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Ecuación del calor PNL

2026-04-12T10:26:58Z

Noe.rico:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo PNL | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Paula León

Noé Rico

Leo Zambrano }}

[[Archivo:Poster_PNL2.png||900px]]
[[Archivo:Poster_PNL2.pdf]]

__TOC__

=SOLUCIÓN DEL SISTEMA INICIAL=
El primer código para visualizar la solución del sistema inicial es el siguiente:
<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi);
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS DEL SI=
El código para observar el flujo en los extremos es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = -9 * ones(size(t));
Phi1 = -9 * ones(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 18 * exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 18 * (-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=CAMBIO DE COEFICIENTE DE DIFUSIÓN=
El código utilizado para la solución con coeficiente de difusión 0.5 y la comparación con el coeficiente de difusión 1 es el siguiente:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % mallado temporal (incluye t=0)
[X, T] = meshgrid(x, t); % malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Número de términos de la serie
N = 10;

% Coeficientes c_n
c = zeros(1, N);
for n = 1:N
c(n) = 18 / (n * pi);
end

% 1. Solución para k = 0.5
k1 = 0.5;
w_k05 = zeros(size(X));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*X) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* T);
w_k05 = w_k05 + wn;
end
u_k05 = v + w_k05;

% Gráfica 3D para k=0.5
figure;
surf(X, T, u_k05, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)');
title('Solución con conductividad k = 0.5 (primeros 10 términos)');
colormap('jet'); colorbar; grid on;

% 2. Diferencia u(1/2,t)-uest(1/2) para ambos k
% Punto medio x=0.5
x_mid = 0.5;
% Para k=1 (original)
k_orig = 1;
w_diff_orig = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k_orig * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_orig = w_diff_orig + wn;
end
% Para k=0.5
w_diff_k05 = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_k05 = w_diff_k05 + wn;
end

% Valor estacionario en x=0.5
uest_mid = 9*x_mid + 1; % = 5.5
% La diferencia es simplemente w(x=0.5,t)
diff_orig = w_diff_orig;
diff_k05 = w_diff_k05;

% Gráfica comparativa
figure;
plot(t, diff_orig, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, diff_k05, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t'); ylabel('u(0.5,t) - u_{est}(0.5)');
legend('k = 1', 'k = 0.5', 'Location', 'best');
title('Evolución de la diferencia respecto al estado estacionario en x = 0.5');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES INICIALES=
El código para visualizar la solución del sistema con las condiciones iniciales modificadas es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 20/(n*pi)*(cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3));
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES INICIALES=
Para visualizar el flujo con las nuevas condiciones iniciales utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))* exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))*(-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES FRONTERA=
El código para observar la solución con el sistema con distintas condiciones de frontera es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 0:N
cn = -40/((n+1/2)*pi)*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2));
wn = cn * cos((1/2 + n)*pi.*X).*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES FRONTERA=
Para ver el flujo en los extremos del problema con distintas condiciones de fronteras utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi.*0)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
Phi1 = Phi1 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=PRINCIPIO DE COMPARACIÓN=
El código para visualizar el principio de comparación es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria (cota inferior)
v = 9 * X + 1; % v(x,t) = 9x+1

% Cota superior constante
z = 10 * ones(size(X)); % z(x,t) = 10

% Cálculo de la solución u(x,t) del problema original
% u_t = u_xx, con u(0,t)=1, u(1,t)=10, u(x,0)=10
% La solución se escribe como u = v + w, donde w se obtiene por separación de variables
N = 1000; % Número de términos de Fourier
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi); % Coeficientes de la serie de Fourier de 10 - (9x+1) = 9(1-x)
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

u = v + w; % Solución completa

% Gráfica 3D que muestra u(x,t) y las dos cotas
figure;
% Superficie de la solución
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
hold on;
% Cota inferior v(x,t) = 9x+1
surf(X, T, v, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'green');
% Cota superior z(x,t) = 10
surf(X, T, z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'red');

xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Comparación: solución u(x,t) acotada entre 9x+1 (verde) y 10 (rojo)');
legend('u(x,t)', '9x+1 (cota inferior)', '10 (cota superior)', 'Location', 'best');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;
hold off;

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Archivo:Poster PNL2.png

2026-04-12T10:26:24Z

Noe.rico:

Archivo:Poster PNL2.pdf

2026-04-12T10:22:01Z

Noe.rico:

Ecuación del calor PNL

2026-04-12T10:21:20Z

Noe.rico:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo PNL | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Paula León

Noé Rico

Leo Zambrano }}

[[Archivo:Poster_PNL2.jpg||900px]]
[[Archivo:Poster_PNL2.pdf]]

__TOC__

=SOLUCIÓN DEL SISTEMA INICIAL=
El primer código para visualizar la solución del sistema inicial es el siguiente:
<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi);
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS DEL SI=
El código para observar el flujo en los extremos es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = -9 * ones(size(t));
Phi1 = -9 * ones(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 18 * exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 18 * (-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=CAMBIO DE COEFICIENTE DE DIFUSIÓN=
El código utilizado para la solución con coeficiente de difusión 0.5 y la comparación con el coeficiente de difusión 1 es el siguiente:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % mallado temporal (incluye t=0)
[X, T] = meshgrid(x, t); % malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Número de términos de la serie
N = 10;

% Coeficientes c_n
c = zeros(1, N);
for n = 1:N
c(n) = 18 / (n * pi);
end

% 1. Solución para k = 0.5
k1 = 0.5;
w_k05 = zeros(size(X));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*X) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* T);
w_k05 = w_k05 + wn;
end
u_k05 = v + w_k05;

% Gráfica 3D para k=0.5
figure;
surf(X, T, u_k05, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)');
title('Solución con conductividad k = 0.5 (primeros 10 términos)');
colormap('jet'); colorbar; grid on;

% 2. Diferencia u(1/2,t)-uest(1/2) para ambos k
% Punto medio x=0.5
x_mid = 0.5;
% Para k=1 (original)
k_orig = 1;
w_diff_orig = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k_orig * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_orig = w_diff_orig + wn;
end
% Para k=0.5
w_diff_k05 = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_k05 = w_diff_k05 + wn;
end

% Valor estacionario en x=0.5
uest_mid = 9*x_mid + 1; % = 5.5
% La diferencia es simplemente w(x=0.5,t)
diff_orig = w_diff_orig;
diff_k05 = w_diff_k05;

% Gráfica comparativa
figure;
plot(t, diff_orig, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, diff_k05, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t'); ylabel('u(0.5,t) - u_{est}(0.5)');
legend('k = 1', 'k = 0.5', 'Location', 'best');
title('Evolución de la diferencia respecto al estado estacionario en x = 0.5');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES INICIALES=
El código para visualizar la solución del sistema con las condiciones iniciales modificadas es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 20/(n*pi)*(cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3));
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES INICIALES=
Para visualizar el flujo con las nuevas condiciones iniciales utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))* exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))*(-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES FRONTERA=
El código para observar la solución con el sistema con distintas condiciones de frontera es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 0:N
cn = -40/((n+1/2)*pi)*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2));
wn = cn * cos((1/2 + n)*pi.*X).*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES FRONTERA=
Para ver el flujo en los extremos del problema con distintas condiciones de fronteras utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi.*0)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
Phi1 = Phi1 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=PRINCIPIO DE COMPARACIÓN=
El código para visualizar el principio de comparación es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria (cota inferior)
v = 9 * X + 1; % v(x,t) = 9x+1

% Cota superior constante
z = 10 * ones(size(X)); % z(x,t) = 10

% Cálculo de la solución u(x,t) del problema original
% u_t = u_xx, con u(0,t)=1, u(1,t)=10, u(x,0)=10
% La solución se escribe como u = v + w, donde w se obtiene por separación de variables
N = 1000; % Número de términos de Fourier
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi); % Coeficientes de la serie de Fourier de 10 - (9x+1) = 9(1-x)
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

u = v + w; % Solución completa

% Gráfica 3D que muestra u(x,t) y las dos cotas
figure;
% Superficie de la solución
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
hold on;
% Cota inferior v(x,t) = 9x+1
surf(X, T, v, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'green');
% Cota superior z(x,t) = 10
surf(X, T, z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'red');

xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Comparación: solución u(x,t) acotada entre 9x+1 (verde) y 10 (rojo)');
legend('u(x,t)', '9x+1 (cota inferior)', '10 (cota superior)', 'Location', 'best');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;
hold off;

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Ecuación del calor PNL

2026-04-12T10:17:51Z

Noe.rico: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo PNL | EDP|2025-26 | Paula León Noé Rico Leo Zambrano }} Archivo:Poster_EPNL.p...»

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo PNL | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Paula León

Noé Rico

Leo Zambrano }}

[[Archivo:Poster_EPNL.png||900px]]
[[Archivo:Poster_EPNL.pdf]]

__TOC__

=SOLUCIÓN DEL SISTEMA INICIAL=
El primer código para visualizar la solución del sistema inicial es el siguiente:
<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi);
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS DEL SI=
El código para observar el flujo en los extremos es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = -9 * ones(size(t));
Phi1 = -9 * ones(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 18 * exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 18 * (-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=CAMBIO DE COEFICIENTE DE DIFUSIÓN=
El código utilizado para la solución con coeficiente de difusión 0.5 y la comparación con el coeficiente de difusión 1 es el siguiente:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % mallado temporal (incluye t=0)
[X, T] = meshgrid(x, t); % malla 2D

% Solución estacionaria
v = 9*X + 1;

% Número de términos de la serie
N = 10;

% Coeficientes c_n
c = zeros(1, N);
for n = 1:N
c(n) = 18 / (n * pi);
end

% 1. Solución para k = 0.5
k1 = 0.5;
w_k05 = zeros(size(X));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*X) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* T);
w_k05 = w_k05 + wn;
end
u_k05 = v + w_k05;

% Gráfica 3D para k=0.5
figure;
surf(X, T, u_k05, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)');
title('Solución con conductividad k = 0.5 (primeros 10 términos)');
colormap('jet'); colorbar; grid on;

% 2. Diferencia u(1/2,t)-uest(1/2) para ambos k
% Punto medio x=0.5
x_mid = 0.5;
% Para k=1 (original)
k_orig = 1;
w_diff_orig = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k_orig * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_orig = w_diff_orig + wn;
end
% Para k=0.5
w_diff_k05 = zeros(size(t));
for n = 1:N
wn = c(n) * sin(n*pi*x_mid) .* exp(-k1 * (n*pi)^2 .* t);
w_diff_k05 = w_diff_k05 + wn;
end

% Valor estacionario en x=0.5
uest_mid = 9*x_mid + 1; % = 5.5
% La diferencia es simplemente w(x=0.5,t)
diff_orig = w_diff_orig;
diff_k05 = w_diff_k05;

% Gráfica comparativa
figure;
plot(t, diff_orig, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, diff_k05, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t'); ylabel('u(0.5,t) - u_{est}(0.5)');
legend('k = 1', 'k = 0.5', 'Location', 'best');
title('Evolución de la diferencia respecto al estado estacionario en x = 0.5');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES INICIALES=
El código para visualizar la solución del sistema con las condiciones iniciales modificadas es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 20/(n*pi)*(cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3));
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES INICIALES=
Para visualizar el flujo con las nuevas condiciones iniciales utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))* exp(-(n*pi)^2 .* t);
Phi1 = Phi1 - 20 * (cos(2*pi*n/3)-cos(pi*n/3))*(-1)^n * exp(-(n*pi)^2 .* t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=SOLUCIÓN CON CAMBIO EN LAS CONDICIONES FRONTERA=
El código para observar la solución con el sistema con distintas condiciones de frontera es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parametros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria
v = 10;

% Primeros terminos de Fourier
N = 10; % Número de términos
w = zeros(size(X));

for n = 0:N
cn = -40/((n+1/2)*pi)*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2));
wn = cn * cos((1/2 + n)*pi.*X).*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*T);
w = w + wn;
end

% Solución tras el cambio
u = w + v;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución de la ecuación del calor: u(x,t) con primeros 10 términos');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;

</source>

=FLUJO EN LOS EXTREMOS CON CAMBIO EN CONDICIONES FRONTERA=
Para ver el flujo en los extremos del problema con distintas condiciones de fronteras utilizamos el siguiente código:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
t = linspace(1e-16, 1, 1000); % tiempo, evitando t=0 exacto
N = 10; % número de términos

% Inicializar flujos
Phi0 = zeros(size(t));
Phi1 = zeros(size(t));

% Sumar los N primeros términos
for n = 1:N
Phi0 = Phi0 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi.*0)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
Phi1 = Phi1 + 40*sin((pi/12) + (n*pi/6)) * cos((pi/4) + (n*pi/2)) * sin((1/2 + n)*pi)*exp(-((1/2+n)*pi)^2.*t);
end

% Gráfica
figure;
plot(t, Phi0, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(t, Phi1, 'r-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('tiempo t');
ylabel('Flujo de calor Φ(x,t)');
legend('Φ(0,t) (extremo izquierdo)', 'Φ(1,t) (extremo derecho)', 'Location', 'best');
title('Flujo de calor en los extremos de la varilla');
grid on;

</source>

=PRINCIPIO DE COMPARACIÓN=
El código para visualizar el principio de comparación es:

<source lang: "Matlab" line>

% Parámetros
x = linspace(0, 1, 1000); % Mallado espacial
t = linspace(0, 1, 1000); % Mallado temporal
[X, T] = meshgrid(x, t); % Malla 2D

% Solución estacionaria (cota inferior)
v = 9 * X + 1; % v(x,t) = 9x+1

% Cota superior constante
z = 10 * ones(size(X)); % z(x,t) = 10

% Cálculo de la solución u(x,t) del problema original
% u_t = u_xx, con u(0,t)=1, u(1,t)=10, u(x,0)=10
% La solución se escribe como u = v + w, donde w se obtiene por separación de variables
N = 1000; % Número de términos de Fourier
w = zeros(size(X));

for n = 1:N
cn = 18 / (n * pi); % Coeficientes de la serie de Fourier de 10 - (9x+1) = 9(1-x)
wn = cn * sin(n * pi .* X) .* exp(-(n * pi)^2 .* T);
w = w + wn;
end

u = v + w; % Solución completa

% Gráfica 3D que muestra u(x,t) y las dos cotas
figure;
% Superficie de la solución
surf(X, T, u, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
hold on;
% Cota inferior v(x,t) = 9x+1
surf(X, T, v, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'green');
% Cota superior z(x,t) = 10
surf(X, T, z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.4, 'FaceColor', 'red');

xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Comparación: solución u(x,t) acotada entre 9x+1 (verde) y 10 (rojo)');
legend('u(x,t)', '9x+1 (cota inferior)', '10 (cota superior)', 'Location', 'best');
colormap('jet');
colorbar;
view(45, 30);
grid on;
hold off;

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Series de Fourier EPNL

2026-02-18T20:48:09Z

Noe.rico:

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo EPNL | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Elsa Coutelenq

Paula León

Noé Rico

Leo Zambrano }}

[[Archivo:Poster_EPNL.png||900px]]
[[Archivo:Poster_EPNL.pdf]]

__TOC__

=CODIGO 1 =
El primer código para visualizar las series de fourier con coeficientes normales (0,1) es el siguiente:
<source lang: "Matlab" line>
x = linspace(-pi, pi, 4000);
Ns = [10, 20, 50, 100];

figure

for k = 1:length(Ns)

N = Ns(k);

A = randn(1,N);
B = randn(1,N);

f = zeros(size(x));
for n = 1:N
f = f + A(n)*cos(n*x) + B(n)*sin(n*x);
end

subplot(2,2,k)
plot(x, f, 'DisplayName', ['N = ' num2str(N)])
xlim([-pi pi])
ylim([-30 30])
legend show
grid on

end

sgtitle('Serie de Fourier con coeficientes N(0,1)')

</source>

=CODIGO 2=
El código para la simulación de la probabilidad mediante Monte Carlo es:

<source lang: "python" line>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -------------------------
# Parámetros del modelo
# -------------------------
L = np.pi
N = 30
seed = 0

M = 3000
ells = np.array([1e-3, 2e-3, 5e-3, 1e-2, 2e-2, 5e-2, 0.1, 0.2, 0.4, 0.7, 1.0, L])

# Malla adaptativa (densidad constante)
points_per_unit = 120
Jmin, Jmax = 11, 500

rng = np.random.default_rng(seed)

n = np.arange(1, N + 1)

def sample_coeffs():
A0 = rng.normal(0.0, 1.0)
A = rng.normal(0.0, 1.0, size=N)
B = rng.normal(0.0, 1.0, size=N)
return A0, A, B

def eval_f_on_grid(xgrid, A0, A, B):
"""
Evalúa la serie de Fourier en los puntos xgrid

Args:
xgrid: array de puntos donde evaluar (J,)
A0: término constante (escalar)
A: coeficientes coseno (N,)
B: coeficientes seno (N,)

Returns:
f: array (J,) con los valores de la función
"""
# Crear matriz theta: (J, N) donde theta[j, n-1] = (π/L) * xgrid[j] * n
theta = (np.pi / L) * np.outer(xgrid, n)

# Calcular la serie de Fourier sin usar @
# Para cada punto x, sumamos sobre n: A_n*cos(theta_n) + B_n*sin(theta_n)
cos_terms = np.cos(theta) * A # Multiplicación elemento a elemento, luego se suma sobre n
sin_terms = np.sin(theta) * B

# Sumar sobre el eje de los términos (axis=1)
f = A0 + np.sum(cos_terms, axis=1) + np.sum(sin_terms, axis=1)

return f

# -------------------------
# Monte Carlo para cada longitud
# -------------------------
lengths = ells
p_hats = []

for ell, length in zip(ells, lengths):
a, b = -ell, ell

Jell = int(np.clip(np.ceil(points_per_unit * length), Jmin, Jmax))
xgrid = np.linspace(a, b, Jell)

success = 0
for _ in range(M):
A0, A, B = sample_coeffs()
f = eval_f_on_grid(xgrid, A0, A, B)
if np.all(f >= 0):
success += 1

p_hat = success / M
p_hats.append(p_hat)
print(f"longitud={length:.4g} (ℓ={ell:.4g}) | J={Jell:3d} | p_hat={p_hat:.4f} | {success}/{M}")

p_hats = np.array(p_hats, dtype=float)

# -------------------------
# Plot: Probabilidad vs Longitud
# -------------------------
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(lengths, p_hats, marker="o", linewidth=1.8)

plt.title("Probabilidad estimada vs L")
plt.xlabel("L")
plt.ylabel(r"$\mathbb{P}(f_\sigma(x) ≥ 0, \forall x, \in [-L,L])$")
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()
</source>

=CODIGO 3 Y 4=
El código para las normales (0,<math>1/n</math>) y (0,<math>1/n^2</math>) es el siguiente:

<source lang: "Matlab" line>

%Fourier N(0,1/n)

x = linspace(-pi, pi, 4000);
Ns = [100, 200, 500, 1000];

figure

for k = 1:length(Ns)

N = Ns(k);
n = 1:N;

% Desviación típica = 1/n
A = (1./n) .* randn(1,N);
B = (1./n) .* randn(1,N);

f = zeros(size(x));
for j = 1:N
f = f + A(j)*cos(j*x) + B(j)*sin(j*x);
end

subplot(2,2,k)
plot(x, f, 'DisplayName', ['N = ' num2str(N)])
xlim([-pi pi])
ylim([-5 5])
legend show
grid on

end

sgtitle('Serie de Fourier con A_n,B_n ~ N(0, 1/n)')

%Fourier N(0,1/n^2)
x = linspace(-pi, pi, 4000);
Ns = [100, 200, 500, 1000];

figure

for k = 1:length(Ns)

N = Ns(k);
n = 1:N;

% Desviación típica = 1/n
A = (1./n.^2) .* randn(1,N);
B = (1./n.^2) .* randn(1,N);

f = zeros(size(x));
for j = 1:N
f = f + A(j)*cos(j*x) + B(j)*sin(j*x);
end

subplot(2,2,k)
plot(x, f, 'DisplayName', ['N = ' num2str(N)])
xlim([-pi pi])
ylim([-5 5])
legend show
grid on

end

sgtitle('Serie de Fourier con A_n,B_n ~ N(0, 1/n^2)')

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Series de Fourier EPNL

2026-02-18T20:44:37Z