Archivo:Apartado5.1C(1).jpg

2014-12-03T19:13:41Z

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-03T19:13:09Z

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{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Javier Núñez Betancort, Antonio Pérez Mata, Enrique Pellico Martín, Javier Santander Gimeno, Javier Rodríguez Saíz, Javier Parras Martínez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|150px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C(1).jpg|500x220px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
axis equal
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-0.5,0.5,0,4])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de área local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de área) y si es negativa será un sumidero (disminución del área).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de área del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de área).

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec i = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec j - (\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec j = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Archivo:Apartado2.1C(1).jpg

2014-12-03T18:54:47Z

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Archivo:Apartado5C(1).jpg

2014-12-03T18:50:37Z

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2014-12-03T18:48:48Z

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Archivo:Apartado2C(2).jpg

2014-12-03T18:46:21Z

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2014-11-30T17:19:35Z

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