, esta diferencia entre ambas gráficas queda reducida a medida que aumentamos el paso h.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, seguiremos el orden contrario, y empezaremos por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:20:44Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

[[File:Corteeulerrunge.jpg|right|border|500px|caption]]

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, seguiremos el orden contrario, y empezaremos por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Archivo:Corteeulerrunge.jpg

2017-04-28T08:19:37Z

Pablo Retamar:

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:19:14Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),yt(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% Metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88), como se puede observar en la gráfica. Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, seguiremos el orden contrario, y empezaremos por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T08:06:44Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88). Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, seguiremos el orden contrario, y empezaremos por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene tanto las velocidades como los cambios prácticamente iguales. Para valores pequeños de k1, como en el caso en el que su valor es 0.02 o incluso 0.1 (estudiado anteriormente), se puede apreciar una inestabilidad que comienza en torno a los 120 de los dos compuestos intermedios, X e Y. Esta inestabilidad se reduce conforme el valor de k1 aumenta, hasta hacerse inapreciable cuando la constante alcanza valores de 0.68 y superiores. Además, se observa que el tiempo en el que ocurre la totalidad de la reacción se ve reducido de forma directamente proporcional al valor de k1, por lo que cuanto mayor sea dicho valor, menos tiempo necesita la reacción global para llevarse a cabo en su totalidad, es decir, que todo el compuesto ''A'' se transforme en compuesto ''B'', y los compuestos intermedios ''X'' e ''Y'' desaparezcan por completo.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T07:56:31Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88). Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X\\
X+Y→k_2*2*Y\\
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

Para determinar las ecuaciones diferenciales correspondientes a la velocidad de formación (o descomposición) de cada sustancia, se hace un breve estudio de cada una de ellas. En nuestro caso, seguiremos el orden contrario, y empezaremos por la última de ellas para acabar con la primera. Además, es necesario utilizar el Principio de conservación de masas para poder determinar las cuatro ecuaciones correspondientes a los cuatro compuestos presentes. El análisis seguido es el siguiente:
* '''Y→k3*B'''. A partir de Y se formará B, regido por una constante k3. Mediante dicha reacción se podrá definir una velocidad de transformación de B: '''B'=k3*Y'''.
* '''X+Y→k2*2*Y'''. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a la descomposición de X (''k2*X*Y'') y descontar la cantidad de Y que se descompone para la formación de B (''k3*B''). Por tanto, la velocidad de transformación de Y será: '''Y'=k2*Y*X-k3*Y'''.
* '''A+X→k1*2*X'''. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A (''k1*A*X''), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y (''k2*X*Y''). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por '''X'=k1*A*X-k2*X*Y'''.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (''A+X+Y+B=cte'') se obtiene la siguiente ecuación: ''A'+X'+Y'+B'=0''. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → '''A'=-k1*A*X'''

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas arbitrariamente como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en una de las ecuaciones definidas por Lotka se puede observar la presencia de k1: A+X=k1*2*X. Debido a esta relación, y a partir del estudio de las gráficas, se puede concluir que a medida que el valor de la constante k1 aumenta:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de ''A'' experimenta una desaparición prácticamente instantánea al inicio la reacción .
*El valor de ''B'' experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-28T07:42:29Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la '''Ley de acción de masas''', que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen las variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez, también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustituyendo en la fórmula anteriormente demostrada, se obtiene que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la anterior ecuación diferencial se puede formar el PVI asociado:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
A partir de los datos numéricos, A=2 y B=0.05 mol/L, y despejando en las ecuaciones anteriores, se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ello, se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler, cuyo esquema numérico se indica a continuación:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Métodos del Trapecio y Runge-Kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentará hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema se procede al cálculo correspondiente, representando gráficamente ambos métodos, donde se puede observar una variación de ambos. El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88). Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

La reacción global queda definida por tres reacciones intermedias que suceden de forma consecutiva. Cabe destacar, por un lado, el hecho de que dos de ellas son autocatalíticas y, por otro lado, que todas ellas están determinadas por diferentes constantes ki que determinarán la velocidad de cada reacción. Las tres reacciones son:
<math> \left\{\begin{matrix}
A+X→k_1*2*X//
X+Y→k_2*2*Y//
Y→k_3*B
\end{matrix}\right. </math>

* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al '''Principio de conservación de masas''' (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T17:33:38Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la Ley de acción de masas, que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

Para comprobar que el PVI tiene solución única se aplica el Teorema de Picard, siendo:
f=-k*y^2+k*y*cte
Al ser f una función polinómica está definida y es continua en RxR.
A continuación, se calcula la derivada parcial de f con respecto a y, dando:
f'=-2*k*y+k*cte
Análogamente, al ser la derivada una función polinómica, está definida y es continua en RxR, concluyendo, así, que el PVI tiene solución y es única.

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al Principio de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T17:23:25Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la Ley de acción de masas, que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al Principio de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T09:13:49Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la Ley de acción de masas, que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:

El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4) \\ K_1=f(t_n,y_n) \\ K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h) \\ K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h) \\ K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\\ \end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

== ''Reacciones consecutivas de Lotka'' ==

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al Principio de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T09:08:02Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la Ley de acción de masas, que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''Principio de conservación de la materia''', por el cual ''"la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo"''. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
<math> \left\{\begin{matrix}
x=A+B\\
y=2*B
\end{matrix}\right. </math>

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-\frac{y}{2}\\
B=\frac{y}{2}
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''Principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=k*A*B, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=k*A*B en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2] → y'=k*[x-y/2]*y → y'=k*[cte-y-y/2]*y → y'=k*[cte-3/2*y]*y → y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y → y'=k*[cte-y]*y → y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que:
x=cte-y

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y_0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:
El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:
\[ PVI = \begin{cases} y_0\\y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}*(K_1+2*K_2+2*K_3+k_4)\\K_1=f(t_n,y_n)\\K_2=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_1*h)\\K_3=f(t_n+\frac{1}{2}*h,y_n+\frac{1}{2}*K_2*h)\\K_4=f(t_n+h,y_n+K_3*h)\end{cases}\quad \]

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
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K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al Principio de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
\[ PVI = \begin{cases} X'=k_1*A*X-k_2*X*Y\\Y'=k_2*X*Y-k_3*Y\\B'=k_3*Y\\A'=-k_1*A*X\\X(0)=X_0\\Y(0)=Y_0\\B(0)=B_0\\A(0)=A_0\\ \end{cases}\quad \]

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''X'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''Y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''X'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T08:50:44Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. En este caso, se estudiará una reacción regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes:

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la Ley de acción de masas, que defiende que ''"La velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B"''. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''principio de conservación de la materia''', por el cual la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
x=A+B
y=2B

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-y/2\\
B=y/2
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=kAB, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=kAB en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2]; y'=k*[x-y/2]*y; y'=k*[cte-y-y/2]*y; y'=k*[cte-3/2*y]*y; y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y; y'=k*[cte-y]*y; y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que: x=cte-y.

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte
A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:
El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
K1=f(t(j),yr(j));
K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la ecuación correspondiente al Principio de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x → A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
<math> \left\{\begin{matrix}
X'=k1*A*X-k2*X*Y\\
Y'=k2*X*Y-k3*Y\\
B'=k3*Y\\
A'=-k1*A*X\\
X(0)=X0\\
Y(0)=Y0\\
B(0)=B0\\
A(0)=A0\\
\end{matrix}\right. </math>

Este PVI queda a continuación resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|650px|caption]]

{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|left|border|500px|caption]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

A continuación se procede a hacer un breve estudio comparativo de la reacción que tiene lugar cuando, manteniendo las ecuaciones que rigen las reacciones, se cambia el valor que toma la constante k1 y se mantienen iguales el resto de valores. Para este estudio se han tomado cuatro valores de k1 en el intervalo (0.02,2), y se ha resuelto el PVI numéricamente mediante el método de Heun.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''x'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''x'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.

Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

2017-04-27T08:32:16Z

Pablo Retamar:

{{ TrabajoED | Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

== ''INTRODUCCIÓN'' ==
Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre si mismo. En este caso, se estudiará una reacción, regida por la constante k, bimolecular e irreversible, en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes.

A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la ley de acción de masas, es decir; la velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B. Para desarrollar el análisis, es necesario apoyarse en el '''principio de conservación de la materia''', por el cual la suma de la masa de los reactivos y la de los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Así pues, se obtendrá un tercer compuesto que actuará como producto:

A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para ''y'' se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, es posible determinar las siguientes ecuaciones:
x=A+B
y=2B

Por el método de sustitución se deducen la variables dependientes A y B:
<math> \left\{\begin{matrix}
A=x-y/2\\
B=y/2
\end{matrix}\right. </math>

En base al '''principio de conservación de la masa''', se conoce la igualdad:
x+y=cte (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=kAB, por lo tanto, v=y’=-x’.
De esta forma se concluye que y’=kAB en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:
y’=k*[x-y/2]*[y/2]; y'=k*[x-y/2]*y; y'=k*[cte-y-y/2]*y; y'=k*[cte-3/2*y]*y; y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y; y'=k*[cte-y]*y; y'=k*x*y
De (1) se puede afirmar que: x=cte-y.

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:
y'=-k*y^2+k*y*cte
A partir de la cual se forma el PVI correspondiente:
<math> \left\{\begin{matrix}
y'=-k*y^2+k*y*cte\\
y(0)=y0
\end{matrix}\right. </math>

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:
x=A+B → A=x-y/2
y=2B → B=y/2
Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:
cte=x+y=1.95+0.1=2.05

== ''Resolución del PVI'' ==

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

[[File:eulertrabajo1.jpg|right|border|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
if abs(y(i)-x(i))<0.01
fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
end
end

}}

Método del Trapecio y Runge-kutta:
El método del Trapecio sigue siguiente método numérico:
\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:

[[File:trapeciorunge.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
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end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')
}}

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

Lotka propone un modelo de reacciones consecutivas en las que se consume A, y tras determinadas reacciones se produce B. En las reacciones intermedias se crean dos nuevos compuestos, X e Y que marcarán la velocidad de reacción.

Dadas las ecuaciones:
* Y→k3*B. A partir de Y se formará B, mediante el cual se podrá definir una velocidad de transformación B'=k3*Y.
* X+Y→k2*2*Y. En la formación de Y hay que tener en cuenta la parte proporcional a X(k2*X*Y) y descontar la parte que se descompone para la formación de B(k3*B). Por tanto, la velocidad de transformación será Y'=k2*Y*X-k3*Y.
* A+X→k1*2*X. La formación de X tiene una parte proporcional a la descomposición de A(k1*A*X), al que se descuenta aquella parte de X que reacciona para formar el compuesto Y(k2*X*Y). Así pues, se obtendrá una velocidad de transformación regida por X'=k1*A*X-k2*X*Y.
* Derivado la Ley de conservación de masas (A+X+Y+B=cte) se obtiene la siguiente ecuación: A'+X'+Y'+B'=0. Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente de X', Y' y B' se obtiene la ecuación diferencial que rige la velocidad de A: A'=-k1*A*X

Por lo tanto, a partir de este sistema de ecuaciones se puede formar el siguiente PVI asociado, al que hay que añadir las condiciones iniciales, que en nuestro caso son las concentraciones iniciales de cada compuesto:
<math> \left\{\begin{matrix}
X'=k1*A*X-k2*X*Y
Y'=k2*X*Y-k3*Y
B'=k3*Y
A'=-k1*A*X
X(0)=X0
Y(0)=Y0
B(0)=B0
A(0)=A0
\end{matrix}\right. </math>

Las ecuaciones son las siguientes:

x'=k1*A*x-k2*x*y
y'=k2*x*y-k3*y
B'=k3*y
A'+x'+y'+B'=0 → A'=-x'-y'-B'=-k1*A*x+k2*x*y-k2*x*y+k3*y-k3*y=-k1*A*x

A partir de este modelo se puede crear un PVI asociado al sistema de ecuaciones anteriormente descrito, que a continuación queda resuelto numéricamente mediante el método de Euler. Para ello, las condiciones iniciales elegidas son las cantidades iniciales de los compuestos, que son: A0=4.7, B0=2, X0=2 e Y0=1. El estudio se realiza en los primeros 200 segundos en los que se producen las reacciones. Además, está resuelto usando dos pasos, primero h=0.01 y después h=0.005.

[[File:Lotka.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Funcion:
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off

% Usamos h=0.005:
h=0.005;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Euler:
for k=1:N
y(:,k+1)=y(:,k)+h*f(t(k),y(:,k));
end

% Dibujamos la solucion aproximada
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
hold off
}}

[[File:DetalleNA.jpg|right|border|500px|caption]]
[[File:DetalleRV.jpg|right|border|500px|packed-overlay]]

Como se puede observar en los gráficos de detalle, existe una pequeña perturbación entre ambas gráficas, las cuales han sido tomadas como ejemplo. Esta perturbación es producto de las condiciones iniciales que se introducen en el programa realizado. A pesar de la existencia de dichas discordancias y a la inexistencia de un incremento del error, se podría decir, incluso concluir, que las reacciones estudiadas son estables. Esto se debe a la necesidad de aplicar un gran zoom para poder llegar a apreciar la diferencia entre las curvas de las gráficas una vez superpuestas.

[[File:Cambiok1.jpg|right|border|800px|caption]]
{{matlab|codigo=
% Datos
A0=4.7;
B0=2;
X0=2;
Y0=1;
k=1.4;
t0=0;
tN=200;
c=2.05;
k1=0.1;
k2=0.15;
k3=0.06;

y0=[A0;B0;X0;Y0];
ne=4;

% Usamos h=0.01:
h=0.01;
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Matriz de soluciones
y=zeros(ne,N+1);
y(:,1)=y0;

% Aplicamos el método de Heun
a=1;
b=linspace(0.02,2,4);
for j=1:4
k1=b(j);
f=@(t,y)[-k1*y(1)*y(3);k3*y(4);k1*y(1)*y(3)-k2*y(3)*y(4);k2*y(3)*y(4)-k3*y(4)];
for i=1:N
K1=f(t(i),y(:,i));
K2=f(t(i)+h,y(:,i)+K1*h);
y(:,i+1)=y(:,i)+0.5*h*(K1+K2);
end
subplot(2,2,a)
hold on
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'b')
plot(t,y(3,:),'g')
plot(t,y(4,:),'k')
legend('A','B','X','Y');
title(k1);
hold off
a=a+1;
end
}}

Como se observa en el programa realizado anteriormente, se ha resuelto el PVI mediante el método de Heun. La resolución de este problema se caracteriza por los distintos valores que toma k1 en el intervalo (0.002-2). A raíz de esto, se aprecian en las gráficas, también adjuntas, los cambios que se producen en las reacciones. Además, en las ecuaciones aportadas por Lotka, en concreto una de ellas, se puede observar la presencia de k1: A+x=k1*2*x. Debido a esta relación, y según las gráficas, se puede concluir que cuanto mayor sea la constante:

*El valor de ''x'' experimenta un crecimiento instantáneo, que es reducido inmediatamente y cuya curva va transformándose en un asíntota.
*El valor de ''y'' experimenta una reacción muy parecida a la de ''x'' pero presenta una forma menos brusca.
*El valor de A experimenta una desaparición instantánea al inicio la reacción .
*El valor de B experimenta un crecimiento bastante rápido.

Estas diferencias se pueden encontrar claramente entre cada una de las cuatro gráficas, de forma que podríamos afirmar que a partir de k1= 0.68 la reacción mantiene, tanto las velocidades como los cambios, prácticamente iguales.