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Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:06:20Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] |
José Penadés Crespí;
Oliver Prada Sanchidrián;
Jorge Amador Domínguez;
David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:05:11Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] |
José Penadés Crespí;
Oliver Prada Sanchidrián ;
Jorge Amador Domínguez ;
David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:04:46Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] |
José Penadés Crespí
Oliver Prada Sanchidrián ;
Jorge Amador Domínguez ;
David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:04:22Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí
; Oliver Prada Sanchidrián ;
Jorge Amador Domínguez ;
David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:03:00Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí ; Oliver Prada Sanchidrián ; Jorge Amador Domínguez ; David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:02:34Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:02:15Z

Oliver Prada:

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T14:01:41Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí | Oliver Prada Sanchidrián | Jorge Amador Domínguez | David Pallarés Carrillo}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:59:59Z

Oliver Prada:

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:59:16Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo }}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:58:54Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo }}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:57:10Z

Oliver Prada: Oliver Prada trasladó la página Usuario:Oliver Prada a Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo }}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Usuario:Oliver Prada

2020-12-05T13:57:10Z

Oliver Prada: Oliver Prada trasladó la página Usuario:Oliver Prada a Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

#REDIRECCIÓN [[Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B]]

Discusión:Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:57:10Z

Oliver Prada: Oliver Prada trasladó la página Usuario discusión:Oliver Prada a Discusión:Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

'''Bienvenido a ''MateWiki''!'''
Esperamos que contribuyas mucho y bien.
Probablemente desearás leer las [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents páginas de ayuda].
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Usuario discusión:Oliver Prada

2020-12-05T13:57:10Z

Oliver Prada: Oliver Prada trasladó la página Usuario discusión:Oliver Prada a Discusión:Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

#REDIRECCIÓN [[Discusión:Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:55:25Z

Oliver Prada: Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo }}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-05T13:49:40Z

Oliver Prada:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | José Penadés Crespí, Oliver Prada Sanchidrián, Jorge Amador Domínguez, David Pallarés Carrillo
}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC20/21]]

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T23:06:50Z

Oliver Prada:

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T23:02:41Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

El resultado de la integral, y por tanto la masa de la placa es de 20 unidades

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T23:01:45Z

Oliver Prada: /* TENSOR DE TENSIONES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|miniaturadeimagen]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Archivo:Patata.PNG

2020-12-04T22:59:43Z

Oliver Prada:

Archivo:Tensiones2.PNG

2020-12-04T22:58:34Z

Oliver Prada:

Archivo:Tensiones.PNG

2020-12-04T22:57:52Z

Oliver Prada:

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T22:55:40Z

Oliver Prada: /* TENSOR DE TENSIONES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

[[Archivo:Tensiones.PNG|marco]]

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Archivo:Campo de fuerzas.PNG

2020-12-04T22:53:10Z

Oliver Prada:

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T22:52:45Z

Oliver Prada: /* CAMPO DE FUERZAS */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

[[Archivo:Campo de fuerzas.PNG|miniaturadeimagen]]

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T22:28:45Z

Oliver Prada: /* CAMPO DE FUERZAS */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T22:27:00Z

Oliver Prada: /* TENSOR DE TENSIONES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T22:26:42Z

Oliver Prada: /* TENSOR DE TENSIONES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);

%tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot (2,2,1)
tx=0;
ty=3.*My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2,2,2)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

%tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot (2,2,3)
tx=0;
ty=My/50;
quiver(Mx,My,tx,ty);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T20:29:58Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T20:29:27Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Límites de integración
a=0;
b=10;
c=-1;
d=1;
%Número de puntos
N1=(b-a)/h;
N2=(d-c)/h;
%Nuestras función
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My);
%Vectores de masa
m1=ones(N1+1,1);
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
%Resultado
MASA= h^2*m2'*f*m1
fprintf('El valor de la masa es %.4f', MASA)

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T20:19:30Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
a=0; %Límites de integración
b=10;
c=-1;
d=1;
N1=(b-a)/h; %Número de puntos
N2=(d-c)/h;
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My); %Nuestras función
m1=ones(N1+1,1); %Vectores de masa
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
MASA= h^2*m2'*f*m1 %Resultado

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T20:19:12Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
a=0; %Límites de integración
b=10;
c=-1;
d=1;
N1=(b-a)/h; %Número de puntos
N2=(d-c)/h;
f=1+Mx.*My.*log10(1+Mx+My.*My); %Nuestras función
m1=ones(N1+1,1); %Vectores de masa
m1(1)=0.5;
m1(N1+1)=0.5;
m2=ones(N2+1,1);
m2(1)=0.5;
m2(N2+1)=0.5;
MASA= h^2*m2'*f*m1 %Resultado
}

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T20:09:19Z

Oliver Prada: /* CAMPO DE FUERZAS */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
w=zeros(size(u));
[Mx,My,Mz]=meshgrid(u,v,w);
X=0;
Y=-3/10;
Z=0;
quiver3(Mx,My,Mz,X,Y,Z)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de fuerzas')
}

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T17:17:31Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{10}\int_{-1}^{1} d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2) </math>

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T17:04:53Z

Oliver Prada: /* MASA TOTAL DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: <math> d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2). </math>

Para ello calculamos la integral

<math>\int_{A} d(x,y) dA </math>

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-04T16:50:21Z

Oliver Prada:

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

<math> [σ \vec i - (\vec i σ \vec i)]=[σ \vec i - \frac{3y}{50}\vec i] = [\frac{3y}{50}\vec i + \frac{x}{100}\vec j - \frac{3y}{50}\vec i]= \frac{x}{100}\vec j </math>

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T19:03:50Z

Oliver Prada: /* DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}
[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T19:02:53Z

Oliver Prada: /* SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T19:01:26Z

Oliver Prada: /* CAMPO DE VECTORES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
}}
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T19:00:34Z

Oliver Prada: /* GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:59:03Z

Oliver Prada: /* CURVAS DE NIVEL */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
}}
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:57:39Z

Oliver Prada: /* MALLADO */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
{{matlab|codigo=
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:56:28Z

Oliver Prada: /* ROTACIONAL DE \vec u */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
}}
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:53:56Z

Oliver Prada: /* TENSIÓN DE VON MISES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
figure (3)
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
f1=inline('3*My./50','Mx','My');
f12=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f13=inline('0.*Mx','Mx','My');
f21=inline('1/100.*Mx','Mx','My');
f2=inline('My./50','Mx','My');
f23=inline('0.*Mx','Mx','My');
f31=inline('0.*Mx','Mx','My');
f32=inline('0.*Mx','Mx','My');
f3=inline('My./50','Mx','My');
%Bucle
for j= 1:length(u)
for i= 1:length(v)
F1=f1(Mx(i,j),My(i,j));
F12=f12(Mx(i,j),My(i,j));
F13=f13(Mx(i,j),My(i,j));
F21=f21(Mx(i,j),My(i,j));
F2=f2(Mx(i,j),My(i,j));
F23=f23(Mx(i,j),My(i,j));
F31=f31(Mx(i,j),My(i,j));
F32=f32(Mx(i,j),My(i,j));
F3=f3(Mx(i,j),My(i,j));
T=[F1 F12 F13;F21 F2 F23;F31 F32 F3];
AV=eig(T);
vmax=sqrt(((AV(1)-AV(2))^2+((AV(2)-AV(3))^2+((AV(3)-AV(1))^2))*0.5));
Mz(i,j)=vmax;
end
end
surf(Mx,My,Mz)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
}}

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:42:58Z

Oliver Prada: /* TENSIÓN DE VON MISES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

[[Archivo:Apart-11.png]]

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Archivo:Apart-11.png

2020-12-03T18:41:39Z

Oliver Prada:

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:38:57Z

Oliver Prada: /* TENSIÓN DE VON MISES */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:30:32Z

Oliver Prada: /* ROTACIONAL DE ´u (falta poner las flechas a todos los vectorees!) */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE <math>\vec u </math>=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
VonMises=(σ1−σ2)2−(σ2−σ3)2−(σ3−σ1)22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).

Deformaciones de una placa plana. Grupo 1-B

2020-12-03T18:29:46Z

Oliver Prada: /* ROTACIONAL DE ´u (falta poner las flechas a todos los vectorees!) */

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada
por <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición
de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>, donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

=INTRODUCCIÓN=
Este trabajo se centra en el estudio físico de una placa rectangular en dos dimensiones. Se ha realizado analizando temperatura y deformaciones tratándolos como campos vectoriales. Para llevar a cabo todos los cálculos necesarios se ha empleado el software científico de visualización Octave.

=MALLADO=
Para representar el mallado del sólido se ha dibujado sobre un rectángulo (x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y.
% Región de la placa
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
% Matriz de u y v
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Mallado
mesh(Mx,My,0*Mx);
%Región de dibujo
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Placa')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
[[Archivo:WhatsApp_Image_2020-12-03_at_12.37.30.jpeg]]

=CURVAS DE NIVEL=
Representamos la variación de temperaturas a partir de la siguiente fórmula: <math>T(x,y) = x^2 + (10y)^2 </math>. La gráfica obtenida en Octave muestra una escala de colores que varía en función de la temperatura, desde temperaturas más frías en color azul, hasta temperaturas más cálidas en colores naranjas.
Por lo tanto, la temperatura será máxima en los puntos de la gráfica con los colores más cálidos, en nuestro caso, cuando la x aumenta y la y se aproxima a 1 y -1.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos función temperatura
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
%Representamos líneas de nivel
contour(Mx,My,Temp);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Distribución de la temperatura')
[[Archivo:Apart-2.png]]

=GRADIENTE DE TEMPERATURA DE LA PLACA=
Una vez se ha obtenido la temperatura, procedemos a obtener como de rápido varía la temperatura cuando nos movemos desde un punto de la placa en una dirección determinada, es decir, el gradiente de temperatura. Derivamos respecto a cada variable, la función de la temperatura expresada en el punto anterior. Tras su cálculo, terminamos representando el campo vectorial sobre las curvas de nivel del campo escalar y observar su variación gráficamente. Como el gradiente muestra la dirección de máxima variación en cada punto, los vectores deben ser perpendiculares a las curvas de nivel, como se puede observar en la imagen.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp= (Mx.^2+100.*My.^2);
contour(Mx,My,Temp);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
[[Archivo:Apart-3.png]]

=CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS=
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec u </math>
definido como: <math> \vec u(x,y)= xf(y) \vec i − (\frac{x^2}{200}) \vec j </math>
.

Para calcular f(y), se nos dice que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec i </math> y que el rotacional de <math> \vec u </math> es igual a <math> \frac{3x}{100}. </math>
Por tanto si calculamos el rotacional de u y lo igualamos a <math> \frac{3x}{100} </math> obtendremos f(y).
En este caso el resultado obtenido es que f(y) es igual a <math> \frac{y}{50} </math>
.

Volviendo a la expresión inicial y sustituyendo, ahora podemos decir que
<math> \vec u= \frac{xy}{50}\vec i - \frac{x^2}{200}\vec j </math>
.

El desplazamiento se produce en la parte derecha de la placa siguiendo una dirección vertical de sentido negativo y una dirección horizontal en sentido positivo dejando la placa deformada. La parte izquierda de la placa no sufre movimiento alguno.

=CAMPO DE VECTORES=
A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= Mx.*My/50;
Uy= -Mx.^2 /200;
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
[[Archivo:Apart-5.png]]

=SÓLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO=
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superoposición de las imágenes con la función plot3
para que se pueda apreciar visualmente la deformación.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= Mx.*My/50 ;
Uy= -Mx.^2 /200 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:Apart-6.png]]

=DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL SOBRE NUESTRA PLACA=
Una vez observada la deformación de nuestra placa, estudiaremos desde un punto de vista muy parecido a como veíamos el campo escalar de temperatura en nuestra placa, pero con la deformación de la misma. Usaremos un sistema de colores, igual que en el campo escalar pero esta vez, del color más frío al más cálido, indicará menos deformación a más deformación, respectivamente, así como la indicación de la divergencia máxima y mínima de la placa. Por tanto, se puede intuir debido a la relación del título con esta explicación, que la divergencia, da esta información que acabo de destacar, es decir, hace referencia a cuanto se deforma la placa en cualquier punto de la misma.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= My./50;
surf(Mx,My, div);
axis equal
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

[[Archivo:Apart-7.png]]

=ROTACIONAL DE ´u (falta poner las flechas a todos los vectorees!)=
Con la ayuda del programa Octave, se observa que, se ha calculado el capo rotacional del campo desplazamiento ?u en los puntos del sólido y se ha representado como se observa en la gráfica, qué puntos sufren mayor rotacional.
h=0.1;
u=0:h:10;
v=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos rotacional
Rot= -3*Mx/100;
%Representamos rotacional
surf(Mx,My,Rot);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Rotacional')
[[Archivo:Apart-8.png]]

=TENSOR DE TENSIONES=
Definamos '''�(~u) = (∇~u + ∇~ut
)/2''', la parte simétrica del tensor gradiente de ~u conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula: '''σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�''',
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene
componente en la dirección de ~k) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
~k.

=TENSORES TANGENCIALES=
Al realizar el cálculo de las tensiones tangenciales de nuestra placa respecto al plano ortogonal a ?i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, hemos obtenido lo siguiente:

=TENSIÓN DE VON MISES=
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un escalar obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.
La matriz del tensor de tensiones se define como σ
, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión,
VonMises=(σ1−σ2)2−(σ2−σ3)2−(σ3−σ1)22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
A continuación se incluye el cálculo realizado en Octave y su gráfico:

=CAMPO DE FUERZAS=
Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento
observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F~ = −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

=MASA TOTAL DE LA PLACA=
En el cálculo de la masa de la placa, se ha tomado la ecuación de densidad: d(x, y) = 1 + xy log(1 + x + y^2).