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Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-13T08:58:58Z

Nat.odv: /* Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
Ahora vamos a realizar el mismo problema anterior, utilizando el método de Euler explícito. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Euler utilizado, a diferencia del método del Trapecio, es un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math> 10^{136} </math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que no podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Método de Heun ===
Realizamos el mismo problema, utilizando el método de Heun. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica y al igual que en el caso del método de Euler explícito, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Heun es también un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math>10^{306}</math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que tampoco podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
%Aproximamos las ux en los extremos de la cuerda
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
%Elegimos el intervalo de los ejes
axis([0,40,0,0.5])
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

El resultado de esto es la siguiente gráfica:
[[Archivo:Apartado4final.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
De la gráfica resultante vemos que la energía es constante, está energía es la mecánica. Al principio como la única fuerza que hay es la tensión, así que la energía quue hay es la potencial. A medida que pasa el tiempo aumenta la energía cinética, y se complementa manteniéndose constante en todo tiempo.

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

El código MatLab para resolver dicho problema es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto de la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==
El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u_{x}(0,t)=b*u(0,t), \; u(10,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(1:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx));%Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),-1)-diag(ones(1,N-1),1));
K(1,1)=2*h+2;
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos la condición Dirichlet en nuestra solución.
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
V=[V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedemos ahora a resolver el problema del cable vibrante del apartado 2, cuya interpretación podemos encontrar en el propio apartado, mediante el método de Fourier. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método de Fourier.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar en las diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución aproximada utilizando el método de líneas del ejercicio dos, confirmándonos que ambas aproximaciones son correctas.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-13T08:51:57Z

Nat.odv: /* Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
Ahora vamos a realizar el mismo problema anterior, utilizando el método de Euler explícito. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Euler utilizado, a diferencia del método del Trapecio, es un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math> 10^{136} </math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que no podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Método de Heun ===
Realizamos el mismo problema, utilizando el método de Heun. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica y al igual que en el caso del método de Euler explícito, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Heun es también un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math>10^{306}</math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que tampoco podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
%Aproximamos las ux en los extremos de la cuerda
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
%Elegimos el intervalo de los ejes
axis([0,40,0,0.5])
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

El resultado de esto es la siguiente gráfica:
[[Archivo:Apartado4final.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
De la gráfica resultante vemos que la energía es constante, está energía es la mecánica. Al principio como la única fuerza que hay es la tensión, así que la energía quue hay es la potencial. A medida que pasa el tiempo aumenta la energía cinética, y se complementa manteniéndose constante en todo tiempo.

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

El código MatLab para resolver dicho problema es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto de la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedemos ahora a resolver el problema del cable vibrante del apartado 2, cuya interpretación podemos encontrar en el propio apartado, mediante el método de Fourier. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método de Fourier.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar en las diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución aproximada utilizando el método de líneas del ejercicio dos, confirmándonos que ambas aproximaciones son correctas.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-11T21:05:18Z

Nat.odv: /* Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
Ahora vamos a realizar el mismo problema anterior, utilizando el método de Euler explícito. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Euler utilizado, a diferencia del método del Trapecio, es un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math> 10^136 </math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que no podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Método de Heun ===
Realizamos el mismo problema, utilizando el método de Heun. El código MatLab es el siguiente:

[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

Como podemos observar en la gráfica y al igual que en el caso del método de Euler explícito, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Heun es también un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math>10^306</math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que tampoco podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
%Aproximamos las ux en los extremos de la cuerda
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
%Elegimos el intervalo de los ejes
axis([0,40,0,0.5])
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

El resultado de esto es la siguiente gráfica:
[[Archivo:Apartado4final.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
De la que podemos decir

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución real del ejercicio dos, confirmándonos que es la correcta.

Archivo:Apartado4final.jpg

2015-05-11T21:04:45Z

Nat.odv:

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-11T11:30:36Z

Nat.odv: /* Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for i=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,i)-U(m-1,i))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
E(i)=trapz(x,V(:,i).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

El resultado de esto es la siguiente gráfica:
[[Archivo:Apartado4C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
De la que podemos decir

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución real del ejercicio dos, confirmándonos que es la correcta.

Archivo:Apartado4C2.jpg

2015-05-11T11:28:38Z

Nat.odv:

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2015-05-11T11:27:49Z

Nat.odv: /* Energía del Cable. */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Modelización de los desplazamientos del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''', desplazamientos transversales, a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo, con una velocidad inicial nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que el '''módulo de la elasticidad''' es constante, <math>c^2=1</math> . Al ser ésta primera ecuación homogénea deducimos que transversalmente no actúa ninguna fuerza densidad espacial y temporal. Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t al no estar sometidos a ningun tipo de fuerza. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El método de las diferencias finitas parte de dos discretizaciones, una espacial y una temporal.
En la primera de éstas se realiza una partición de longitud del cable con la longitud de paso h, se expresa la segunda derivada en función del espacio como <math> [-U_(n-1)(t)+2U_n(t)-U_(n+1)(t)]/h^2</math> y se eliminan las condiciones de frontera dando lugar a la ecuación <math>U''(t)+KU(t)=F(t)</math>, <math>U(0)=U^0 U'(0)=V^0 </math> que se resolverá con una matriz U y U' (en el programa se ha utilizado U' como V), donde K define la segunda derivada en función del espacio.
En la segunda se establece una malla de tiempo con Δt y se escoge un método (Euler o Trapecio) para el sistema inicial de autovalores.

 

El método del trapecio se basa en aproximar una función integrando. Para ello utilizamos un número N de trapecios (en la imagen inferior hemos aproximado mediante 4 trapecios). Las integrales a resolver para poder poder aproximar una función por este método tendrán la distancia de sus límites de integración constantes para todas las integrales, a esta distancia entre los límites de integración lo llamamos paso. En el desarrollo de este método se supone que la función es continua en el intervalo en que se quiere aproximar.
 

[[Image:Trapecio.png|300px|thumb|center|Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios]]

 
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

Como el método del trapecio tiene '''orden de precisión 2''' sabemos que se trata de una buena aproximación, pero gráficamente también podemos observar que éste es bastante preciso.

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartado dos tipos de aproximaciones de Euler.

Este método se basa en la posibilidad de aproximar una función original mediante rectas tangentes partiendo de un punto dado. Sabiendo que la recta tangente de una función en un punto es la derivada en dicho punto, este método consiste en calcular derivadas de la función en diferentes puntos pertenecientes a ella. Estos puntos serán tomados con la misma distancia a lo largo de la recta, a esta distancia la denominamos paso de discretización.
 

[[Image:Euler.png|300px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler]]

 

===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:3a3a.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Explícito]]
Antes de comentar las dos gráficas anteriores, se debe insistir en que el '''orden de precisión''' del método de Euler es '''1''', por tanto, será menos preciso que el primero.

===== Euler Modificado. =====

Este método se basa en la misma idea que el anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre las pendientes, esto parece más razonable para la obtención de un valor más preciso.

{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
U=(2-abs(xint*2/5-2))';
V=zeros(N-1,1);
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}
[[Image:3b3b.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Modificado]]

Fijándonos en las gráficas, observamos que la obtenida mediante Euler modificado realiza una mejor aproximación, como ya habíamos anticipado al comentar que éste método se basa en mejorar la aproximación del método de Euler sencillo. Es decir, en precisión '''Euler Modificado > Trapecio > Euler Explícito''', por ello concluimos que se asemeja mejor que la obtenida mediante el método del Trapecio y que la primera aproximación de Euler.

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====

El método de Fourier se basa en obtener una única solución a partir del sistema obtenido del enunciado. Para ello, buscamos una solución del tipo u(x,t)=φ(t)T(t) que satisfaga las condiciones de contorno, resolviendo un problema de autovalores λ, donde T(t) será una función seno o coseno y φ(t) es autofunción del problema de autovalores. Por último con una serie de Fourier (en la cual se elige hasta que el número de serie se realiza la suma,) imponemos las condiciones iniciales para conseguir una solución del sistema completo.

En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler. Este método de aproximación depende del número de términos de serie que elijamos que se sumen (lo denominamos con la letra Q) con los que se realice el programa de Fourier.

 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.

{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|500px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|500px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|500px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|500px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|500px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

En este método podemos observar fijándonos en las gráficas que a mayor número de términos (mayor Q), mayor es la aproximación obtenida y más estable.

Realizando una comparación con los otros métodos, se puede observar, fijándonos en las gráficas y en los órdenes de precisión, que el método que mejor aproxima la ecuación del problema es el método del trapecio, seguido de Euler modificado y, por último, Euler, teniendo mayor orden el que mejor aproxima la función.

Gráficamente podemos confirmar este hecho, dándonos cuenta que '''las gráficas más similares''' son '''Fourier con Q=20''' y el método del '''Euler Modificado'''.

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

'''CÓDIGO PARA ENERGÍA CON TRAPECIO'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
u0=(2-abs(x*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);zeros(N-1,1)];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

'''CÓDIGO PARA ENERGÍA CON EULER MODIFICADOO'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(x*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado es una gráfica en 3D en la cual se aprecia como la energía forma un "plano" o "malla" uniforma en la práctica totalidad de sus puntos indicando que la energía mecánica del sistema se conserva a lo largo del tiempo, demostrando así el principio de conservación de la energía.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=60;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''

function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )
{{matlab|codigo=

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica para F_0=1/L +0,1]]

En esta gráfica observamos las fluctuaciones de la energía al imponer la condición de contorno de carácter sinusoidal. Dichas fluctuaciones se diferencian ya que los tonos más cálidos corresponden a los máximos y los fríos a los mínimos.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En esta gráfica observamos un caso prácticamente similar al anterior y vemos que únicamente lo que varían son las posiciones de los máximos y mínimos de la energía en la cuerda.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:6.3.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En este último ensayo se puede apreciar como la energía no presenta grandes variaciones, manteniéndose dichas fluctuaciones en valores próximos entre sí, estando la energía estabilizada y manteniéndose prácticamente constante.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
'''function v = deriva(x,y,t)'''
{{matlab|codigo=
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:7.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=2. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta. En este caso la fuerza aplicada en el apoyo del extremo derecho de la cuerda es en un sentido ascendente.

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:7.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=-2. ]]

En esta última gráfica, se procede al estudio del caso anterior pero ésta vez la carga va aplicada en sentido descendente, como por ejemplo de si un peso se tratase. Apreciamos que la energía se comporta de forma análoga al caso anterior.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-11T11:27:41Z

Nat.odv: /* Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for i=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,i)-U(m-1,i))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
E(i)=trapz(x,V(:,i).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

El resultado de esto es la siguiente gráfica

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución real del ejercicio dos, confirmándonos que es la correcta.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-11T11:25:05Z

Nat.odv: /* Cálculo de la energía */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===
A continuación vamos a hallar la energía de nuestra ecuación de ondas, que viene definida según la ecuación:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
{{matlab|codigo=
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como el desplazamiento es nulo, sabemos que la velocidad en esos puntos
%también será nula
V=[UA;V;UB];
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for i=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,i)-U(m-1,i))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
E(i)=trapz(x,V(:,i).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
}}

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución real del ejercicio dos, confirmándonos que es la correcta.

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-06T13:59:52Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomamos x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y consideramos la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del la siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la ecuación de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===

''"Suponiendo que las concentraciones iniciales de A y B son 1'' <math>\frac{mol}{L}</math> ''y 0.01'' <math>\frac{mol}{L}</math> ''respectivamente, resolver el PVI elegiendo un paso de h=0.01 en los primeros 10 segundos."''

Como ya hemos visto anteriormente, el problema de valor inicial tiene solución única. Vamos a usar algunos de los métodos numéricos conocidos, y así encontrar la solución a nuestro problema. Estos métodos serán el de Euler, el del Trapecio y el de Runge Kutta de cuarto orden. Posteriormente daremos una interpretación a las gráficas obtenidas en el apartado 2.2.4 .

==== Método de Euler ====

El esquema numérico del método es:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{cases}</math>
|}
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{cases}</math>
|}
Y resolvemos
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa, como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

==== Método del Trapecio ====

El esquema numérico del método es:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{cases}</math>
|}
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que también. Para solucionarlo, despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función del resto de variables y después aplicaremos el método numérico:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

El código MatLab es el siguiente
[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa, como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

El esquema numérico del método de Runge-Kutta de orden 4 es:

{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y_0 \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 6}*(K1+2*K2+2*K3+K4) \\ K1=f(t_n,y_n) \\ K2=f(t_n+{1 \over 2}*h,y_n+{1 \over 2}*K1*h) \\ K3=f(t_n+{1 \over 2}*h,y_n+{1 \over 2}*K2*h) \\ K4=f(t_n+h,y_n+K3*h) \end{cases}</math>
|}
El código MatLab es el siguiente
[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa, como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, la solución coincide.

==== Interpretación de las gráficas obtenidas ====

En las gráficas se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Continuando con el programa del apartado 2.2.1 podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores iniciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B, en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas), y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida.

Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión, vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>
A continuación se muestra el código MatLab de la resolución numérica

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|220px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|220px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|220px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|220px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y además el error no aumenta a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

Sin embargo cuando tomamos un tamaño de paso grande (por ejemplo h=5) observamos una deformación significativa en la representación gráfico. Podemos decir por lo tanto que el método de Euler es estable siempre y cuando la h sea pequeña. Pero si coger un tamaño de paso pequeño en contraproducente, ya que para que sea realmente estable el tamaño de paso elegido dará lugar a un gran numero de iteraciones, para lo cual es necesario un ordenador con bastante memoria RAM para que pueda soportarlo, Son muchos contras para una operación que se podría realizar de un modo más rápido y efectivo utilizando simplemente otro método.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito. Para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y_{0},t_{0}\\
y_{n+1}=y_{n}+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_{n},y_{n})\\
K2=f(t_{n}+h,y_{n}+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Aplicamos el método
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un valor para el tamaño de paso.

Es importante definir las constantes del bucle en el orden que se expresó para el método de Runge-Kutta, ya que si no nos daría un error, por lo explicado también en ese subapartado. También es importante definir estas constantes antes de aplicar el método en sí.

=== Conclusión ===

Habiendo terminado el estudio de la reacción consecutiva propuesta por Lokta interpretamos las gráficas obtenidas.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

La reacción consecutiva comienza con una concentración de A de <math> 5 \frac{mol}{L} </math>, una concentración de X de <math> 5*10^{-4} \frac{mol}{L} </math> y una concentración de Y de <math> 10^{-5} \frac{mol}{L} </math>, siendo la concentración de B al final del proceso igual a la suma de las concentraciones iniciales de todas ellas, cumpliéndose de esta forma la ley de conservación de masas. Observamos que la reacción autocatalítica, a medida que transcurre el tiempo consume A para producir X a gran velocidad, que lo vemos en que la pendiente de la curva correspondiente a A es siempre negativa, por lo tanto está decreciendo.

Observamos, como era de esperar, que el compuesto Y aparece en cantidad apreciable cuando hemos conseguido la suficiente cantidad de X como para que comienza la siguiente reacción autocatalítica. Tanto en la gráfica de X como en la de Y presentan un cambio de pendiente marcado por un máximo, siendo a partir este punto mayor el consumo que la producción de ambas sustancias.

Finalmente, vemos la aparición de B en la gráfica, poco después de Y, ya que es necesario tener una cierta cantidad de Y para comenzar a producir B de manera apreciable. Podemos ver que la pendiente de la curva de B siempre es positiva, por lo tanto siempre crece.

Es importante darse cuenta de que la suma de las concentraciones de los compuestos para cualquier instante de tiempo es igual a <math> 5.00051 \frac{mol}{L} </math>, debido a la ley de conservación de masas.

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-05T14:44:20Z

Nat.odv: /* Conclusión */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un tamaño de paso.

Es importante definir las constantes en el bucle antes que las ecuaciones ya que si no nos daría un error, debido a que es un método que depende explícitamente de esas constantes.

=== Conclusión ===

Habiendo terminado el estudio de la reacción consecutiva propuesta por Lokta interpretamos las gráficas obtenidas.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

La reacción consecutiva comienza con una concentración de A de 5mol/L y una concentración de X de 5.10^(-4)mol/L, siendo la concentración de B al final del proceso igual a la suma de las concentraciones iniciales de X y A, cumpliéndose de esta forma la ley de conservación de masas. Observamos que la reacción autocatálica, a medida que transcurre el tiempo consume A para producir X a gran velocidad, que lo vemos en que la pendiente de la curva correspondiente a A es siempre negativa, por lo tanto está decreciendo.

Observamos, como era de esperar, que el compuesto Y aparece cuando hemos conseguido la suficiente cantidad de X como para que comienza la siguiente reacción autocatálica. Tanto en la gráfica de X como en la de Y presentan un cambio de pendiente marcado por un máximo, en este punto se dejan de producir estos compuestos y comienzan a ser consumidos.

Finalmente, vemos la aparición de B en la gráfica, poco después de Y, ya que es necesario tener una cierta cantidad de Y para comenzar a producir B. Podemos ver que la pendiente de ,a curva de B siempre es positiva, por lo tanto siempre crece.

Es importante darse cuenta de que la suma de las concentraciones de los compuestos para cualquier instante de tiempo es igual a 5+0.0004 lo que es 5.0005mol/L, debido a la ley de conservación de masas

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T17:56:26Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un tamaño de paso.

Es importante definir las constantes en el bucle antes que las ecuaciones ya que si no nos daría un error, debido a que es un método que depende explícitamente de esas constantes.

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T17:51:22Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T17:46:21Z

Nat.odv: /* Segunda reacción */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0\\

\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T17:44:28Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0\\

\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg

2015-03-04T17:41:43Z

Nat.odv:

Archivo:Estabilidadtotal2.jpg

2015-03-04T17:40:40Z

Nat.odv:

Archivo:Detalle estabilidad total.jpg

2015-03-04T17:37:53Z

Nat.odv:

Archivo:Estabilidadtotal.jpg

2015-03-04T17:36:28Z

Nat.odv:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T12:58:21Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. En nuestro caos lo que variamos es una de las condiciones iniciales, es decir hemos utilizado dos tamaño de paso, h=0.1 y h=0.01. Para ver la estabilidad hemos comparado de manera individual el error de cada una de las concentraciones de anera individual, que es lo que podemos en las siguiente gráficas.
[[Archivo:EstabilidadX.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadY.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadA.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadB.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]

Al hacer zoom en las gráficas vemos que para observar su error hay que aproximarse bastante, lo que nos asegura la estabilidad del método

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0\\

\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T12:56:48Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. En nuestro caos lo que variamos es una de las condiciones iniciales, es decir hemos utilizado dos tamaño de paso, h=0.1 y h=0.01. Para ver la estabilidad hemos comparado de manera individual el error de cada una de las concentraciones de anera individual, que es lo que podemos en las siguiente gráficas.
[[Archivo:EstabilidadX.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadY.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadA.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadB.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]

Al hacer zoom en las gráficas vemos que para observar su error hay que aproximarse bastante, lo que nos asegura la estabilidad del método

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0\\

\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T12:49:28Z

Nat.odv: /* Segunda reacción */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. En nuestro caos lo que variamos es una de las condiciones iniciales, es decir hemos utilizado dos tamaño de paso, h=0.1 y h=0.01. Para ver la estabilidad hemos comparado de manera individual el error de cada una de las concentraciones de anera individual, que es lo que podemos en las siguiente gráficas.
[[Archivo:EstabilidadX.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadY.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadA.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadB.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]

Al hacer zoom en las gráficas vemos que para observar su error hay que aproximarse bastante, lo que nos asegura la estabilidad del método

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T12:48:36Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. En nuestro caos lo que variamos es una de las condiciones iniciales, es decir hemos utilizado dos tamaño de paso, h=0.1 y h=0.01. Para ver la estabilidad hemos comparado de manera individual el error de cada una de las concentraciones de anera individual, que es lo que podemos en las siguiente gráficas.
[[Archivo:EstabilidadX.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadY.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadA.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Estabilidad del método de Euler]]
[[Archivo:EstabilidadB.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Estabilidad del método de Euler]]

Al hacer zoom en las gráficas vemos que para observar su error hay que aproximarse bastante, lo que nos asegura la estabilidad del método

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Archivo:EstabilidadB.jpg

2015-03-04T12:43:04Z

Nat.odv:

Archivo:EstabilidadA.jpg

2015-03-04T12:42:17Z

Nat.odv:

Archivo:EstabilidadY.jpg

2015-03-04T12:41:15Z

Nat.odv:

Archivo:EstabilidadX.jpg

2015-03-04T12:39:59Z

Nat.odv:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T12:24:58Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. En nuestro caos lo que variamos es una de las condiciones iniciales, es decir hemos utilizado dos tamaño de paso, h=0.1 y h=0.01. Para ver la estabilidad hemos comparado de manera individual el error de cada una de las concentraciones de anera individual, que es lo que podemos en las siguiente gráficas.

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T11:57:09Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T11:49:37Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \begin{array}{c} X_n\\ X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\end{array} </math>

<math> \begin{array}{c} Y_n\\ Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\end{array} </math>

<math> \begin{array}{c} B_n\\ B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\end{array} </math>

<math> \begin{array}{c} A_n\\ A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]\end{array} </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
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%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
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K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
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end

%Gráficas
hold on
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plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T19:31:35Z

Nat.odv: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:43:01Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular
<math> A + B \rightarrow _k1 2B </math>
== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====
==== Método del Trapecio ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Sistema de ecuaciones ===
==== Método de Euler ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Conclusión ===
== Segunda reacción ==
=== Interpretación ===
Vamos a resolver el problema de valor inicial \begin{array}{c} x' = 0.1Ax − 0.1xy\\ y' = 0.1xy − 0.05y\\B' = 0.05y \end{array}\

=== Método de Euler ===
[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
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h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
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B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
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%Resolvemos el sistema

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%Gráfica de resultados
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plot(t,B,'r')
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hold off
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}}

===Método de Heun===
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
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B0=0;
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k2=0.1;
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%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
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%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
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%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
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K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
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%Gráficas
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plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:42:43Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular
<math> A + B \rightarrow _k1 2B </math>
== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====
==== Método del Trapecio ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Sistema de ecuaciones ===
==== Método de Euler ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Conclusión ===
== Segunda reacción ==
=== Interpretación ===
Vamos a resolver el problema de valor inicial \begin{array}{c} x' = 0.1Ax − 0.1xy\\ y' = 0.1xy − 0.05y\\B' = 0.05y \end{array}\

=== Método de Euler ===
[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
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%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
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%Vector de tiempo
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%Definir el número de intervalos
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%Vectores vacíos para nuestra solución
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%Valores iniciales
A(1)=A0;
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B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
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%Gráfica de resultados
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}}

===Método de Heun===
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
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%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
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B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
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B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
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K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
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%Gráficas
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}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:41:28Z

Nat.odv: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular
<math> A + B \rightarrow _k1 2B </math>
== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====
==== Método del Trapecio ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Sistema de ecuaciones ===
==== Método de Euler ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Conclusión ===
== Segunda reacción ==
=== Interpretación ===
Vamos a resolver el problema de valor inicial \begin{array}{c} x' = 0.1Ax − 0.1xy\\ y' = 0.1xy − 0.05y\\B' = 0.05y \end{array}\

=== Método de Euler ===
[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
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%Datos del problema de valor inicial
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tN=200;
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k2=0.1;
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%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
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B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
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B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
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%Gráfica de resultados
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===Método de Heun===
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:41:20Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular
<math> A + B \rightarrow _k1 2B </math>
== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====
==== Método del Trapecio ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Sistema de ecuaciones ===
==== Método de Euler ====
==== Método de Runge-Kutta ====
=== Conclusión ===
== Segunda reacción ==
=== Interpretación ===
=== Método de Euler ===
[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
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%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:36:31Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:30:14Z

Nat.odv: /* Segunda reacción */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:27:19Z

Nat.odv: /* Segunda reacción */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2015-02-24T19:26:29Z

Nat.odv: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Javier Núñez Betancort, Antonio Pérez Mata, Enrique Pellico Martín, Javier Santander Gimeno, Javier Rodríguez Saiz, Javier Parras Martínez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. Se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C(1).jpg|500x220px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
% Aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
% Representamos la función
axis equal
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-0.5,0.5,0,4])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Calculamos su gradiente:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa gráficamente, mediante su representación en MatLab u OCTAVE UPM:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
% Definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
% Representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
% Unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
% Dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El código MatLab u OCTAVE UPM del campo de vectores y su representación se muestran a continuación:
[[Archivo:Apartado4.C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
% Representamos el campo
quiver(Mx,My,TT,TT*0)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento, mientras que en la segunda ya sí que se le aplica. En su representación claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5.C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
% Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
% Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
% Representación del sólido sin deformar
subplot(1,2,1)
mesh(Mx,My,z)
axis equal
view(2)
% Campo u
u=(My.^2)/20;
% Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
% Representación del sólido deformado
subplot(1,2,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
axis equal
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de área local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial <math> \vec u </math> en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de área), y si es negativa será un sumidero (disminución del área).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente <math> \vec i </math> y de la coordenada <math> y </math>, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de área del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de <math> \vec i </math>. Esto no provoca cambio de área, ya que los puntos con la misma coordenada <math> y </math> se encuentran siempre a la misma distancia unos de otros, por lo que el área de cada sección infinitesimal será <math> dA= xdy </math>, siendo la <math> x </math> una constante, y cuya integración da el mismo resultado tanto para el sólido sin deformar como para el sólido deformado, al ser los límites de integración los mismos.

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con MatLab o OCTAVE UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código MatLab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5.C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
% Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
% Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definición del rotacional
rot=My/10;
% Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que están relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\partial u_i}{\partial x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec j \otimes \vec i </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior con el vector <math> \vec i </math>, como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i| </math>. Como hemos comprobado, <math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math> es nulo y calculando obtenemos que <math> \sigma \cdot \vec i = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en MatLab u OCTAVE UPM para obtener su representación y dar posteriormente una interpretación.
{{matlab|codigo=
% Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
% Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definición del campo de tensiones
sigmai=My/10;
% Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
% Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec j - (\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| </math>. Como hemos comprobado, <math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math> es nulo y calculando obtenemos que <math> \sigma \cdot \vec j = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en MatLab u OCTAVE UPM para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
% Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
% Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definición del campo de tensiones
sigmaj=My/10;
% Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
% Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

=== Tensión de Von Mises ===

La tensión de Von Mises, magnitud escalar utilizada para indicar cuándo un material deja de comportarse como elástico puro y comienza su comportamiento plástico, viene dada por la fórmula:
<math>
\sigma_{VM} = \sqrt { \frac { \left( \displaystyle\ \sigma_1 - \sigma_2 \right)^2 + \left( \displaystyle\ \sigma_2 - \sigma_3 \right)^2 + \left( \displaystyle\ \sigma_3 - \sigma_1 \right)^2 } {2} }
</math>
donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Para calcularlos, lo hacemos desde la matriz del tensor de tensiones dado que es la siguiente:
<math>
\begin{pmatrix} 0 & \frac{y}{10} & 0 \\ \frac{y}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
</math>
A partir de ella operamos hasta obtener los autovalores de la siguiente forma:
<math>
\begin{vmatrix} -\lambda & \frac{y}{10} & 0 \\ \frac{y}{10} & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + \frac{\lambda y^2}{100} = 0
</math>
De donde obtenemos los autovalores <math> \lambda_1 = 0 </math>, <math> \lambda_2 = \frac{y}{10} </math> y <math> \lambda_3 = - \frac{y}{10} </math>. Estos autovalores, aparte de obtenerlos analíticamente como se muestra, los obtenemos también con la función eig.m de MatLab, tal y como aparece en el código posterior, y como se pide en el enunciado.
Una vez obtenidos los autovalores, la tensión de Von Mises sobre la placa queda representada así:
[[Archivo:Apartado11C1.jpg|350px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises sobre la placa, máxima en y=4]]
{{matlab|codigo=
% Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
% Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
% Definimos la matriz asociada al tensor de tensiones
sigma=[0,1/10,0;1/10,0,0;0,0,0];
% Cálculo de los autovalores mediante el uso de MatLab
autovalores=eig(sigma);
t1=My.*autovalores(1);
t2=My.*autovalores(2);
t3=My.*autovalores(3);
% Tensión de Von Mises
tension=sqrt(((t1-t2).^2+(t2-t3).^2+(t3-t1).^2)/2);
% Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,tension)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,tension)
}}
Como podemos observar en los gráficos, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en la placa en los puntos cuya componente en <math> y </math> es igual a 4.

== Masa ==

Dada la función de densidad siguiente:
<math>
d(x,y,z)=xye^{- \frac{1}{x^2}}
</math>
Para calcular la masa de la placa debemos integrar la función de densidad respecto a <math>dx</math> y <math>dy</math> en toda la superficie de la placa. Pero debido a que la primitiva de esta función de densidad no se puede calcular por los métodos convencionales de integración, utilizaremos métodos numéricos con ayuda de MatLab u OCTAVE UPM.

=== Método de Simpson ===
[[Archivo:Simpson.png|300px|thumb|right|Método de Simpson]]
El método de Simpson es un método numérico que se utiliza para el cálculo aproximado de integrales definidas simples. Se basa en la división del intervalo de integración en subintervalos, y aproximando el área debajo de la curva de cada dos subintervalos (siendo esta la definición de integral), por el área de una parábola que pasa por los extremos de la unión de esos dos subintervalos y por el centro del mismo. La fórmula siguiente es la expresión matemática de lo expuesto anteriormente:
<math> \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]</math>
En lo que refiere a su implementación en Matlab u Octave UPM, lo más comodo es crear una función que realice el método de Simpson. De este modo, cada vez que necesitemos calcular una integral definida no sea necesario escribir el código de la función de nuevo, sino que simplemente con hacer una llamada a la función obtendremos su valor. El código MatLab que define la regla de Simpson es el siguiente:
{{matlab|codigo=
% 'li' es el límite por la izquierda, 'ld' el límite por la derecha, y 'n' el númmero de
% intervalos
function r=simpson(f,li,ld,n)
% Definición de la constante que multiplica el polinomio y del vector de subintervalos
h=(ld-li)/(2*n);
v=linspace(li,ld,n+1);
% Bucle for para sumar todas las áreas que se van obteniendo de las aproximacionse de
% cada intervalo y fórmula de la regla de Simpson
r=0;
for i=1:n
r=r+(feval(f,v(i))+feval(f,v(i+1))+4*feval(f,(v(i)+h)))*h/3;
end
}}
Para poder usar esta función, habrá que definir otra función Matlab con la función matemática que deseamos integrar, en este caso la densidad definida anteriormente. El código MatLab u OCTAVE UPM es el siguiente:
{{matlab|codigo=
function d=f(x)
% Fórmula de la densidad proporcionada en el enunciado(después de haber integrado con respecto a x)
d=x*exp(-1/(x^2));
end
}}
Por último, escribimos un programa para el cálculo de la integral definida haciendo uso de las dos funciones. Como la regla de Simpson sirve para el cálculo de integrales simples y esta integral es doble, primero hacemos el cálculo de la integral inmediata con respecto a <math> y </math> (cuyo valor da 8) y luego usamos el método para la integral con respecto a <math> x </math>. Como esta última da 0, pero sin embargo la masa no puede tener ese valor, se observa que la función presenta una simetría axial, y que por lo tanto la masa será dos veces la integral desde 0 hasta 0,5. El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
% El 10000 es el número de intervalos elegidos
int=simpson('f',0,0.5,10000);
masa=8*2*int
}}
La masa del sólido tratado es por lo tanto:
<math> masa = 0.0063965 </math>

=== Otro método numérico ===

Este es otro método numérico para calcular la masa de la placa algo menos exacto que el de Simpson. Este método se basa en calcular la masa de un <math> dm </math> y sumar todos estos diferenciales hasta obtener la masa completa de la placa. El método es el siguiente:
{{matlab|codigo=
% Lado de los cuadrados en los que dividimos el sólido
h=1/1000;
% Creación del mallado del sólido
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Valor de la densidad para cada punto del mallado
d=Mx.*My.*exp(-1./(Mx.^2));
% Masa de cada cuadrado que conforma el mallado
dm=abs(d*h^2);
% Suma de las masas de todos los cuadrados
masa=sum(sum(dm))
}}
La masa del sólido es por lo tanto:
<math> masa = 0.0064716 </math>
En consecuencia, se comprueba que los valores obtenidos de la masa por ambos métodos son similares, con lo que ambas aproximaciones se pueden considerar aceptables.

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:25:24Z

Nat.odv: /* Segunda reacción */

Archivo:Apartado6.2.jpg

2015-02-24T19:23:10Z

Nat.odv:

Archivo:Apartado6.1.jpg

2015-02-24T19:21:07Z

Nat.odv:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:19:38Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

Archivo:Apartado7C2.jpg

2015-02-24T19:19:04Z

Nat.odv:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T19:17:18Z

Nat.odv: /* Método de Heun */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T11:33:33Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-24T11:30:40Z

Nat.odv: /* Método de Euler */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-23T12:33:24Z

Nat.odv:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-23T12:26:56Z

Nat.odv: