Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales

2021-12-08T19:47:43Z

Pablo López: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 7-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | David Manjón Domínguez, Juan Carlos Medina de Arriba, Pablo López Campañó, Samuel Tortosa Pérez}}

==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objetivo el estudio y la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. En este caso, consideraremos un fluido incompresible y consideraremos su flujo a través de un canal con paredes rectas. En nuestro caso, el fluido está sometido a tres campos, dos escalares: presión y temperatura, y uno vectorial, velocidad.

En mecánica de fluidos, un fluido incompresible, por ejemplo el caso del agua, es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto supone que la densidad del fluido es constante, es decir, ni la masa ni el volumen del fluido cambian, además todo fluido incompresible debe verificar que la divergencia es nula para cualquier campo de velocidades.

Con el fin, de alcanzaran nuestro objetivo se ha utilizado el programa informático Octave, que nos ha permitido visualizar el comportamiento del fluido a través de gráficos y así dar veracidad a todas las hipótesis formuladas analíticamente.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie de trabajo, es la que ocupa el fluido, en este caso, los puntos interiores a un rectángulo de dimensiones <math>[0,8]×[-1,1]</math> en el plano, dimensión dos. Se han utilizado las coordenadas cartesianas, que será el sistema de coordenadas en el que se trabajará.

Los ejes, <math>x, y</math> se han definido en los intervalos <math>[0,8]×[-2,2]</math> respectivamente, y se ha utilizado como paso de muestreo <math>0.1</math>. La representacion de la superficie se ha obtenido implementando el siguiente código en Octave:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
[xx,yy]=meshgrid([0:0.1:8],[-1:0.1:1])
mesh(xx,yy,0*xx)
grid on
axis([0,8,-2,2])

view(2)
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:
[[Archivo:MALLADODMD.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Superficie de trabajo. Mallado]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos "reales", conocer sus soluciones permitiría entre otras cosas, predecir el comportamiento de la atmósfera terrestre, de las corrientes oceánicas o el magma. También permitiría conocer otras cuestiones más al uso, como la trayectoría que seguiría el agua en una inundación, la propagación de un incendio... por ello su entendimiento es uno de los retos matemáticos de este milenio.

En este epígrafe, en concreto, trataremos de demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sometido el fluido verifica la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, esto supondría que el fluido es incompresible pues estas ecuaciones determinan el comportamiento de los fluidos newtonianos, esto es, un fluido cuya resistencia a deformaciones puede considerarse constante en el tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(x,y)=\frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{i} {,} \vec{j} \}</math>.

El primer térmido de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial x}}&{\frac{\partial u_1}{\partial y}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial x}}&{\frac{\partial u_2}{\partial y}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Susutituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & (-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(x,y)=\frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''La elección de utilizar esta expresión para calcular el Laplaciano, y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, es porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del artículo.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

De este resultado, que a priori, se puede interpretar como una casualidad, se deduce que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, implica que el movimiento de las partículas no afecta al volumen, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}=2y\frac{(p_1-p_2)}{2μ}\vec{k}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & 0 & 2y\frac{(p_1-p_2)}{2μ} \end{vmatrix}= \frac{p_1-p_2}{μ}\vec{i}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-\frac{p_1-p_2}{μ}\vec{i}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} -(p_1-p_2) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Así,

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix} c.q.d</math></center>

==ESTUDIO DEL CAMPO DE VELOCIDAD AL QUE ESTÁ SOMETIDO EL FLUIDO==
El campo de velocidad objeto de estudio de este epígrafe es:
<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i}</math></center>

Observando la expresión del campo, se deduce:
* La velocidad es independiente de los valores de la variable <math>x</math>, dependiendo únicamente de los valores de la variable <math>y</math> y de los valores de la presión en el punto <math>x=1</math> y <math>x=2</math>, esto es, <math>p_1</math> y <math>p_2</math> respectivamente.
* La velocidad del fluido en cualquier punto de la región considerada, sólo dependerá de la distancia a las parades del canal, consecuencia del punto anterior.
* Los vectores del campo de velocidad serán paralelos a las paredes del canal, pues el campo sólo va en la dirección <math>\vec{i}</math>

Analíticamente, vamos a comprobar que la velocidad es nula en las paredes del canal, <math>y=1</math> y <math>y=-2</math>

Para comprobarlo, calculamos los valores que toma el campo de velocidades en <math>y=1</math> y <math>y=-1</math>

* <math>\vec{u}(y=1)=\frac{(1+1)\cdot(1-1)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i}=0\vec{i}</math>
* <math>\vec{u}(y=-1)=\frac{(-1+1)\cdot(1-(-1))\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i}=0\vec{i}</math>

Con lo que queda demostrado analíticamente, que la velocidad es nula en las paredes del canal.

=== REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE VELOCIDAD===
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1-y^2}{2}\vec{i}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('(1-(y.^2))./(2)','x','y');
uy=inline('0.*x','x','y');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-2,2])
quiver(X,Y,U,V
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:Velocidad.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula en las paredes del canal pues en <math>y=1</math> y <math>y=-1</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente. Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>y=1</math> y <math>y=-1</math> que coincen con las paredes del canal.

Por otro lado, se observa que la velocidad máxima se alcanza en <math>y=0</math>, justo en el centro del canal, como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtinen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1-y^2}{2}\vec{i} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial x}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial y}==-y </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>y=0</math>, tal como se había comentado en la interpretación gráfica.

=== ROTACIONAL DEL CAMPO VELOCIDAD. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Y ANALÍTICA===
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=2y\frac{(p_1-p_2)}{2μ}\vec{k}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=y\vec{k}</math>, siendo el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=y</math>, como se observa en la expresión, sólo depende del valor de <math>y</math>. Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>y</math>, <math> [-1,1]</math>, y el valor mínimo en <math>y=0</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado
rota=abs(Y); %Rotacional
surf(X,Y,rota)
axis([0,8,-2,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL DAVID.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>y=1</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{k}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>y=-1</math> alcanzará también el valor máximo, pero en el sentido negativo de <math>\vec{k}</math> ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>y=0</math>, que es un valor intermedio el rotacional es nulo y este punto coindice con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules. Situados los primeros, en torno a las paredes del canal y los segundos en torno al centro del canal, <math>y=-1</math>, <math>y=1</math> e <math>y=0</math>, respectivamente.

==CAMPO DE PRESIONES ==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y)=2-(x-1)=3-x</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado
figure 1
p=3-X
surf(X,Y,p)
view(2)
axis([0,8,-2,2])
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:
[[Archivo:PresionesDMD.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de presiones del fluido]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

En el gráfico se observa que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo. Pues las presiones altas están representadas con colores cálidos (amarillo hacia azules), y las presiones más bajas con colores fríos (azules hacia morados). Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal, esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él. Y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de frenado se denominan fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el punto anterior.

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec u</math>. Dicho campo es:
<center><math>\vec{k}\times\vec u=\vec{k}\times\frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{i}=\frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ}\vec{j}</math></center>
Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec u=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{(y+1)\cdot(1-y)\cdot(p_1-p_2)}{2μ} & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''':

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (x,y)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial x}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial y}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (x,y)=\int 0 \ dx=0+f(y)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>y</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{1}{2} \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(y))\rightarrow f'(y)=\frac{1}{2}(y^2-1)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(y)=\frac{1}{2}(y^2-1)</math> para obtener <math>f(y)</math>.

<center> <math>=f(y)=\int\frac{1}{2}(y^2-1) \ dy=\frac{1}{2} \ (\frac{y^3}{3}-y)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (x,y)=\frac{1}{2}(\frac{y^3}{3}-y)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:corrientecorregidodmd.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto, queda así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado
figure 1
lineas=(1/2)*((Y.^3/3)-(Y))
contour (X,Y,lineas)
axis([0,8,-2,2])
view (2)
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=1+ρ^2 sen^2θ e^{-(ρ^2-1/2)^2}</math></center>

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:
: <math>x=ρcosθ</math>
: <math>y=ρsenθ</math>

Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:
<center><math> T(x{,}y)=1+y^2 e^{-(x^2+y^2-1/2)^2}</math></center>

''' Representación gráfica del campo de temperatura del fluido y las curvas de nivel'''

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-2,2]);
colorbar

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k'); %Curvas de nivel
grid on
axis([0,8,-2,2]);
}}

[[Archivo:Campotemperaturadmd.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]][[Archivo:Curvasniveldmd.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

La representación de las curvas de nivel permite determinar que en los puntos <math>(x,y)= (0,-1)</math> y <math>(x,y)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

==GRADIENTE DE TEMPERATURA==

[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Curvas de nivel del campo.jpg

2021-12-08T16:10:48Z

Pablo López:

Archivo:Campo de temperaturas del fluido.jpg

2021-12-08T16:10:17Z

Pablo López:

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Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales

Archivo:Curvas de nivel del campo.jpg

Archivo:Campo de temperaturas del fluido.jpg