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Ecuación de Laplace y de Poisson (ILA)

2025-04-20T19:57:32Z

NachoCP: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson (Grupo ILA). | EDP|2024-25 | *mari, *cones, *todos.}} Categoría:EDP...»

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*mari,
*cones,
*todos.}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T21:18:55Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T21:12:43Z

NachoCP: Se ha deshecho la revisión 84649 de NachoCP (disc.)

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.

<center><math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math></center>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.

Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

<center><math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math></center>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2, resultando en:

<center><math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math></center>

Procedemos ahora a su representación en Python.

[[Archivo:solfe.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# sol general
def u_general(x, t):
"""Función que calcula u(x,t) según los intervalos dados"""
us = np.where(x <= 0.5, 2*x, 2*(1-x)) # Solución estacionaria
uh = np.exp(-4 * np.pi**2 * t) * np.sin(2 * np.pi * x) # Parte transitoria
return us + uh

# malla valores
x_vals = np.linspace(0, 1, 100)
t_vals = np.linspace(0, 0.2, 50)
X, T = np.meshgrid(x_vals, t_vals)

# valores sol
U = u_general(X, T)

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis', edgecolor='k', alpha=0.8)
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$t$')
ax.set_zlabel('$u(x,t)$')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()

</syntaxhighlight>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T21:08:55Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:50:43Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:49:58Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Archivo:Solfe.png

2025-03-16T20:49:16Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:46:27Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:46:03Z

NachoCP:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.

<center><math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math></center>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.

Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

<center><math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math></center>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

<center><math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math></center>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:45:20Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.

<math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.

Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

<math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

<math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:45:03Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

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=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.

<math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.
Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

<math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

<math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:44:38Z

NachoCP:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.
<math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.
Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

<math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

<math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:44:12Z

NachoCP:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.
</math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.
Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

</math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

</math>
\begin{cases}
2x + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x) + sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:43:37Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1</math>, <math>d_1</math> y <math>d_2</math>.
</math>
\begin{cases}
c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5 +d_2\\
d_1-c_1=-2\\
d_1+d_2=0
\end{cases}
</math>
Así que <math>c_1=1</math>, <math>d_1=-1</math> y <math>d_2=1</math>.
Sustituyendo estos valores tenemos que la solución estacionaria es:

</math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

y la solución general al problema, por superposición, es la suma de la solución estacionaria del problema y la solución general del problema homogéneo, calculado en la sección 2. Resultando en:

</math>
\begin{cases}
2x, 0\leq x\leq 0.5\\
2(1-x), 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}
</math>

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:38:08Z

NachoCP:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz }}

=Introducción=
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física.
Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

=Ecuación del calor=
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por:
<math>
u_t=u_{xx}
</math>
donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, <math>u_t</math> la derivada temporal y <math>u_{xx}</math> la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en <math>t=0</math> es <math>u(x,0)=sen(x)</math>, podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1]
\end{cases}
</math></center>
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
<center><math>u_s(x)=0</math></center>
y la solución general:

<center><math>u(x,t)=sen(2\pi x)e^{-4\pi^{2}t}</math></center>

Vamos a graficar la solución.

[[Archivo:soluil.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)

X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general

# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')

plt.show()
</syntaxhighlight>

Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.

=Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
Hemos visto uno de los casos más sencillos de la difusión de calor, pero ahora se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto <math>x_0</math> de la barra, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
<center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
Donde <math>f(x,t)</math> es de la forma <math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>, donde <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac hacer que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>.

Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:

<center><math>
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = f(x,t), & x \in [0,1], \quad t > 0 \\
u(0,t) = 0, & t > 0 \\
u(1,t) = 0, & t > 0 \\
u(x,0) = sen(2\pi x), & x \in [0,1] \\
f(x,t)=2\delta(x-0.5)
\end{cases}
</math></center>

Para resolver este problema tenemos que integrar a la izquierda y a la derecha de <math>x_0</math> para resolver la ecuación diferencial cuando <math>t</math> tiende a infinito <math>u_{xx}=-2\delta(x-0.5)</math>.

para <math>x\neq 0.5</math> la ecuación diferencial queda:
<center><math>u_{xx}=0</math></center>.
Integramos dos veces y tenemos:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>.
Esto se hace para la región <math>0\leq x< 0.5</math> y para <math>0.5\leq x< 0.5</math> y obtenemos las dos siguientes funciones:
<center><math>u(x)=c_1x + c_2</math></center>
<center><math>u(x)=d_1x + d_2</math></center>
Aplicando las condiciones frontera <math>u(0)=0</math> y <math>u(1)=1</math> llegamos a que:
<center><math>u(0)=c_2=0</math></center>
<center><math>u(1)=d_1 + d_2=0</math></center>.
Además, como la solución tiene que ser continua en 0.5:
<center><math>c_1\cdot 0.5=d_1\cdot 0.5+c_2</math></center>.
Pasamos ahora a integrar ambos lados de la igualdad de la ecuación diferencial en un entorno arbitrariamente pequeño del 0.5.
<center><math>\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}u_{xx}dx=\int_{0.5-\epsilon}^{0.5+\epsilon}-2\delta(x-0.5)dx</math></center>.
La integral del lado derecho es -2 y aplicamos el teorema fundamental del cálculo a la izquierda, resultando:
<center><math>u_x(0.5^+)-u_x(0.5^-)=-2</math></center>
y sabemos
<center><math>u_x(0.5^+)=d_1, u_x(0.5^-)=c_1</math></center>
por lo que
<center><math>d_1-c_1=-2</math></center>.
Con esta información calculamos los valores de <math>c_1, c_2 y d_1</math>

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[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:03:35Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T20:00:54Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:36:19Z

NachoCP:

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:33:03Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:25:23Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:17:47Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:16:56Z

NachoCP: /* Ecuación del calor con fuente térmica puntual */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

2025-03-16T19:16:22Z

NachoCP: /* Ecuación del calor */

Ecuación del calor (Grupo ILIA)

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Archivo:Soluil.png

2025-03-16T18:55:30Z

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2025-03-16T18:48:07Z

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Ecuación del calor (Grupo ILIA)

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NachoCP: /* Ecuación del calor */

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Ecuación del calor (Grupo ILIA)

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Ecuación del calor (Grupo ILIA)

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Ecuación del calor (Grupo ILIA)

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Ecuación del calor (grupo ILIA))

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Ecuación del calor (grupo ILIA))

2025-03-16T16:58:22Z

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Ecuación del calor (Grupo ILIA))

2025-03-16T16:55:35Z

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Series de Fourier (Grupo ILIA)

2025-02-13T19:12:47Z

NachoCP:

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ILIA) | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Luis Ramos Ortiz, Alicia Ruiz Dominguez }}

=Introducción=

En una amplia gama de problemas de ingeniería y matemáticas aparecen funciones periódicas que se necesitan aproximar mediante sumas de funciones trigonométricas, lo que conduce a las '''series de Fourier'''.

Estas series constituyen una herramienta fundamental en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales y otros muchos ámbitos de la ciencia. La idea principal es que una función <math>f(x)</math>, definida en un espacio de Hilbert <math>L^2(-\pi,\pi)</math>, puede expresarse como una combinación infinita de funciones trigonométricas de la forma:

<center><math>
f(x) \approx \frac{d_0}{2\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty}c_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx)
</math></center>

Los coeficientes <math>d_0</math>, <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los '''coeficientes de Fourier''' y se definen de la siguiente manera:

<math> \quad
d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}} dx
</math>

<math> \quad
d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx) dx
</math>

<math> \quad
c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) dx
</math>

Este método permite descomponer funciones periódicas en sus componentes fundamentales, lo que es de gran utilidad en física, ingeniería y matemáticas aplicadas. A continuación, se presentan las primeras funciones base utilizadas en la expansión en series de Fourier.

=Base trigonométrica=
Para comprender mejor la construcción de las series de Fourier y poder visualizar las funciones base mencionadas, representamos gráficamente los primeros términos de la base trigonométrica <math> \mathcal{B} := \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math> en el intervalo <math> [ -1, 1 ] </math> mediante un código en Python. Esto nos permitirá observar cómo estas funciones elementales forman una '''base ortonormal''' en el espacio <math> L^2( [-1,1]) </math> y cómo, mediante combinaciones lineales de estas, podemos aproximar funciones arbitrarias.

[[Archivo:fourier3ILIA.png|450px|thumb|right|Primeros términos de la Base Trigonométrica]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def base_fourier_cos(n: int) -> list[callable]:
"""Genera los n primeros términos de cosenos de la base trigonométrica de fourier

Args:
n (int): Número de términos

Returns:
list[callable]: lista con funciones lambda, ordenada según su posición en la base.
"""
basis_functions = []
for k in range(1, n + 1):
basis_functions.append(lambda x, k=k: np.cos(np.pi * k * x))
return basis_functions

def base_fourier_sen(n: int) -> list[callable]:
"""Genera los n primeros términos de senos de la base trigonométrica de fourier

Args:
n (int): Número de términos

Returns:
list[callable]: lista con funciones lambda, ordenada según su posición en la base.
"""
basis_functions = []
for k in range(1, n + 1):
basis_functions.append(lambda x, k=k: np.sin(np.pi * k * x))
return basis_functions

# Parámetros
X = np.linspace(-1, 1, 1000)
# número de elementos de la base (1, cos(n pi x), sen(n pi x))
n = 10

colors = [ "#0000FF", "#0033CC", "#0066CC", "#0099FF", "#33CCFF",
"#66CCCC", "#CC9966", "#FF6633", "#FF3300", "#FF0000",]

# Obtener funciones base
base = [lambda x: 1] + base_fourier_cos(n) + base_fourier_sen(n)

# Graficar
plt.subplots(3, 1, figsize=(15, 15), dpi=300)

# Término constante
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.grid()
plt.title("Término constante")
plt.plot([-1, 1], [1 / 2, 1 / 2], color=colors[-1], label="Término constante")

# Términos en coseno
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.grid()
plt.title("Términos en coseno")
for i in range(1, n + 1):
plt.plot(X, base[i](X), color=colors[i - 1], label=f"cos({str(i)*(i>1)}πx)")
plt.legend(loc="right")

# Términos en seno
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.grid()
plt.title("Términos en seno")
for i in range(n + 1, len(base)):
plt.plot(X, base[i](X), color=colors[i - n - 1], label=f"sen({str(i-n) * ((i-n) > 1)}πx)")
plt.legend()
</syntaxhighlight>

Al graficar estos términos, podemos apreciar cómo la combinación de estos elementos nos permite aproximar funciones periódicas arbitrarias, tal y como buscábamos.
La relevancia de esta base radica en su aplicación en la aproximación de funciones mediante series trigonométricas. En particular, la expansión de Fourier de una función $ f(x) $ en esta base se expresa como:

<center> <math>
f(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n e_n \quad \text{con} \quad c_n = \langle f, e_n \rangle
</math></center>

Donde $ e_n $ es cada uno de los términos de la base <math> \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>, y <math> c_n </math> son los coeficientes que se calculan mediante el producto interno de <math> f(x) </math> con los elementos de la base.

Como se puede observar, a medida que el parámetro <math> n </math> aumenta, los términos oscilan con un periodo cada vez menor, concretamente <math> T = \frac{2}{n} </math>, lo que refleja una mayor "frecuencia" en las oscilaciones. Esta característica es esencial en la aproximación de funciones suaves por medio de las series de Fourier, donde las funciones periódicas se aproximan cada vez con mayor precisión mediante una combinación lineal de estos términos básicos.

=Cambio de intervalo=
Una vez se ha trabajado en la base trigonométrica <math> [-1,1] </math>, es importante señalar que en la práctica es común encontrar funciones definidas en otros dominios. En este apartado, se construirá la base trigonométrica en un nuevo intervalo, <math> [-2,3] </math>, y se usará esta base para aproximar la función

<center><math>
f(x)=xe^{-x}
</math></center>

mediante series de Fourier, considerando los primeros <math> 5, 10 </math> y <math> 20 </math> términos.

===Construcción de la base trigonométrica en <math> [-2,3] </math>===

En un intervalo general <math> [a,b] </math>, la base trigonométrica asociada está dada por:

<center><math>
\left\{ \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \cos\left(\frac{n\pi (x-a)}{b-a} \right), \sin\left(\frac{n\pi (x-a)}{b-a} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
</math></center>

donde se ha normalizado el término constante para que la base sea ortonormal en <math> L^2 ([a,b]) </math>.

En nuestro caso, con <math> a=-2 </math> y <math> b=3 </math>, la base trigonométrica resulta:

<center><math>
\left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \cos\left(\frac{n\pi (x+2)}{5} \right), \sin\left(\frac{n\pi (x+2)}{5} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
</math></center>

===Cálculo de los coeficientes de Fourier===
Para expandir la función <math> f(x)=xe^{-x} </math> en esta nueva base, es necesario calcular los coeficientes de Fourier:

<center><math>
c_n = \int_{-2}^{3} f(x)e_n(x) dx
</math></center>

donde <math> e_n </math> son los términos de la base calculada anteriormente.

El cálculo de estos coeficientes implica integrar productos de <math> f(x) </math> con funciones trigonométricas, lo que puede llegar a ser muy laborioso para <math> 5, 10 </math> y <math> 20 </math> términos, y es por esto que estos cálculos se hacen mediante herramientas computacionales como Python. A continuación, se incluye el código que nos proporciona la aproximación que buscábamos.

[[Archivo:aproxILIA.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# Definir la función f(x)
def f(x):
return x * np.exp(-x)

# Definir los límites del intervalo
a, b = -2, 3
L = (b - a) / 2 # Semilongitud del intervalo

# Base trigonométrica en [-2,3]
def phi_0(x):
return 1 / np.sqrt(b - a)

def phi_cos(n, x):
return np.cos(n * np.pi * (x - a) / (b - a))

def phi_sin(n, x):
return np.sin(n * np.pi * (x - a) / (b - a))

# Cálculo de coeficientes de Fourier
def coeficiente_an(n):
result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_cos(n, x), a, b)
return result / np.sqrt(b - a)

def coeficiente_bn(n):
result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_sin(n, x), a, b)
return result / np.sqrt(b - a)

def coeficiente_a0():
result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_0(x), a, b)
return result / np.sqrt(b - a)

# Aproximación de la serie de Fourier
def aproximacion_fourier(x, N):
suma = coeficiente_a0() * phi_0(x)
for n in range(1, N + 1):
suma += coeficiente_an(n) * phi_cos(n, x) + coeficiente_bn(n) * phi_sin(n, x)
return suma

# Valores de x para graficar
X = np.linspace(a, b, 400)

# Lista de colores para cada aproximación
colores = [ "#0000FF","#0066CC", "#33CCFF",]

# Graficar aproximaciones con 5, 10 y 20 términos
plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=200)
plt.plot(X, f(X), label="Función original f(x)", linewidth=2, color="black") # Función original en negro

for i, N in enumerate([5, 10, 20]):
plt.plot(X, [aproximacion_fourier(x, N) for x in X], label=f"Aprox. con {N} términos", color=colores[i])

plt.legend()
plt.grid()
plt.title("Aproximación de f(x) mediante series de Fourier en [-2,3]")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()
</syntaxhighlight>

En las aproximaciones con un mayor número de n aparecen oscilaciones más pronunciadas, y la aproximación es peor en ciertos puntos. Esto es el llamado fenómeno de Gibbs.

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]