Archivo:Clotoide tren bien.jpg

2023-12-02T16:48:48Z

Pablo Esteban:

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T16:48:14Z

Pablo Esteban: /* Imágenes de estructuras */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
 
El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
 
El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
 
 
La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.
 
 
Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

== Imágenes de estructuras ==

La clotoide tiene está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

[[Archivo:clotoide_carretera_1.jpeg|600px|centro]]
[[Archivo:carretera_clotoide_2.jpeg|600px|centro]]
[[Archivo:clotoide_tren.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:montaña_rusa.jpeg|600px|centro]]

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

== Bibliografía==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T16:43:12Z

Pablo Esteban: /* Imágenes de estructuras */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
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% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
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% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
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% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
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% Vectores Velocidad y aceleración
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% Gráfica
figure
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% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
 
El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
 
El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
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% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
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%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
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% Grafica
figure;
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hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
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}}

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
 
 
La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.
 
 
Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

== Imágenes de estructuras ==

La clotoide tiene está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.
[[Archivo:clotoide_tren.jpg|600px|centro]]

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

== Bibliografía==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Clotoide tren.jpg

2023-12-02T16:37:21Z

Pablo Esteban:

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T16:26:42Z

Pablo Esteban: /* La Clotoide */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
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x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
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V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
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A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
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hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
 
El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
 
El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
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norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
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plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
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hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
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}}

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
 
 
La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.
 
 
Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

== Imágenes de estructuras ==

La clotoide tiene está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

== Bibliografía==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T16:25:56Z

Pablo Esteban:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
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x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
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% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
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% Vectores Velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
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% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
 
El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
 
El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL''' ]]
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% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
 
La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.
 
Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

== Imágenes de estructuras ==

La clotoide tiene está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

== Bibliografía==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T15:56:12Z

Pablo Esteban: /* Cálculo de los vectores tangente y normal */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math>

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
 
El vector tangente: <math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
 
El vector normal: <math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_tangente_normal.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

== Imágenes de estructuras ==

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

2023-12-02T14:39:28Z

Pablo Esteban:

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T14:39:05Z

Pablo Esteban:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
 
Para el vector velocidad: <math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

Para el vector aceleración: <math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:Dibujo_velocidad_aceleracion.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN''' ]]

{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
}}

== Cálculo longitud de la curva ==

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

== Imágenes de estructuras ==

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T14:22:00Z

Pablo Esteban: /* Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

A partir de la parametrización dada, podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las

== Cálculo longitud de la curva ==

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

== Imágenes de estructuras ==

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T12:53:10Z

Pablo Esteban: /* Dibujo de la curva */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math>
 
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
[[File:Dibujo_curva_clotoide1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

== Cálculo longitud de la curva ==

== Cálculo de los vectores tangente y normal ==

== Cálculo de la curvatura ==

== Cálculo de la circunferencia osculatriz ==

== La Clotoide ==

== Imágenes de estructuras ==

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie reglada ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

2023-12-02T11:51:58Z

Pablo Esteban:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(s^2/2)ds, \int_{0}^{t}sin(s^2/2)ds), t∈(0,4) <math>
 

== Dibujo de la curva ==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Graficar la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal; % Para que la escala en x e y sea la misma
}}
[[Archivo:dibujo_curva_clotoide.jpg|750px|centro|Representación curva]]
 

== Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración ==

Archivo:Dibujo curva clotoide.jpg

2023-12-02T11:49:58Z

Pablo Esteban:

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T11:48:24Z

Pablo Esteban:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez }}

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
 
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(s^2/2)ds, \int_{0}^{t}sin(s^2/2)ds), t∈(0,4) <math>
 

==Dibujo de la curva==
Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Graficar la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal; % Para que la escala en x e y sea la misma
}}
[[Archivo:diubjo_curva_clotoide.jpg|750px|centro|Representación curva]]
 

==Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración==

La Clotoide (grupo 13)

2023-12-02T10:04:14Z

Pablo Esteban: