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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T23:40:53Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia=[]; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^3} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^3} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^3}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^3}</math>
[[Archivo:MATLAB40.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta /\rho</math>.]]
{{matlab|codigo=
rhosigmarho=(pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^3)); % Tensiones normales en la dirección del eje grho.
thetasigmatheta=(3*pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^3)); % Tensiones normales en la dirección del eje gtheta/rho.
subplot(2,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen. Vista superior tensiones normales según eje grho.
mesh(xx,yy,rhosigmarho); colorbar % Mallado más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(2,2,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen. Vista superior tensiones normales según eje gtheta/rho.
mesh(xx,yy,thetasigmatheta); colorbar % Mallado más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(2,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen. Tensiones normales según eje grho.
mesh(xx,yy,rhosigmarho); % Mallado.
subplot(2,2,4); % Muestra varias imágenes. 4º Imagen. Tensiones normales según eje gtheta/rho.
mesh(xx,yy,thetasigmatheta); % Mallado.
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación como consecuencia de la percusión.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a<math>\vec g_\rho</math> ]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1));
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = ((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T23:39:00Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia=[]; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^3} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^3} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^3}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^3}</math>
[[Archivo:MATLAB40.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta /\rho</math>.]]
{{matlab|codigo=
rhosigmarho=(pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^3)); % Tensiones normales en la dirección del eje grho.
thetasigmatheta=(3*pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^3)); % Tensiones normales en la dirección del eje gtheta/rho.
subplot(2,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen. Vista superior tensiones normales según eje grho.
mesh(xx,yy,rhosigmarho); colorbar % Mallado más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(2,2,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen. Vista superior tensiones normales según eje gtheta/rho.
mesh(xx,yy,thetasigmatheta); colorbar % Mallado más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(2,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen. Tensiones normales según eje grho.
mesh(xx,yy,rhosigmarho); % Mallado.
subplot(2,2,4); % Muestra varias imágenes. 4º Imagen. Tensiones normales según eje gtheta/rho.
mesh(xx,yy,thetasigmatheta); % Mallado.
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación como consecuencia de la percusión.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1));
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = ((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T20:45:09Z

Mokhtar Benslim: /* Resultado de la percusión del solido */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1)));
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1));
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = ((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T20:42:33Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1)));
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1));
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = ((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T20:39:20Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1)));
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = ((pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2))*(20.^(-1)+ 10.*(uu.^(-1));
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:28:25Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2)*(1/20+1/10.*uu);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-3*sin(pi.*vv)./20*uu.^(4));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:26:27Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv)./(uu.^2)*(1/20+1/10.*uu);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:24:12Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:22:45Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:22:06Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{10\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{10\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{\rho^{2}}(\frac{1}{20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:21:40Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{10\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{10\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}}(\frac{1}{\20}+\frac{1}{10\rho})& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:18:40Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-3sin(\pi \theta)}{10\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:17:49Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:17:19Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T19:16:56Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ \frac{-3sin(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:35:32Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:35:03Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:19:30Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:11:05Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y en las de dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:07:10Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> y al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes <math>\vec g_\theta/\rho</math> y <math>\vec g_{\rho}</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:04:35Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
Podemos concluir que en las zonas donde se produce un mayor desplazamiento, las tensiones que presenta el sólido son mayores. Asimismo se puede observar la ortogonalidad de ambas tensiones tangenciales al plano ortogonal a g⃗ ρ y al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ lo que confirma que las tensiones del sólido se pueden descomponer en dos componentes g⃗ θ/ρ y g⃗ ρ.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:03:49Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:03:19Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T18:01:40Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^6);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:58:51Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir, <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:49:55Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
[[Archivo:MATLAB30.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|gsgshtgh]]
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(-sin(pi.*vv))./(10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}
Calcularemos las tensiones tangenciales al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ, es decir, |σ⋅g⃗ θ/ρ−(g⃗ θ/ρ⋅σ⋅g⃗ θ/ρ)g⃗ θ/ρ|. La representación de estas, nos indicará en qué puntos las tensiones son mayores, y dado que el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, en estos puntos citados las deformaciones también serán máximas.

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:42:47Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:41:55Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:39:36Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv)./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv))./10*uu.^(-3));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:35:08Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

>> sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro

subplot(1,2,1);

mesh(xx,yy,sigmaro);

subplot(1,2,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)

tenstangencialplanoro=((-sin(pi.*vv))./10)*(uu.^(-3));

mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:31:41Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
[[Archivo:MATLAB20.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones normales en la direccion de <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.]]
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
Tal y como se observa en la figura, las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ y en las de dirección g⃗ θ/ρ son mayores en las zonas que presentan una mayor deformación consecuencia de la percusión.Ademas puede observarse que las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, aumenta su intensidad a medida que nos vamos acercando al borde interior de la placa; mientras que las dadas por el vector g⃗ θ/ρ, aumentan según nos acercamos al borde exterior de la misma.
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:23:54Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección:
<math>
\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\
</math>: <math>
\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
[[Archivo:Dibujo matlab20.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la direccion del i y j]]
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:17:55Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3*pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:17:23Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (3pi*cos(pi.*vv))./20.*(uu.^6);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:15:53Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:15:08Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\3pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:14:51Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\{3}pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^6}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:09:04Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>:

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:05:51Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:04:49Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\{3}pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:03:43Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\3pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T17:02:27Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:58:55Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\nabla \times \vec u=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}</math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Calculamos σij utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:57:16Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

<math>\nabla \times \vec u =\begin{bmatrix} g_{\rho} & g_{\theta} & g_{z} \\ \frac{\rho}(\rho)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\nabla \times \vec u =\begin{bmatrix} \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ {bmatrix}</math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:55:15Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>

<math>\nabla \times \vec u =\begin{bmatrix} g_{\rho} & g_{\theta} & g_{z} \\ \frac{\rho}(\rho)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\delta}{\delta \rho} & \frac{\delta}{\delta \theta} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\ 0 & \frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \end{bmatrix}</math>

Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>,El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:33:16Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>
Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:32:26Z

Mokhtar Benslim: /* Tensiones debidas a la perturbación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>
Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>

[[Archivo:MATLAB11.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones debidas a la perturbación===
Se define como <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^{3}} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección
<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:04:20Z

Mokhtar Benslim: /* Tendencia a la rotación */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>
Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>
[[Archivo:MATLAB11.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones normales debidas a la perturbacion===
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:03:58Z

Mokhtar Benslim: /* Cambio de volumen local debido al desplazamiento */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>
Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>
[[Archivo:MATLAB11.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones normales debidas a la perturbacion===
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (grupo 9 A)

2013-12-09T16:03:36Z

Mokhtar Benslim: /* º Campo de desplazamientos */

{{beta}}

Consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta} </math> {{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==º Mallado del sólido ==

Nuestro mallado se ha centrado en la representación de los puntos interiores de una placa sólida, con forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, los comandos en Matlab para la visualización de nuestra placa son los siguientes:
[[Archivo:Dibujo matlab2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Placa mallada con forma de corona circular.]]
{{matlab|codigo=

h=0.1; % Paso de muestreo.
u=1:h:2; % Intervalo [1,2].
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización X.
yy=uu.*sin(vv); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx); % Visión general.}}

==º Temperatura del sólido ==
Teniendo en cuenta que la temperatura es un campo escalar y que en nuestro caso viene definida por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de observar su comportamiento a lo largo de nuestra corona circular plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor <math>y_{0}</math>. Es decir, cada recta paralela al eje de abcisas tendrá una temperatura <math>T(x,y_{0})=e^{-y_{0}}=cte</math>. Además, por el signo negativo del exponente, la <math>T</math> va aumentando a medida que disminuye la coordenada <math>y</math>, ubicándose el foco de calor en la zona más inferior de la placa <math>(0,-2)</math> . Así pues, se observa claramente en la figura como la temperatura va descendiendo a medida que nos vamos alejando del foco.

[[Archivo:Dibujo matlab3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|<math>T</math> a lo largo de la placa.]]

{{matlab| codigo=
f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
surf(xx,yy,f); % Visualización 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización 3D más leyenda en color. }}

=== Variación de la Temperatura (<math>\nabla T</math>) ===
Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, la pendiente del <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

[[Archivo:Dibujo matlab4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo <math>\nabla T</math>.]]
{{matlab|codigo=
Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
surf(xx,yy,f); % Muestra la corona circular mallada y coloreada.
quiver3(xx,yy,f,0*xx,Grad,0*f); % Visión tridimensional de los vectores gradientes del campo escalar.
hold off % Final superposición de gráficos
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); colorbar; % Visión bidimensional de los vectores gradientes del campo escalar más leyenda en color.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 líneas de nivel.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}

==º Campo de desplazamientos ==

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}=\frac{-\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i + \frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
Aplicando este campo a cada punto del solido obtendremos los vectores de desplazamiento de los mismos ante dicha percusión.
[[Archivo:MATLAB5.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Vectores <math>\vec u</math> de desplazamiento del sólido.]]

===Resultado de la percusión del solido===
En la figura se muestran los vectores de desplazamiento de cada uno de los puntos del sólido según el campo vectorial <math>\vec u(\rho,\theta)</math>.
{{matlab| codigo=
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux=[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy=[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos.
}}

Podemos apreciar que el vector <math>\vec u</math> que hace que el solido sufra una percusión, tiene un modulo muy pequeño, lo que dificulta el estudio y visión de la deformación a la que es sometido. Para apreciar mejor el efecto de la percusión en el sólido, procedemos a incrementar el tamaño de la deformación por <math>10</math>. En la figura adjunta a la derecha se puede apreciar claramente las distintas fases de la deformación del solido: el sólido en reposo, el sólido deformado debido a <math>\vec u</math> y el sólido deformado debido a <math>10\cdot\vec u</math>

[[Archivo:MATLAB10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Grados de deformación según la variación del módulo del vector <math>\vec u</math>.]]

{{matlab| codigo=
subplot(1,3,1); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen: sólido sin deformar.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
Ux =[]; % Matrices de vectores componentes x de u(rho,theta).
Uy =[]; % Matrices de vectores componentes y de u(rho,theta).
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(20*uu(i,j)); % Proyección de u(rho,theta) sobre y.
Uxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre x.
Uyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,2); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen: sólido deformado por u(rho,theta).
mesh(Uxx,Uyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
i=1; j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i=1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j=1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Ux(i,j)=-sin(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre x.
Uy(i,j)=cos(vv(i,j))*(sin(pi*vv(i,j)))/(2*uu(i,j)); % Proyección de 10u(rho,theta) sobre y.
Uxxx(i,j)=xx(i,j)+Ux(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre x.
Uyyy(i,j)=yy(i,j)+Uy(i,j); % Proyección vector posición tras la deformación ampliada sobre y.
j=j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i=i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,3,3); % Muestra varias imágenes. 3º Imagen: sólido deformado por 10u(rho,theta).
mesh(Uxxx,Uyyy,0*xx); % Mallado.
axis([-3,3,-3,3]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

=== Cambio de volumen local debido al desplazamiento ===

Para estudiar la variación del volumen después de la percusión, hacemos uso de la divergencia del vector <math>\vec u(\rho,\theta)</math>. Aplicando este operador al campo vectorial <math>\vec u</math>, obtenemos la función escalar divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}</math>
Aplicando la divergencia observamos las variaciones de volumen en cada punto del sólido.
[[Archivo:MATLAB4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Variacion del volumen según <math>\nabla\cdot\vec u</math>.]]
{{matlab| codigo=
Divergencia = []; % Definición de la matriz Divergencia.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Divergencia(i,j)=pi*(cos(pi.*vv(i,j)))/(20*(uu(i,j).^2)); % Cálculo de la divergencia del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
hold on % Inicio superposición de gráficos.
contour(xx,yy,Divergencia,20); colorbar; % Define 20 líneas de nivel más leyenda en color.
hold off % Fin superposición de gráficos.
}}
Se observa que los puntos con el máximo aumento y disminución de volumen se encuentran en la circunferencia interior de la corona, donde observamos mayor número de líneas de nivel.

=== Tendencia a la rotación===
El rotacional se define como un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>, el rotacional será:
<math>\nabla \times \vec u =\frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho^3}\vec g_{z}\ </math>
Según se observa en el gráfico adjunto, la tendencia a la rotación es mayor en los picos más inferiores y superiores, en los cuales <math>\nabla\cdot\vec u = 0</math>
[[Archivo:MATLAB11.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Nivel de rotación de los puntos del sólido según <math>\nabla \times \vec u</math>.]]
{{matlab|codigo=
Rotacional=[]; % Definición de la matriz Rotacional.
i=1;j=1; % Definición de las variables para el bucle.
for i= 1:64 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 64 para v.
for j = 1:11 % Inicio bucle para calcular el vector de cada punto. De 1 a 11 para u.
Rotacional(i,j)=-sin(pi.*vv(i,j))/(10*(uu(i,j)^3)); % Cálculo del rotacional del campo u.
j = j+1; % Bucle j.
end % Fin del bucle j.
i= i+1; % Bucle i.
end % Fin del bucle i.
subplot(1,2,1) % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
quiver3(xx,yy,xx*0,xx*0,xx*0,Rotacional); % Visión tridimensional de los vectores rotacional.
subplot(1,2,2) % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,Rotacional); colorbar; % Mallado más leyenda en color.
}}

=== Tensiones normales debidas a la perturbacion===
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{40}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
{{matlab|codigo=
%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));

sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro); colorbar
view(2)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta); colorbar
view(2)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
}}
==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
sigmaro = (pi*cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2)); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);
}}

==== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
{{matlab|codigo=
%% tensión en dirección gtheta/ro
sigmatheta = (pi*cos(pi.*vv))./10.*(uu.^2);
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 3D
tenstangencialplanotheta = (((sin(pi.*vv))./(40.*uu)).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
subplot(1,3,2);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta);
%% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gtheta/ro 2D
subplot(1,3,3);
mesh(xx,yy,tenstangencialplanotheta); colorbar
view(2);
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]