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Modelos epidemiológicos (Grupo 19)

2013-03-05T12:47:49Z

Monica:

=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==

Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Siendo:
* S: población susceptible de infectarse por la enfermedad

* I: población infectada por la enfermedad

* a: Parámetro de la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
* b: Parámetro que representa el número de fallecimientos por la enfermedad.
* c: parámetro que representa el numero de curas de la enfermedad.

La primera ecuación representa la
variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función del
tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
acompaña al parámetro <math>a</math>. Esto implica que la población susceptible de este
modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada. Al estar multiplicadas ambas variables se convierte en una ecuación no lineal, factor determinante a la hora de resolver el sistema.

La segunda ecuación representa la
variación de la población infectada con respecto del tiempo. Podemos estudiarla
en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (<math>I</math>).
La primera parte es dependiente de nuevo
del parámetro <math>a</math> con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros <math>b</math> y <math>c</math>. En este caso
el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
muertes y de curas.

El número de infectados vemos que
aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros <math>a</math>, <math>b</math> y
<math>c</math> y el número variable de infectados y susceptibles.

=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

Para resolver el sistema lo aproximamos mediante el método
de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>

'''1).'''<math>S_0=700,I_0=1</math>
{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
S0=700; I0=1; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Obtenemos diferentes aproximaciones según los pasos empleados:

[[Archivo:Grafiquitoo.JPG|marco|centro]]

Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2

* <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
* <math>h=10^-2 → S=11.02</math>
* <math>h=10^-3 → S=11.14</math>
* <math>h=10^-4 → S=11.16</math>

===Interpretación===

Vemos que la población
susceptible va disminuyendo conforme aumenta la población infectada. Durante
los dos primeros días la enfermedad presenta un crecimiento suave mientras que
los días posteriores tiene un crecimiento muy rápido hasta el quinto dia, donde
el número de infectados alcanza su máximo siendo de 303 personas. En este
momento los susceptibles son sólo 166 personas.

Llegado este punto el número
de infectados disminuye por las muertes y curas hasta la desaparición de la enfermedad (<math>I=0</math>), quedando un valor de población susceptible de
10 personas,valor que se mantiene constante :

<math>I=0</math>
:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI=0 </math>
:<math>S=cte</math>

'''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>

Al emplear el mismo código de matlab que en el caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]

Al tomar una población susceptible mucho
mayor observamos que en menos de un día el número de infectados alcanza un
valor máximo superior a 4000 personas,
descendiendo drásticamente el número de susceptibles a 150.

Vemos que en menos de dos días toda
la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
antes de las dos semanas.

En ambos casos, tomando valores iniciales diferentes, las ecuaciones del sistema tienden al equilibrio y en general desaparece la enfermedad al llegar a un valor de <math>I=0</math>.

=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==

Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>

Para contrastar con los
casos anteriores hemos tomado una población inicial menor. Podemos apreciar un cambio significativo en la evolución de la infección en la población debido a que la enfermedad se desarrolla más lentamente y el número
máximo de infectados es de 21 a los 10 días.

[[Archivo:Grafiqueo.JPG|centro|marco]]

Se deduce que al haber
menos población susceptible de ser infectada la enfermedad tiene más dificultad
en propagarse. En este caso la relación entre la población susceptible al final
y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
contraer la enfermedad.

=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==

Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).
.

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y0=[700;1]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.2; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end

%Interpretación gráfica
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
figure(2)
plot(S,I,'b')
}}

'''1).''' <math>S_0=700,I_0=1</math>

[[Archivo:RK1.1.jpg|centro|marco]]

'''2).''' <math>S_0=5000,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.2.jpg|centro|marco]]

'''3).''' <math>S_0=250,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.3.jpg|centro|marco]]

Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso mayor con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.

Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''. Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.

=='''Cálculo de los valores iniciales'''==

En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema conociendo los valores para un tiempo determinado.

Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>

{{matlab|codigo=
clear all
t0=15; tN=0; %Intervalo de tiempo tomado
S0=20000; I0=300; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=1500; h=(t0-tN)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

t=t0:-h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h NEGATIVO

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Como podemos ver gráficamente el valor inicial de la población infectada es de <math>I_0=11.5≈12</math> personas.

[[Archivo:Inv.jpg|centro|marco]]

=='''Participantes'''==

* Ignacio Tubilleja Merino, 431
* Mónica López del Caño, 238
* Paola Romero Martínez, 375
* Patricia Reyes Rodríguez, 351

Archivo:Inv.jpg

2013-03-05T12:26:02Z

Monica:

Modelos epidemiológicos (Grupo 19)

2013-03-04T23:18:16Z

Monica:

=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==

Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Siendo:
* S: población susceptible de infectarse por la enfermedad

* I: población infectada por la enfermedad

* a: Parámetro de la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
* b: Parámetro que representa el número de fallecimientos por la enfermedad.
* c: parámetro que representa el numero de curas de la enfermedad.

La primera ecuación representa la
variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función del
tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
acompaña al parámetro <math>a</math>. Esto implica que la población susceptible de este
modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada. Al estar multiplicadas ambas variables se convierte en una ecuación no lineal, factor determinante a la hora de resolver el sistema.

La segunda ecuación representa la
variación de la población infectada con respecto del tiempo. Podemos estudiarla
en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (<math>I</math>).
La primera parte es dependiente de nuevo
del parámetro <math>a</math> con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros <math>b</math> y <math>c</math>. En este caso
el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
muertes y de curas.

El número de infectados vemos que
aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros <math>a</math>, <math>b</math> y
<math>c</math> y el número variable de infectados y susceptibles.

=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

Para resolver el sistema lo aproximamos mediante el método
de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>

'''1).'''<math>S_0=700,I_0=1</math>
{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
S0=700; I0=1; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Obtenemos diferentes aproximaciones según los pasos empleados:

[[Archivo:Grafiquitoo.JPG|marco|centro]]

Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2

* <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
* <math>h=10^-2 → S=11.02</math>
* <math>h=10^-3 → S=11.14</math>
* <math>h=10^-4 → S=11.16</math>

===Interpretación===

Vemos que la población
susceptible va disminuyendo conforme aumenta la población infectada. Durante
los dos primeros días la enfermedad presenta un crecimiento suave mientras que
los días posteriores tiene un crecimiento muy rápido hasta el quinto dia, donde
el número de infectados alcanza su máximo siendo de 303 personas. En este
momento los susceptibles son sólo 166 personas.

Llegado este punto el número
de infectados disminuye por las muertes y curas hasta la desaparición de la enfermedad (<math>I=0</math>), quedando un valor de población susceptible de
10 personas,valor que se mantiene constante :

<math>I=0</math>
:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI=0 </math>
:<math>S=cte</math>

'''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>

Al emplear el mismo código de matlab que en el caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]

Al tomar una población susceptible mucho
mayor observamos que en menos de un día el número de infectados alcanza un
valor máximo superior a 4000 personas,
descendiendo drásticamente el número de susceptibles a 150.

Vemos que en menos de dos días toda
la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
antes de las dos semanas.

En ambos casos, tomando valores iniciales diferentes, las ecuaciones del sistema tienden al equilibrio y en general desaparece la enfermedad al llegar a un valor de <math>I=0</math>.

=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==

Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>

Para contrastar con los
casos anteriores hemos tomado una población inicial menor. Podemos apreciar un cambio significativo en la evolución de la infección en la población debido a que la enfermedad se desarrolla más lentamente y el número
máximo de infectados es de 21 a los 10 días.

[[Archivo:Grafiqueo.JPG|centro|marco]]

Se deduce que al haber
menos población susceptible de ser infectada la enfermedad tiene más dificultad
en propagarse. En este caso la relación entre la población susceptible al final
y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
contraer la enfermedad.

=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==

Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).
.

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y0=[700;1]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.2; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end

%Interpretación gráfica
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
figure(2)
plot(S,I,'b')
}}

'''1).''' <math>S_0=700,I_0=1</math>

[[Archivo:RK1.1.jpg|centro|marco]]

'''2).''' <math>S_0=5000,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.2.jpg|centro|marco]]

'''3).''' <math>S_0=250,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.3.jpg|centro|marco]]

Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso mayor con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.

Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''. Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.

=='''Cálculo de los valores iniciales'''==

En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema sabiendo los valores para un tiempo determinado.

Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=15; %Intervalo de tiempo tomado
S15=2; I15=0.3; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=1500; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(15)=S15; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(15)=I15;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=14:-1:1
A=[S(n+1);I(n+1)]-h*[-a*S(n+1)*I(n+1);a*S(n+1)*I(n+1)-(b+c)*I(n+1)];
S(n)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera componente de la matriz A
I(n)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S)
plot(t,I)
%figure(2)
%plot(S,I)
%hold off
}}

Modelos epidemiológicos (Grupo 19)

2013-03-04T21:10:55Z

Monica:

=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==

Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Siendo:
* S: población susceptible de infectarse por la enfermedad

* I: población infectada por la enfermedad

* a: Parámetro de la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
* b: Parámetro que representa el número de fallecimientos por la enfermedad.
* c: parámetro que representa el numero de curas de la enfermedad.

La primera ecuación representa la
variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función del
tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
acompaña al parámetro a. Esto implica que la población susceptible de este
modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada. Al estar multiplicadas ambas variables se convierte en una ecuación no lineal, factor determinante a la hora de resolver el sistema.

La segunda ecuación representa la
variación de la población infectada con respecto del tiempo. Podemos estudiarla
en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
La primera parte es dependiente de nuevo
del parámetro a con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros b y c. En este caso
el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
muertes y de curas.

El número de infectados vemos que
aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros a, b y
c y el número variable de infectados y susceptibles.

=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

Para resolver el sistema lo aproximamos mediante el método
de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>

'''1).'''<math>S_0=700,I_0=1</math>
{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
S0=700; I0=1; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Obtenemos diferentes aproximaciones según los pasos empleados:

[[Archivo:Grafiquitoo.JPG|marco|centro]]

Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2

* <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
* <math>h=10^-2 → S=11.02</math>
* <math>h=10^-3 → S=11.14</math>
* <math>h=10^-4 → S=11.16</math>

===Interpretación===

Vemos que la población
susceptible va disminuyendo conforme aumenta la población infectada. Durante
los dos primeros días la enfermedad presenta un crecimiento suave mientras que
los días posteriores tiene un crecimiento muy rápido hasta el quinto dia, donde
el número de infectados alcanza su máximo siendo de 303 personas. En este
momento los susceptibles son sólo 166 personas.

Llegado este punto el número
de infectados disminuye por las muertes y curas hasta la desaparición de la enfermedad (<math>I=0</math>), quedando un valor de población susceptible de
10 personas,valor que se mantiene constante :

<math>I=0</math>
:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI=0 </math>
:<math>S=cte</math>

'''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>

Al emplear el mismo código de matlab que en el caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]

Al tomar una población susceptible mucho
mayor observamos que en menos de un día el número de infectados alcanza un
valor máximo superior a 4000 personas,
descendiendo drásticamente el número de susceptibles a 150.

Vemos que en menos de dos días toda
la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
antes de las dos semanas.

En ambos casos, tomando valores iniciales diferentes, las ecuaciones del sistema tienden al equilibrio y en general desaparece la enfermedad al llegar a un valor de <math>I=0</math>.

=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==

Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>

Para contrastar con los
casos anteriores hemos tomado una población inicial menor. Podemos apreciar un cambio significativo en la evolución de la infección en la población debido a que la enfermedad se desarrolla más lentamente y el número
máximo de infectados es de 21 a los 10 días.

[[Archivo:Grafiqueo.JPG|centro|marco]]

Se deduce que al haber
menos población susceptible de ser infectada la enfermedad tiene más dificultad
en propagarse. En este caso la relación entre la población susceptible al final
y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
contraer la enfermedad.

=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==

Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).
.

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y0=[700;1]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.2; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end

%Interpretación gráfica
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
figure(2)
plot(S,I,'b')
}}

'''1).''' <math>S_0=700,I_0=1</math>

[[Archivo:RK1.1.jpg|centro|marco]]

'''2).''' <math>S_0=5000,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.2.jpg|centro|marco]]

'''3).''' <math>S_0=250,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.3.jpg|centro|marco]]

Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso mayor con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.

Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''. Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.

=='''Cálculo de los valores iniciales'''==

En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema sabiendo los valores para un tiempo determinado.

Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=15; %Intervalo de tiempo tomado
S15=2; I15=0.3; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=1500; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(15)=S15; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(15)=I15;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=14:-1:1
A=[S(n+1);I(n+1)]-h*[-a*S(n+1)*I(n+1);a*S(n+1)*I(n+1)-(b+c)*I(n+1)];
S(n)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera componente de la matriz A
I(n)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S)
plot(t,I)
%figure(2)
%plot(S,I)
%hold off
}}

Modelos epidemiológicos (Grupo 19)

2013-03-04T20:41:38Z

Monica:

=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==

Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Siendo:
* S: población susceptible de infectarse por la enfermedad

* I: población infectada por la enfermedad

* a: Parámetro de la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
* b: Parámetro que representa el número de fallecimientos por la enfermedad.
* c: parámetro que representa el numero de curas de la enfermedad.

La primera ecuación representa la
variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función al
tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
acompaña al parámetro a. Esto implica que la población susceptible de este
modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada.

La segunda ecuación representa la
variación de la población infectada con respecto al tiempo. Podemos estudiarla
en dos partes dividiéndola en una no lineal que depende de ambas variables (S e
I) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
La primera parte es dependiente de nuevo
del parámetro a con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros b y c. En este caso
el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
muertes y de curas.

El número de infectados vemos que
aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros a, b y
c y el número variable de infectados y susceptibles.

=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

Aproximamos el sistema mediante el método
de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>

'''1).'''<math>S_0=700,I_0=1</math>
{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
S0=700; I0=1; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Obtenemos diferentes aproximaciones según los pasos empleados:

[[Archivo:Grafiquitoo.JPG|marco|centro]]

Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2

* <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
* <math>h=10^-2 → S=11.02</math>
* <math>h=10^-3 → S=11.14</math>
* <math>h=10^-4 → S=11.16</math>

===Interpretación===

Vemos que la población
susceptible va disminuyendo conforme aumenta la población infectada. Durante
los dos primeros días la enfermedad presenta un crecimiento suave mientras que
los días posteriores tiene un crecimiento muy rápido hasta el quinto dia, donde
el número de infectados alcanza su máximo siendo de 303 personas. En este
momento los susceptibles son sólo 166 personas.

Llegado este punto el número
de infectados disminuye por las muertes y curas hasta la desaparición de la enfermedad (<math>I=0</math>), quedando un valor de población susceptible de
10 personas,valor que se mantiene constante :

<math>I=0</math>
:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI=0 </math>
:<math>S=cte</math>

'''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>

Al emplear el mismo código de matlab que en caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]

Al tomar una población susceptible mucho
mayor observamos que en menos de un día el número de infectados alcanza un
valor máximo superior a 4000 personas,
descendiendo drásticamente el número de susceptibles a 150.

Vemos que en menos de dos días toda
la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
antes de las dos semanas.

=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==

Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>

Para contrastar con los
casos anteriores hemos tomado una población inicial menor. Podemos apreciar un cambio significativo en la evolución de la infección en la población debido a que la enfermedad se desarrolla más lentamente y el número
máximo de infectados es de 21 a los 10 días.

[[Archivo:Grafiqueo.JPG|centro|marco]]

Se deduce que al haber
menos población susceptible de ser infectada la enfermedad tiene más dificultad
en propagarse. En este caso la relación entre la población susceptible al final
y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
contraer la enfermedad.

=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==

Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y0=[700;1]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.2; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end

%Interpretación gráfica
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
figure(2)
plot(S,I,'b')
}}

'''1).''' <math>S_0=700,I_0=1</math>

[[Archivo:RK1.1.jpg|centro|marco]]

'''2).''' <math>S_0=5000,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.2.jpg|centro|marco]]

'''3).''' <math>S_0=250,I_0=5</math>

[[Archivo:RK1.3.jpg|centro|marco]]

Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso más pequeño con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.

Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''.Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.

=='''Cálculo de los valores iniciales'''==

En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema sabiendo los valores para un tiempo determinado.

Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>

{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=15; %Intervalo de tiempo tomado
S15=2; I15=0.3; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=1500; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(15)=S15; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(15)=I15;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=14:-1:1
A=[S(n+1);I(n+1)]-h*[-a*S(n+1)*I(n+1);a*S(n+1)*I(n+1)-(b+c)*I(n+1)];
S(n)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera componente de la matriz A
I(n)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S)
plot(t,I)
%figure(2)
%plot(S,I)
%hold off
}}

Archivo:RK1.3.jpg

2013-03-04T19:37:35Z

Monica:

Archivo:RK1.3.jpg

2013-03-04T19:37:35Z

Monica: Monica subió una nueva versión de «Archivo:RK1.3.jpg»

Archivo:RK1.2.jpg

2013-03-04T19:34:48Z

Monica:

Archivo:RK1.1.jpg

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Monica:

Archivo:Rungi1.1.jpg

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Monica:

Archivo:Runge1.1.jpg

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Monica:

Modelos epidemiológicos (Grupo 19)

2013-03-04T14:15:26Z

Monica: Página creada con « =='''Interpretación de los diferentes parámetros'''== Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones: :<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathr...»

Archivo:Grafiqueo.JPG

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Monica:

Archivo:Fig1 2.3.jpg

2013-03-04T14:08:42Z

Monica:

Archivo:Fig1 2.2.jpg

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Monica:

Archivo:Grafiquitoo.JPG

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Monica:

Archivo:Grafpas.jpg

2013-03-04T13:10:26Z

Monica: