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El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:10:47Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:08:38Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:07:45Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:07:23Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

\qquad\qquad\qquad <math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:06:29Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:05:08Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> 

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:04:21Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal 
(<math>z = 0</math>):<math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> 

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:03:46Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:'''
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>):<math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> 

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:02:50Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
## Simplificaciones:
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>):
<math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> 

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:02:10Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
## Simplificaciones:
1. **El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>):**

<math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> 

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:**

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-05T10:00:56Z

Natasha Vidal: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion11.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]] [[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]] [[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
## Simplificaciones:
1. **El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>):**

<math> \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta }</math>

Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. **Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>:**

<math>
\dot{m} = \rho \int_0^{2\pi} \int_0^{2R} v_z(r) \, r \, dr \, d\theta
</math>

donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:56:48Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion1.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]]<math>\qquad</math>[[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]] 

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]]

[[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:53:55Z

Natasha Vidal: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion1.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]]

[[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]]

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]]

[[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:49:30Z

Natasha Vidal: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion1.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]]

[[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]]

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]]

[[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:48:42Z

Natasha Vidal: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion1.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]]

[[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]]

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]]

[[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math>

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:43:36Z

Natasha Vidal: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

[[Archivo:campodepresion1.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=0)]]

[[Archivo:campodepresion2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=5)]]

[[Archivo:campodepresion3.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=10)]]

[[Archivo:campodepresion4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Presión del Huracán Camille (z=15)]]

[[Archivo:mapacolores.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mapa de colores campo de presión]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:42:39Z

Natasha Vidal: /* Campo del gradiente de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:42:23Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:40:19Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:37:36Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

==Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine==

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos: 
'''1.En el ojo del vértice''' 
'''2.En la región exterior del vórtice''' 
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija? 
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre).
Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentara en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire, que apunta al ojo del huracán 
Se define la velocidad tangencial del vórtice como: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
Donde la velocidad tangencial disminuirá a medida que r sea mayor o este más alejado del centro y r varía entre r=0 y r=R

{{matlab|codigo=R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)
% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;
% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla
% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));
% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
for j = 1:size(R_mesh, 2)
r_val = R_mesh(i, j);
z_val = Z_mesh(i, j);
if r_val <= R
% Región interior (r <= R)
v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
else
% Región exterior (r > R)
P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
end
end
end
% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);
% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
figure;
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
end
% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
z_slice = z_levels(k);
[~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
plot_P = P(z_idx, :) / 100;
plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Presión (mbar)');
grid on;
pause(0.5);
end}}

==Campo del gradiente de presión==

==Flujo de masa==

==Aplicaciones en huracanes==

==Vórtices==
Tipo de Vórtice
Descripción
Ejemplo
Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión.
El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.
Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río.
Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.
Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
Vórtice en un fluido ideal.
Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
Flujo de vórtice idealizado.
Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
Tornados, ciclones.
Vórtice de Rankine
Vórtice con una zona central de rotación constante.
Vórtices en canales.
Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
Flujo de aire alrededor de un cilindro.
Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
Helio superfluido.
Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
Gases ultrafríos.

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:29:04Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:27:38Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:21:54Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T10:12:11Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:56:51Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:56:24Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:54:24Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:28:27Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:27:11Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:26:26Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:24:11Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:21:29Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:20:03Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:17:11Z

Natasha Vidal: /* Rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:06:41Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:05:56Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:04:50Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:04:17Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:03:42Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:02:49Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:02:23Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:01:42Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:00:24Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T09:00:03Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-29T08:59:17Z

Natasha Vidal: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-27T12:59:54Z

Natasha Vidal: /* Divergencia del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-27T12:59:21Z

Natasha Vidal: /* Divergencia del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-27T12:56:10Z

Natasha Vidal: /* Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-27T12:46:17Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-11-27T12:45:31Z

Natasha Vidal: /* Campo de presión */