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Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:14:14Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \ u 1 + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
<math>σ= \left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math>Von Mises = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
[[Archivo:Von_mises.png|centro]]
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:13:42Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u 1 + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
<math>σ= \left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
[[Archivo:Von_mises.png|centro]]
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:12:54Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \1 + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
<math>σ= \left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
[[Archivo:Von_mises.png|centro]]
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:06:24Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
<math>σ= \left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:05:38Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
<math>σ=:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T23:01:13Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\ g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
{pmatrix}:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

[[Archivo:Tensión_normal.png|centro]]

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T22:58:54Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\ g_j =\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T22:52:15Z

Oumaima:

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=0.1; %paso de muestro
u = 1:h:3; %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = 0:h:pi/2; %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%creación de la matriz de autovalores V
t=[];
xx=1;
for rho=1:0.1:3
for theta=0:0.1:(pi/2)
sigma=[(theta./5).*(4-(1./rho)),(rho-1)./5,0;(rho-1)./5,(theta./5).*(4-(3./rho)),0;0,0,(theta./5).*(2-(1./rho))];
[X,D]=eig(sigma);
t=diag(D);
t(:,xx)=t;
xx=xx+1;
end
end

%Vectores a,b,c que contienen los autovalores para cada valor rho, theta
a=t(1,:); b=t(2,:); c=t(3,:);

%Tensiones de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);

%Generación de la matriz TVM
TVM = reshape(VM,[16,21]);

%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(x,y,TVM);
axis equal
colorbar

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T22:26:32Z

Oumaima: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & (\rho-1)/5 & 0 \\ (\rho-1)/5 & \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T22:19:04Z

Oumaima:

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & 0 & 0 \\ 0& \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Tensiones tangenciales==
Al realizar el calculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa para las direcciones <math>\vec g_\rho</math> y a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = 0
</math><math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= 0 </math>

Vemos que ambas tensiones son nulas, algebraicamente hablando esto es debido a que nuestro campo de desplazamientos depende únicamente del valor de la distancia al origen. Esto implica que al estar definido dicho tensor por la divergencia y el tensor unitario, será nula la tensión tangencial siempre que el campo no dependa del angulo, ya que sera igual en todas las direcciones.

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T22:17:03Z

Oumaima:

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

[[Archivo:rotacional666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}

==Estudio del tensor de tensiones==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Podemos calcular el tensor gradiente como 1-contravariante 1-covariante:

<math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} \theta/5 & (\rho -1)/5 & 0 \\ 0 & (\theta/ \rho)(\rho-1)/5)& 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

Las coordenadas 1-covariantes 1-contravariante coinciden por lo que la transposicion seá directa y el tensor quedara como <math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> , que corrresponde con la matriz mostrada anteriormente.
Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando \(\lambda=\mu=1\), siendo \(\lambda\) y \(\mu\) los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:
:<math>\left(\begin{array}{ccc} \theta/5(4-1/ \rho) & 0 & 0 \\ 0& \theta/5(4-3/ \rho) & 0 \\ 0 & 0 & \theta/5(2-1/\rho)\end{array}\right)</math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Representación de la función normal gp*tensión*gp
f=1/5*(atan(y./x).*(4-1./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,f)
axis equal

%Representación de la función normal (gtheta/rhó)*tensión*(gtheta/rhó)
f=1/5*(atan(y./x).*(4-3./(sqrt(x.^2+y.^2))));
subplot(1,2,2)
surf(x,y,f)
axis equal

}}

==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T17:18:13Z

Oumaima:

{{ TrabajoED | Temperatura y deformación de una placa plana con forma de un cuarto de anillo.
Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |
Diego Barros Rubio 

Julio Mora Fernández 

Oumaima Naima Oulad Mohamed 

Gorka Pablo Riaza López }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>1</math> y <math>3</math>, es decir <math>1≤x^2+y^2≤9</math>. Está situada en el plano correspondiente al primer cuadrante, con <math>y≥0</math> y <math>x≥o</math> y que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[1,3]×[0,π/2]</math>.
 

En ella, se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 

De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = θf(ρ) \vec g_ρ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado, primeramente, la superficie en coordenadas cilíndricas. A continuación, hemos introducido los datos en Matlab para poder obtener el mallado gráficamente. 
Se ha elegido un paso de muestreo de <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado, en la parametrización del programa <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente. Además, la placa ha sido dibujada en el cuadrado <math> [-1,4]×[-1,4] </math>.
 

[[Archivo:Placa111.png|centro]]
{{matlab|codigo=

% Región de la placa
u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

% Matriz de u y v
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
z=u.*0;

%Mallado
i=mesh(x,y,z);

%Región de dibujo
axis([-1,4,-1,4]);
axis equal
title('Placa');

}}
 

==Temperatura de la placa==
A continuación, representaremos a partir del campo escalar de temperaturas : <math>T(x,y,z)=(y+2)x^2</math> (expresado en coordenadas cartesianas), la temperatura en cada dm de la placa a través de un sistema de colores, de colores más fríos a más cálidos, temperaturas más frías a más calidas, respectivamente. En este caso hemos escogido la misma parametrización que en el punto (1), pero escrito de distinta forma para mostrar una forma diferente de escribir en lenguaje de progamación Matlab la misma idea. Además, mostramos un gráfico a la derecha que representa las curvas de nivel del campo en la placa.
 

[[Archivo:Temp placa.png|centro|]]
 
{{matlab|codigo=
function temperatura

%Parametrización u,v
h=20; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%función temperatura y curvas de nivel
T =(y+2).*(x.^2);
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
title ('temperatura de la placa')
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
subplot(1,2,2)
contour (x,y,T,50)
title ('curvas de nivel')
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar %barra de colores del gradiente de Tª
Tmin=min(min(T)) %Temperatura mínima de la placa
Tmax=max(max(T)) %Temperatura máxima de la placa
}}
 

==Gradiente de temperatura de la placa==
Una vez obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Simplemente derivamos, respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior: <math>\nabla(T)=2x(y+2)\vec i + x^2\vec j</math>. Una vez calculado, solo nos queda representar este campo vertorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar esta variación graficamente. Obviamente, como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
 

[[Archivo:GT2.png|centro]]
 
{{matlab|codigo=
%parametrización u,v
h=30; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%gradiente de la temperatura
T =(y+2).*(x.^2);
Tx=(2.*x).*(y+2);
Ty=(x.^2);

%dibujo
contour(x,y,T,30);
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
view (2)
hold off
}}
 

==Deformación de la placa==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=θf(ρ) \vec g_ρ</math>.
Para calcular <math>f(ρ)</math>, se nos ofrecen los siguientes datos:
:*Los puntos en <math>ρ=1</math> no sufren desplazamiento.
:*<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=θ(2-\frac{1}{ρ})/5</math>.
A partir de la segunda condición, y conociendo la definición de divergencia se obtiene la siguiente igualdad:
: <math>\frac{\partial}{\partial ρ}({ρf(ρ)θ})=\frac{θ}{5}(ρ-1)</math>.
Integrando con respecto a ρ en ambos lados del igual, resulta la siguiente ecuación:
: <math>ρθf(ρ)=\frac{θ}{5}(ρ^2-ρ)</math>
Simplificando la expresión anterior, se llega fácilmente a:
: <math>f(ρ)=\frac{1}{5}(ρ-1)</math>
Volviendo a la expresión inicial, es fácil obtener que el campo de desplazamientos:
: <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>

 

==Campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido==
Sobre nuestra placa sólida se ha aplicado una fuerza que ha causado desplazamientos de la misma. Estos se representan mediante el vector <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{θ}{5}(ρ-1)\vec g_ρ </math>.
El campo de desplazamientos, expresado en la base cartesiana es el que sigue:
: <math>\vec u=\frac{θ}{5}(ρ-1)(cos(θ)\vec i +sen(θ)\vec j)</math>
A continuación, se muestra el código de Matlab empleado para poder obtener el gráfico referido al campo de desplazamientos:
[[File:Desplazamientos.png|center|]] {{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie

u=1:0.1:3;
h=round(pi/0.1);
v=linspace(0,pi/2,h);

%Creación del mallado

[U,V]=meshgrid(u,v);

%Componentes en las direcciones de i y de j del campo de desplazamientos

x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);
z=U.*0;
a=(V/5).*(U-1).*cos(V);
b=(V/5).*(U-1).*sin(V);
c=b.*0;
figure

%Dibujo del mallado

i=mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
hold on

%Campo de desplazamientos

quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis equal
axis([-1 4 -1 4]);
view(0,90)
title('Placa y campo de desplazamientos')
hold off
}}
 

==Sólido antes y después del desplazamiento==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función <math>plot3</math> para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
 

[[Archivo:AyD.png|centro]]

 
{{matlab|codigo=
%DESPLAZAMIENTO ANTES Y DESPUÉS:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de las funciones que describen los desplazamientos que tienen
%lugar en la placa tomando como incógnitas x e y
Ux=(V/5).*(U-1).*cos(V)+x;
Uy=(V/5).*(U-1).*sin(V)+y;

%Representación gráfica:
%ANTES
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Antes del desplazamiento');
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title('Después del desplazamiento')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
title ('comparación')
hold off
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre nuestra placa==
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, dá esta información que acabo de destacar,es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma. La divergencia de la que hablamos es: <math>div(u)= \frac {1} {5} *(atan(\frac y x)*(2-(\frac 1 {\sqrt {x^2+y^2}} )))</math>
 

[[Archivo:Divergencia666.png|centro]]

{{matlab|codigo=
%Divergencia de u: donde sufre más deformación el cuerpo:

%parametrización u,v
h=50; %paso de muestro
u = linspace(1,3,h); %valor de u en el intervalor [1,3]según el muestro
v = linspace(0,pi/2,h); %valor de v en el intervalor [0,pi/2]según el muestro
[U,V] = meshgrid(u,v); %matrices de las componentes polares de la placa
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

%Definición de la divergencia del campo de desplazamientos u tomando como incógnitas x e y
DIVu=(1/5).*(atan(y./x).*(2-(1./(sqrtx.^2+y.^2))));

%Representación gráfica de la divergencia
surf(x,y,DIVu)
view (2)
axis equal
axis([-1 4 -1 4])
colorbar

%obtención de la divergencia máxima
DIVuMAX=max(DIVu)
%obtención de la divergencia mínima
DIVuMIN=min(DIVu)
}}

==Rotacional de U==
A través del programa de Matlab, que podemos observar a continuación, hemos calculado el rotacional del campo desplazamiento u en los puntos del sólido y los hemos representado, observándose en la gráfica cuales son los puntos que sufren mayor rotacional.

{{matlab|codigo=
h= 50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de las componentes
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
Rot= -(sqrt(x^2+y^2)-1)/5*sqrt(x^2+y^2);
surf (x,y,Rot)
view(2)
axis equal
axis ([-1,4,-1,4])
colorbar
}}
==Masa total de la placa==
En este apartado debemos hallar la masa. Para ello nos indican la función densidad d(x,y,z)= 1 + e −|x|/(y+1)^2 de nuestra placa a partir de la cual podremos hallar la masa.
{{matlab|codigo=
h=50; % pasos de muestreo
u = linspace(1,3,h); % valor de u en el intervalo [1,3]
v = linspace(0,pi/2,h); % valor de v en el intervalo[ 1,4]
[U,V ]=meshgrid(u,v); % matriz de la PLACA EN COORDENADAS POLARES
x = U.*cos(V); %coordenadas cartesianas
y = U.*sin(V);
d=1+exp(-abs(x)/(y+1)^2); %funcion de densidad d(x,y)
a=h^2*d; %nos da la masa en cada punto
mas=sum(sum(a)); %este comando nos suma los elementos de la matriz a,la masa total
}}
La masa es: 1.2524e+07.

Explicación: Al crear la matriz de la placa en coordenadas cartesianas, hemos creado la matriz de la placa circular con una serie de puntos que separados por una distancia h (=Paso de muestra). Tomamos como dA el espacio comprendido entre 4 puntos que forman el cuadrado de menor dimensión posible, siendo h el lado de ese cuadrado. Por tanto, para calcular la masa en cada dA habrá que multiplicar esa área por la densidad. Posteriormente se suman todos los diferenciales de masa para obtener la masa total. Se puede observar que cuanto menor sea el paso de muestra, más exacta será la aproximación de la masa ya que el dA será menor.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC19/20]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 5-C)

2019-12-05T16:50:50Z

Oumaima: