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Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T20:50:31Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo AllasㅤㅤㅤㅤJorge Mancheño EstévezㅤㅤPedro Pérez HernanzㅤㅤÁlvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \). Esto representa la dirección de máxima tasa de variación.
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 3.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 6, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona superior que la que se da en la zona inferior de la gráfica.

[[Archivo:ULTIMOcorrecto.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T20:50:04Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo AllasㅤㅤㅤㅤJorge Mancheño EstévezㅤㅤPedro Pérez HernanzㅤㅤÁlvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \). Esto representa la dirección de máxima tasa de variación.
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 3.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 6, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona superior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ULTIMOcorrecto.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T20:47:29Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Líneas de Corriente */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo AllasㅤㅤㅤㅤJorge Mancheño EstévezㅤㅤPedro Pérez HernanzㅤㅤÁlvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \). Esto representa la dirección de máxima tasa de variación.
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 3.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 6, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = cos\theta \vec i - sin\theta \vec j </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ULTIMOcorrecto.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T11:52:47Z

Nicolas Martin de Andrade:

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo AllasㅤㅤㅤㅤJorge Mancheño EstévezㅤㅤPedro Pérez HernanzㅤㅤÁlvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T11:49:43Z

Nicolas Martin de Andrade:

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo Allas ㅤㅤㅤㅤ Jorge Mancheño EstévezㅤㅤㅤㅤPedro Pérez Hernanz ㅤㅤㅤ Álvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T11:47:53Z

Nicolas Martin de Andrade:

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Andrea Amo Allas Jorge Mancheño EstévezㅤㅤPedro Pérez Hernanz ㅤㅤㅤ Álvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T11:23:27Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Jorge Mancheño Estévez Andrea Amo AllasㅤㅤㅤPedro Pérez Hernanz ㅤㅤㅤ Álvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

Para resolver la ecuación establecida, se verifica la siguiente identidad vectorial:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

Donde <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> debido a que el rotacional es nulo, y al multiplicarlo vectorialmente por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo. Por ello, se tiene que:

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

Volviendo a la ecuación inicial, se verifica que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes:

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-15T11:04:08Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nicolás Martín de Andrade Jorge Mancheño Estévez Andrea Amo AllasㅤㅤㅤPedro Pérez Hernanz ㅤㅤㅤ Álvaro Román Aguilera }}

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:pedro2bien.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es menor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T17:14:24Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

<center><math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla \| \vec u \|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T16:57:05Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<center><math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math></center>

<center><math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math></center>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T16:56:40Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<center><math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math></center>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<center><math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math></center>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T16:25:00Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T16:24:44Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:46:21Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

Se puede observar también, que la presión es mayor en la zona inferior que la que se da en la zona superior de la gráfica.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:43:17Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que la zona donde la presión es mínima es cuando <math> \theta = 3π/2 </math>, mientras que las zonas de presión máxima ocurren en <math> \theta = 7π/6 </math> y <math> \theta = 11π/6 </math>.

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:40:40Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que las zonas donde la presión es mínima ocurre en <math> /theta = </math>

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:36:27Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Curvas de nivel de la presión */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==
Analizando las curvas de nivel de la presión, se puede deducir que las zonas de máxima presión

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:28:15Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:27:59Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula, el gradiente de la función potencial determinada es:

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math></center>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:27:29Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:26:23Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de velocidades lejos del obstáculo */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> se obtiene:

<center><math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math></center>

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:25:35Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de velocidades lejos del obstáculo */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:25:19Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de velocidades lejos del obstáculo */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math></center>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:24:43Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:24:02Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T11:23:50Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Campo de Velocidades del Fluido */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math></center>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-14T06:50:04Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Líneas de Corriente */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:partepedro.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((cos(V).^2).*(1-(1./U.^2)))+(sin(V).^2).*(1+(1./U.^2)+(sin(V)./U));
Cy=sin(V).*cos(V).*(1-(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(1+(1./U.^2))-(cos(V)./U);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

Posteriormente comprobaremos que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:partepedro1.jpg|Líneas de corriente]]

Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente <math>\psi</math> son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:partepedrov.jpg]]

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

[[Archivo:ultimo1.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]
{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi;
rho=1:0.1:2;
[R,T]=meshgrid(rho,tt);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=((1-(1./R.^2)).*(cos(T).^2)+(1+(1./R.^2)).*(sin(T).^2)+(sin(T)./R)).^2+((1-(1./R.^2)).*(cos(T).*sin(T))-(1+(1./R.^2)).*(sin(T).*cos(T))-(cos(T)./R)).^2;
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-13T16:40:11Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades y presiones */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente 2]]
{{matlab|codigo= rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=cos(V).*((1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(U-(1./U)));
Cy=sin(V).*(1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2)+(cos(V).^2).*(U-(1./U)));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> B=z+ \frac{p}{γ} + \frac{v{^2}}{2g} </math></center>

B = valor del trinomio de Bernoulli

p = presión

z = altura

v = velocidad que lleva el fluido en un determinado punto

g = valor de la gravedad

γ = valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-12T07:18:44Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades y presiones */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente 2]]
{{matlab|codigo= rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=cos(V).*((1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(U-(1./U)));
Cy=sin(V).*(1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2)+(cos(V).^2).*(U-(1./U)));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math> \frac{B=z+ p/γ +v{^2}}{2g} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-12T07:12:05Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Líneas de Corriente */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente 2]]
{{matlab|codigo= rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=cos(V).*((1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2))-sin(V).*cos(V).*(U-(1./U)));
Cy=sin(V).*(1./U)+sin(V).*(1+(1./U.^2)+(cos(V).^2).*(U-(1./U)));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T14:42:02Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, <math> p · \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T14:12:55Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ= \ [-9sen\theta]_{0}^{2\pi} + [\frac{4sen^3\theta}{3}]_{0}^{2\pi} + [2sen^2\theta]_{0}^{2\pi} = 0 </math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T12:25:05Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\theta cos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ=0</math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T12:24:44Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{1}{\rho}(-8sin\thetacos\theta -4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ=0</math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T12:22:13Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = \frac{\partial p}{\partial \rho} </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ=0</math>

Con ello sabemos que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T12:10:06Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades y presiones */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad.

Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible), en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, debido a que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

Los límites de integración serán: <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) </math>

<math> \int_{0}^{2\pi} p·\vec {n}·\vec {i} = \int_{0}^{2\pi} p (-cosθ dθ) =\int_{0}^{2\pi} {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T12:05:35Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible) en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, ya que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:59:31Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades y presiones */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible) en el que vemos que cuanto menor es su presión, mayor es el módulo de la velocidad, ya que el Trinomio ha de ser constante.

A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:47:01Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible) en el que vemos que cuanto menor es su presión mayor es el módulo de la velocidad ya que el Trinomio ha de ser constante. A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal, <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math>, se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:44:05Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible) en el que vemos que cuanto menor es su presión mayor es el módulo de la velocidad ya que el Trinomio ha de ser constante. A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\theta </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:43:15Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Tras hallar gráficamente el campo de velocidades y el campo de presiones, se puede observar que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se puede deducir a partir del Trinomio de Bernoulli (que se cumple ya que es un fluido incompresible) en el que vemos que cuanto menor es su presión mayor es el módulo de la velocidad ya que el Trinomio ha de ser constante. A continuación se expone el Trinomio de Bernoulli y se explican sus componentes;

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto, se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}
<math> = cos\theta \vec e_\rho - sin\theta \vec e_\rho </math>

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:36:14Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} = -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:35:25Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}

Tenemos; <math> \vec {n} = -\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} </math> = <math> -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T11:34:58Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<center><math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math></center>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<center><math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math></center>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<center><math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math></center>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<center><math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math></center>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<center><math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math></center>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<center><math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math></center>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para calcular el vector normal se utilizará la siguiente matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y en este caso será la matriz traspuesta: \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} y con esto se calculará las coordenadas del vector normal:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) \\
-\sin(\theta)\\
0
\end{bmatrix}

Tenemos; <math> \vec {n} </math> = -<math>\vec e_\rho </math> es decir, que el producto <math> \vec {n}·\vec {i} </math> = <math> -\cosθ </math>

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p (-cosθ dθ) =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(-cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-11T10:58:46Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Paradoja de D'Alembert */

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

[[Archivo:Lineas de nivel(5).jpg|miniaturadeimagen|derecha|Lineas de corriente]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(log(U))+(sin(V)).*(U-(1./U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=((1./U)+sin(V).*((1./U.^2)+1));
Cy=((U-(1./U)).*cos(V));

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off}}

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa.
[[Archivo:ecuacionbernuilli2.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) - 1;
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)-1).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

==Velocidades y presiones==
Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math>\boxed { B=z+p/γ+v{^2}/(2g)} </math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Entonces:

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ dθ =\int {(9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta)(cosθ)} dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2023-12-09T13:11:04Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades máxima y mínimas en un fluido */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, el rotacional al ser nulo implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

Zoom de la gráfica superior

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad en S.jpg|thumb|right|Representación de como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

[[Archivo:PresionBorde.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(2.*sin(tt)+sqrt(2)).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa. En el gráfico se ha rotado media vuelta los valores de la presión para mejor visualización.

[[Archivo:Presionyvelocidad.jpg|thumb|right|Módulo de la velocidad (azul) y presión desplazada media vuelta (naranja) en la frontera del obstáculo]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) + sqrt(2);
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)+sqrt(2)).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

<math> B=z+p/γ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ </math>

Al ser una integral, es lineal por lo que se puede descomponer en suma de varias integrales.

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ </math>

Todas provienen de primitivas del seno y al estar acotadas de 0 a 2π,

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ = 0 </math>

Esto es lo que se conoce como la paradoja de D’Alembert.

=Curvas de nivel=

Las curvas de nivel muestran un mínimo absoluto en el punto en coordenadas cilindricas (1, 3π/2, 0), y tres máximos en los puntos (1, π/4, 0), (1, 3π/4, 0) y en un punto por encima del obstáculo. Basándonos únicamente en las lineas de nivel resulta muy difícil hallar cuales de ellos son máximos absolutos y cuales máximos locales. Con un análisis más general, vemos que las presiones en la zona superior son mayores a las que se dan en la parte inferior.

[[Archivo:Curvaspresion.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]

{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi
rho=1:0.1:2
[R,T]=meshgrid(rho,tt)
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=10-((R.^2-1).^2./R.^4.*(cos(T)).^2+1./R.^2.*(sqrt(2)-sin(T).*((R.^2+1)./R.^2)).^2);
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2023-12-09T13:10:10Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Velocidades máxima y mínimas en un fluido */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, el rotacional al ser nulo implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

Zoom de la gráfica superior

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad en S.jpg|thumb|right|Representación de como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

[[Archivo:PresionBorde.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(2.*sin(tt)+sqrt(2)).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa. En el gráfico se ha rotado media vuelta los valores de la presión para mejor visualización.

[[Archivo:Presionyvelocidad.jpg|thumb|right|Módulo de la velocidad (azul) y presión desplazada media vuelta (naranja) en la frontera del obstáculo]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) + sqrt(2);
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)+sqrt(2)).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

<math> B=z+p/γ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ </math>

Al ser una integral, es lineal por lo que se puede descomponer en suma de varias integrales.

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ </math>

Todas provienen de primitivas del seno y al estar acotadas de 0 a 2π,

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ = 0 </math>

Esto es lo que se conoce como la paradoja de D’Alembert.

=Curvas de nivel=

Las curvas de nivel muestran un mínimo absoluto en el punto en coordenadas cilindricas (1, 3π/2, 0), y tres máximos en los puntos (1, π/4, 0), (1, 3π/4, 0) y en un punto por encima del obstáculo. Basándonos únicamente en las lineas de nivel resulta muy difícil hallar cuales de ellos son máximos absolutos y cuales máximos locales. Con un análisis más general, vemos que las presiones en la zona superior son mayores a las que se dan en la parte inferior.

[[Archivo:Curvaspresion.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]

{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi
rho=1:0.1:2
[R,T]=meshgrid(rho,tt)
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=10-((R.^2-1).^2./R.^4.*(cos(T)).^2+1./R.^2.*(sqrt(2)-sin(T).*((R.^2+1)./R.^2)).^2);
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-08T21:02:47Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

==Introducción==
Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.

<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Velocidades y presiones==
==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 </math>

Entonces:

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-08T20:58:16Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

==Introducción==
Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Velocidades y presiones==
==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 </math>

Entonces:

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==

Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

2023-12-08T19:53:06Z

Nicolas Martin de Andrade: /* Ecuación de Navier-Stokes */

==Introducción==
Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular.
Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

==Mallado==
Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen.

La finalidad de realizar un mallado es dividir el dominio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños llamados elementos finitos o celdas. Estos elementos forman una malla que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-5,5]×[-5,5]</math>.

[[Archivo:mallado56.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Se definen rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujo de la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Se fijan los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

==Función Potencial del Fluido==
Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )- \theta </math>. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.
[[Archivo:funcionpotencial2.jpg|thumb|right|Mallado del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V); %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Se define la función potencial
Z=f(U,V); %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z); %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Se representa el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==Campo de Velocidades del Fluido==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de una función en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente fórmula: \(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)

Siguiendo esta fórmula el gradiente de la función potencial determinada es <math> \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]\vec e_\theta </math>

Como la representación se realiza en coordenadas cartesianas, se debe pasar el gradiente de la función potencial a estas. Para ello usamos la matriz de cambio de base de cilíndricas a cartesianas y la multiplicamos por el vector dado en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base:

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Tras el cambio obtenemos;

<math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) + \frac{sin(\theta)}{\rho}\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - \frac{cos(\theta)}{\rho} \right) \vec j </math>

A continuación, se representa el campo de velocidades.
[[Archivo:campodevelocidades2.jpg|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th)-th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2+(1+(1./U.^2)).*sin(V).^2+(sin(V)./rho);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V)-(cos(V)./rho);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
Ahora más de cerca comprobamos que \( u = \nabla\varphi \) es ortogonal a las curvas de nivel de \( \varphi \).
[[Archivo:campodevelocidades2cerca.jpg|Zoom Campo de Velocidades]]

===Interpretación y Valor de <math>\vec u </math>===
Utilizando la gráfica anterior, se puede visualizar como el campo de velocidades <math> \vec u=\nabla \varphi </math>, representado por las flechas, es ortogonal en todo punto a las curvas de nivel de <math> \varphi </math>.

Para comprobar matemáticamente esta observación, se elige el vector <math> \vec n </math> normal a los puntos del obstáculo, y se verifica que cumple la fórmula <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto demuestra que, efectivamente los vectores son ortogonales entre sí.

Se evalúa el gradiente <math> \vec u </math> en el punto <math>\rho = 1</math>, y por ello se elimina la componente <math>\vec e_\rho </math> del gradiente. De esta forma, si multiplicamos el gradiente por <math> \vec n </math>, el vector normal, que en este caso es <math>-\vec e_\rho </math> se tiene que:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) -1 \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Se evalúa <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= \left (-2\sin(\theta)-1 \right)\vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Para poder estudiar la función estando lejos del obstáculo, se hará la siguiente suposición: al estar lejos del obstáculo circular, <math>\rho </math> es muy grande, y se puede suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable.

Trabajamos sobre la función potencial establecida: <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) - \theta </math>.

Al despreciar <math> \frac{1}{\rho } </math> obtenemos lo siguiete;
<math> \varphi* = \rho \cos (\theta) - \theta </math>.

Seguidamente calculamos el gradiente de la función potencial hallada:

<math>\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z= \nabla \varphi*=
</math>
<math>\cos(\theta) \vec{e}_{\rho} - (\sin(\theta) + \frac{1}{\rho}) \vec{e}_{\theta}</math>

===Rotacional Nulo y Divergencia Nula===
El rotacional y la divergencia del campo vectorial proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) + 1 \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math>

Obtenemos que el rotacional es 0, por lo que las partículas del fluido no están girando.

La divergencia en cambio, mide la tasa de expansión y contracción de un fluido en cada punto, calculando la diferencia entre el flujo entrante y saliente de la superficie.

A continuación se demuestra que la divergencia es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{\rho} \right) + 0 \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math>

Obtenemos que al igual que el rotacional, la divergencia es también 0, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, es un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
En primer lugar, se calcularán las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, donde las líneas de corriente son aquellas que son tangentes al campo <math>\vec{u}</math> en cada punto. Dichas líneas son las cuales establecen la trayectoria que sigue las partículas del fluido.

Para su realización, se calculará el campo que es ortogonal en cada punto a <math>\vec{u}</math>. Este vector se asignará como <math>\vec{v}</math> y se calculará con la siguiente fórmula: <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

En el apartado 4.3, se puede apreciar que el rotacional es nulo y esto implica <math>\vec{v}</math> sea irrotacional. A su vez, tiene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente. Este potencial es conocido como la función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular dicho potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) - \frac{1}{\rho}) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

Resolvemos el sistema del potencial sabiendo que:

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = \vec{v}_\rho = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta}+\frac{1}{\rho}\vec{e}_\rho</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \vec{v}_\theta = (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial Z} = \vec{v}_Z = 0</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta} + \frac{1}{\rho})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho + \int\frac{1}{\rho}\partial\rho= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ log({\rho}) + \delta(\theta,Z)</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})+\frac{\partial\delta}{\partial\theta}=\rho\cos{\theta}(1-\frac{1}{\rho^2})</math>

<math>\frac{\partial \delta(\theta,Z)}{\partial \theta} = 0</math>

<math>\delta(\theta,Z) = cte</math>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) = \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})-cte</math>

Finalmente, obtenemos la ecuación <math>\psi: \log(\rho)+\sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

==Puntos de la Frontera con Velocidades Máximas y Mínimas==
Seguidamente, donde el módulo de la velocidad es mayor y menor, se calcularán los puntos de la frontera del obstáculo S. Los puntos de remanso, serán en los que la velocidad es nula. En el borde del obstáculo de la gráfica se señalarán los puntos de remanso.

Debido a que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> , se tiene que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math>. Este módulo es un escalar, y se analiza en la región S= <math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math>. Al calcular el módulo en dicha región, se obtiene que: <math> \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1 </math>

Para encontrar los puntos de inflexión, es decir, los máximos y mínimos, se deriva la ecuación:
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta - 1 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por tanto, obtenemos los siguientes puntos de inflexión; <math> \theta=3π/2 \text{ y } \theta=π/2</math>.

Ya que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 \Rightarrow \left \| \vec u \right \|= -2\sin(\theta)-1=0 </math>.

Con estos sacamos los mínimos: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

En conclusión, con ayuda del grafico:
el máximo absoluto se da en: <math> \theta=π/2 </math> y los mínimos, es decir los punto de remanso se dan en: <math> \theta=7π/6 \text{ y } \theta=11π/6</math>

[[Archivo:punto66.jpg|thumb|right|Como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=-2.*sin(x)-1;
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

==Ecuación de Bernoulli==
Para poder calcular los puntos de mayor y menor presión del fluido, se supondrá que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, tal que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>

Se le asignará el valor de 10 a la constante anterior, para calcular la presión del fluido.

Aplicando los valores anteriores, la ecuación quedará de la forma: <math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Debido a que se está observando la región del obstáculo S, se tiene que <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> queda en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10- ( -2sinθ - 1 ){^2} = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta</math>

Para hallar los máximos y mínimos, se deriva la función anterior, y se iguala a 0.

<math>\frac {\partial}{\partial\theta}\left ( 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta\right )= -8sin\theta cos\theta - 4cos\theta = 0 \Rightarrow 2sin\theta cos\theta = -cos\theta \Rightarrow sin\theta = -1/2</math>

De esta forma, se tienen los puntos de inflexión: <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>.
Puesto que <math> cos\theta = 0 </math>, puede haber un máximo o mínimo tanto en <math> 3π/2 </math> como en <math> π/2 </math>.

Los máximos se encuentran en <math> 7π/6 </math> y <math> 11π/6 </math>, mientras que el mínimo se da en <math> 3π/2 </math>.

A continuación, se proporciona una gráfica que demuestra la presión en el obstáculo circular.

[[Archivo:ecuacionbernuilli1.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(-2.*sin(tt)-1).^2
plot(tt,p)
}}

==Ecuación de Navier-Stokes==
La ecuación de Navier-Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que describen el movimiento de un fluido en función de su campo de velocidades y presiones.

Partiendo de la ecuación de Bernoulli, se busca comprobar que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, dada por la fórmula:

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math>

Debido a que los fluidos incompresibles ocupan siempre el mismo volumen, la viscosidad será nula, por lo que <math> \mu =0 </math>. Al igual que anteriormente, se considera que la densidad <math> d = 2 </math>.
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math>

Dados los campos <math> (\vec{u},p) </math>:

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial j} \vec{e}_{i} \Rightarrow (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}</math>

donde el vector <math> \vec{u} = u_{i}\vec{e}_{i} </math>

De la misma forma, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli establecida en el apartado anterior: <math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math>

<math> \nabla p= \frac{\partial p}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + \frac{\partial p}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

<math> \nabla p = </math>

==Velocidades y presiones==
==Paradoja de D'Alembert==

En primer lugar, p <math> \vec {n} </math> es lo que se consideraría como la fuerza ejercida por el fluido en los diferentes puntos de la frontera, al ver esto, resulta que el sumatorio de todas las proyecciones de las fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> da como respuesta que la resultante es nula. En particular, sobre la dirección horizontal del obstáculo el fluido no realiza ningún empuje.

Como ya se ha calculado en el apartado 7, el valor de <math> \ p = 10 - \left\|u\right \|^2 </math>

Entonces:

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

==Curvas de nivel de la presión==