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Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-14T17:23:44Z

Miguelsanchezg: /* Problema dinámico en el que la flexión de una viga apoyada en sus extremos depende del tiempo. */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

[[Archivo:grrafvigas.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:parameters.JPG|marco|centro]]
:La primera gráfica representa los distintos perfiles de las vigas para cada parametro de '''c''' y '''d'''.
:La segunda las flechas según el valor de '''c'''.
:Gracias a la ecuación obtenemos el valor óptimo y pésimo. La viga con '''menor deflexión''' (en rojo en la figura) se produce cuando <math> c=-0,0046 </math> y <math> d=-9,9982 </math> dando una flecha máxima en el centro de vano de <math> -1,5264·10^-6 </math> '''m'''. La viga con '''mayor deflexión''' (en azul en la figura) se produce cuando <math> c=-0,3745 </math> y <math> d=-4,3407 </math> y una flecha máxima en el centro de vano de <math> -6,85·10^-5 </math> '''m'''.
[[Archivo:viggaoppes.JPG|marco|centro]]

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinámico en el que la flexión de una viga apoyada en sus extremos depende del tiempo.==

En el siguiente problema dinámico la deflexión de la viga depende del tiempo y(x,t) por lo que la ecuación queda de la siguiente manera:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Como se trata de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales :

<math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta manera planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=1/3*sin(\frac{16pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.7 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% Matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% Partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% Matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% Término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% Grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

[[Archivo:caa.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:caaa.JPG|marco|centro]]

:La primera gráfica representa el comportamiento de y(x,t) entre los intervalos dados. La segunda representa el comportamiento frente al tiempo para '''x=0,7'''

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-14T17:19:37Z

Miguelsanchezg: /* Problema dinámico en el que la flexión de una viga apoyada en sus extremos depende del tiempo. */

Archivo:Caaa.JPG

2015-05-14T17:17:20Z

Miguelsanchezg:

Archivo:Caa.JPG

2015-05-14T17:17:03Z

Miguelsanchezg:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-14T17:12:35Z

Miguelsanchezg: /* Problema dinámico en el que la flexión de una viga apoyada en sus extremos depende del tiempo. */

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:59:51Z

Miguelsanchezg: /* Viga con sección variable respecto de x */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

[[Archivo:grrafvigas.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:parameters.JPG|marco|centro]]
:La primera gráfica representa los distintos perfiles de las vigas para cada parametro de '''c''' y '''d'''.
:La segunda las flechas según el valor de '''c'''.
:Gracias a la ecuación obtenemos el valor óptimo y pésimo. La viga con '''menor deflexión''' (en rojo en la figura) se produce cuando <math> c=-0,0046 </math> y <math> d=-9,9982 </math> dando una flecha máxima en el centro de vano de <math> -1,5264·10^-6 </math> '''m'''. La viga con '''mayor deflexión''' (en azul en la figura) se produce cuando <math> c=-0,3745 </math> y <math> d=-4,3407 </math> y una flecha máxima en el centro de vano de <math> -6,85·10^-5 </math> '''m'''.
[[Archivo:viggaoppes.JPG|marco|centro]]

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:56:11Z

Miguelsanchezg: /* Viga con sección variable respecto de x */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

[[Archivo:grrafvigas.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:parameters.JPG|marco|centro]]
:La primera gráfica representa los distintos perfiles de las vigas para cada parametro de '''c''' y '''d'''.
:La segunda las flechas según el valor de '''c'''.
:Gracias a la ecuación obtenemos el valor óptimo y el pésimo, la viga con '''menor deflexión''' se produce cuando <math> c=-0,0046 </math> y <math> d=-9,9982 </math> dando una flecha máxima en el centro de vano de <math> -1,5264·10^-6 </math> '''m'''
[[Archivo:viggaoppes.JPG|marco|centro]]

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Archivo:Viggaoppes.JPG

2015-05-12T19:41:15Z

Miguelsanchezg:

Archivo:Parrameters.JPG

2015-05-12T19:40:44Z

Miguelsanchezg:

Archivo:Grrafvigas.JPG

2015-05-12T19:40:11Z

Miguelsanchezg:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:39:26Z

Miguelsanchezg: /* Viga con sección variable respecto de x */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

[[Archivo:grafvigas.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:parameters.JPG|marco|centro]]
:La primera gráfica representa los distintos perfiles de las vigas para cada parametro de '''c''' y '''d'''.
:La segunda las flechas según el valor de '''c'''.
[[Archivo:vigaoppes.JPG|marco|centro]]

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Archivo:Vigaoppes.JPG

2015-05-12T19:28:57Z

Miguelsanchezg:

Archivo:Parameters.JPG

2015-05-12T19:28:44Z

Miguelsanchezg:

Archivo:Grafvigas.JPG

2015-05-12T19:28:29Z

Miguelsanchezg:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:25:10Z

Miguelsanchezg: /* Viga con sección variable respecto de x */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:18:50Z

Miguelsanchezg: /* \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T19:17:21Z

Miguelsanchezg: /* \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ </math>===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T16:18:02Z

Miguelsanchezg: /* Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ </math>===

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T16:17:04Z

Miguelsanchezg: /* Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ </math>===

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T15:18:42Z

Miguelsanchezg: /* \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ </math>===

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0

clear all
close all

% datos generales
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
ro=1; % densidad
a=0.5; % altura sección rectangular
b=1-a; % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w/ro)'; % vector columna

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)
theta=1/2; % Crank-Nicholson

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;
% P=L\R;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];

% programa
W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

figure(100) % gráfico y(x,t)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(100)
surf(X,T,Y')

figure(200) % curva y(0.5,t)
xc=0.5;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-12T15:18:14Z

Miguelsanchezg: /* \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ */

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a(x)=cos(c(x−L/2))+d ; V_[viga]=cte \ </math>===

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)]]

==Viga cuya deformada dependede del tiempo==

==Problema dinamico. Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo==

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0

clear all
close all

% datos generales
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
ro=1; % densidad
a=0.5; % altura sección rectangular
b=1-a; % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w/ro)'; % vector columna

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK;

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)
theta=1/2; % Crank-Nicholson

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;
% P=L\R;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];

% programa
W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

figure(100) % gráfico y(x,t)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(100)
surf(X,T,Y')

figure(200) % curva y(0.5,t)
xc=0.5;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T19:00:05Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

En el tercer apartado tenemos que demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:56:36Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

En el tercer apartado tenemos que demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α), & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] → \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α), & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:53:38Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

En el tercer apartado tenemos que demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:51:56Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

En el tercer apartado tenemos que demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = [1+\frac{ω^2}{k^2}]^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = [1+\frac{ω^2}{k^2}]^{-1/2}cos(ωt-α) </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:48:10Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

En el tercer apartado tenemos que demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α) t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:36:04Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación → <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:35:26Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math> al ser <math> \int_0^{24}{F(t)dt} = 0 </math> y <math> \int_0^{24}{Ce^{-kt}dt} ≈ 0 </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:32:56Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

Así que planteamos la siguiente ecuación: <math> T_{media}(t) = \frac{\int_0^{24}{T(t)dt}}{24}\ = \frac{\int_0^{24}{Bo-BF(t)+Ce^{-kt})dt}}{24}\ ≈ \frac{\int_0^{24}{Bo dt}}{24}\ ≈ Bo </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:30:40Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:25:51Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(ωt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:22:31Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B.
Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones:

[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

La temperatura exterior variara en forma de onda senoidal durante un t[0,24] de este modo :
M(t) - Mo - B * cos ( wt ) y nos queda que : M(t) - 2- 7 * cos (( pi/12)*t)

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:

[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:05:44Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T18:02:06Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:59:42Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:58:26Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=Ce^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:51:22Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:49:01Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:48:26Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{ho}{k}\ </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:46:09Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:45:16Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α y T'_{p1}=0 </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:42:11Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>
:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:38:21Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
:Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:37:48Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> T_{h}=ρe^{-kt} </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:36:13Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>
Para la homogénea <math> T'+kT=0 </math> la solución es <math> Th=ρe^{-kt} </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:29:42Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:26:23Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:25:01Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\ Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:24:28Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\
Tenemos que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]

Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A)

2015-03-06T17:19:49Z

Miguelsanchezg: /* Modelo con una variación senoidal */

{{ TrabajoED | Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de la temperatura interior de un edificio en un periodo de 24 horas. Esta temperatura dependerá del calor generado dentro, de la temperatura exterior y del sistema de calefacción o aire acondicionado. Designaremos estos factores como:
:* H(t) → Calor generado por las personas, luces, máquinas...
:* M(t) → Temperatura exterior
:* U(t) → Calentamiento producido por la calefacción o enfriamiento debido al aire acondicionado

==Problema de Cauchy==
Designando la temperatura del edificio como T(t) el problema de valor inicial queda como:
[[Archivo:Jeje2.PNG|centro]]
Donde k es una constante del edificio que depende del número de puertas, ventanas, aislamiento, etc.
===Problema de Cauchy particularizado===
Denominamos t'=1/k al tiempo en que el edificio sufre un cambio de temperatura considerable, este tiempo es denominado como la constante de tiempo del edificio o constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior.
Respondiendo a la primera pregunta el tiempo que tarda en cambiar considerablemente la temperatura para un edificio cerrado esta entre 2 y 4 horas.
En este caso particular tomaremos un tiempo t'=3 por lo que la constante k es igual a ⅓, el tiempo a medianoche es t=0 con una To=14, la temperatura exterior M(t) es constante e igual a 8 ºC y el calor generado por las personas H(t) y por la calefaccion U(t) es igual a 0, y nos queda el problema siguiente:
[[Archivo:Jeje3.PNG|centro]]
===Euler Implícito para el problema de valor inicial===
Tomamos una longitud de paso h=0.01 y comparamos el resultado con la ecuación exacta que resolviendo el problema analíticamente da T=6*e^(-1/3*t)+8 y podemos comprobar que es prácticamente idéntica.
[[Archivo:Jojo2.JPG|centro]]
[[Archivo:Jojo1.JPG|centro]]

==Modelo con una variación senoidal==
En este apartado consideramos la razon de calentamiento <math>\ H(t)=Ho=cte </math>, no hay calefaccion o enfriamiento U(t)=0, y la temperatura exterior M(t) varia de forma senoidal en un perido de 24 horas con un mínimo en t=0 horas y un máximo en t=12 horas. <math>\ M(t)=Mo - Bcos(wt) </math> con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math> siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]

==Apartado3b==
A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

Suponemos un valor medio de 24 horas:
[[Archivo:Susu1.PNG|centro]]
[[Archivo:Susu3.PNG|centro]]

Seguidamente el ejercio nos pide que demostremos que la temperatura media está muy próxima a la temperatura deseada.
[[Archivo:Susu4.PNG|centro]]

==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==

El edificio consta ahora de dos zonas A y B. Designaremos a la temperatura en la zona A por Ta(t), y la temperatura en la zona B por Tb(t). Como dato del enunciado sabemos que la temperatura inicial en la zona A es de 20 grados y la de la zona B es de 18 grados.
Ha(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona A y Ua(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.
Asi mismo, Hb(t) designara a la razón de calentamiento adicional en la zona B y Ub(t) el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado.

Sabemos que las constantes de tiempo de transferencia de calor son de 4 h entre A y el exterior, 5 h entre B y el exterior y 2 h entre A y B. Despejando de t=1/k obtenemos : 1/4 , 1/5 y 1/2 respectivamente.

Recordamos que el problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy es el siguiente sistema de dos ecuaciones :
[[Archivo:Mariaecus2.PNG]]

[[Archivo:Mariaecus3.PNG]]

En nuestro caso, el problema de Cauchy que satisface las temperaturas Ta(t) y Tb(t) es:
[[Archivo:Mariaecus1.PNG]]

===Solución numérica===

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante nos ayudaremos de matlab. Se ha creado un programa que nos dará las soluciones a este sistema y nos dibujará las gráficas de las temperaturas (temperatura interior en zona A, temperatura interior en zona B y temperatura exterior) en función del tiempo durante 24 horas. Para ello deberemos dar un número de paso (h). En nuestro caso se ha utilizado h=0.1;h=0.01;h=0.001. Cuanto mayor sea el número de paso, mayor será la exactitud de la solución pues más se acercará esta a la solución exacta, la cual se lograría integrando. Se utilizan tres métodos distintos: Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4. Cada uno de ellos nos dará una solución distinta, pues todos son métodos aproximados, aunque todos ellos nos darán soluciones muy similares, que serán también similares a la solución exacta.
Por último cabe señalar que al ser un sistema en lugar de una sola ecuación diferencial estos programas deberán de operan con matrices.

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
t0=0; tN=24; h=0.001; y0=[20;18]; %Variaremos h dándole como valores 0.1;0.01;0.001
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN ;
%Preparamos la matriz de la solución
x=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler
%Inicializamos
x(:,1)=y0;
y=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Euler modificado
%Inicializamos
y(:,1)=y0;
z=zeros(2,length(t)); %Primera fila Temperatura A, segunda fila Temperatura B, Runge Kutta
%Inicializamos
z(:,1)=y0;
%Aplicamos el método
for i =1:length(t)-1
%Comenzacmos con Euler
x(:,i+1)=x(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-x(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-x(1,i))+1/2*(x(2,i)-x(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-x(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-x(2,i))-1/2*(x(2,i)-x(1,i))];
%Ahora Euler implícito
K=[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-y(1,i))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-y(1,i))+1/2*(y(2,i)-y(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-y(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-y(2,i))-1/2*(y(2,i)-y(1,i))];
y(:,i+1)=y(:,i)+h*[(1/4)*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(y(1,i))+1/2*h*K(1,1))+((10*t(i))/(1+t(i)))+(5/3)*(22-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))+1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(y(2,i)+1/2*h*K(2,1)))-1/2*((y(2,i)+1/2*h*K(2,1))-(y(1,i)+1/2*h*K(1,1)))];
%Ahora Runge-Kutta
K1=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-z(1,i))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-z(1,i))+1/2*(z(2,i)-z(1,i)) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-z(2,i))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-z(2,i))-1/2*(z(2,i)-z(1,i))];
K2=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K1(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K1(2))-(z(1,i)+1/2*h*K1(1)))];
K3=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))+1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+1/2*h*K2(2)))-1/2*((z(2,i)+1/2*h*K2(2))-(z(1,i)+1/2*h*K2(1)))];
K4=[1/4*(2-7*cos((pi/12)*t(i))-(z(1,i)+h*K3(1)))+(10*t(i)/(1+t(i)))+5/3*(22-(z(1,i)+h*K3(1)))+1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1))) ; 1/5*(2-7*cos(pi/12*t(i))-(z(2,i)+h*K3(2)))+4*cos(pi/6*t(i))+13/7*(22-(z(2,i)+h*K3(2)))-1/2*((z(2,i)+h*K3(2))-(z(1,i)+h*K3(1)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%Temperatura exterior
M=2-7*cos(pi*t/12);
%Dibujamos las gráficas
figure (1)
hold on
plot(t,M,'c-*')
plot(t,x(1,:),'y')
plot(t,x(2,:),'m')
plot(t,y(1,:),'r')
plot(t,y(2,:),'g')
plot(t,z(1,:),'b')
plot(t,z(2,:),'k')
title('Paso h=0.001')
legend('Tª Exterior','TªA Euler','TªB Euler','TªA Euler implícito','TªB Euler implícito','TªA Runge-Kutta','TªB Runge-Kutta','Location','best')
xlabel('Tiempo en horas')
ylabel('Temperatura A y Temperatura B')
hold off
}}
====Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.1 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.1 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que es relativamente pequeño las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos difieren entre ellas. Aunque la diferencia no es muy grande si es apreciable por lo que no sería un tamaño de paso demasiado conveniente.
[[Archivo:H01.jpg|marco|centro]]
La siguiente imagen es un zoom de anterior gráfica para que se pueda apreciar con mayor detalle la diferencia de las soluciones halladas con cada método.
[[Archivo:H01zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.01 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.01 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso, que ya comienza a ser más considerable las gráficas de cada temperatura interior obtenidas con los distintos métodos prácticamente no difieren entre ellas. A primera vista y sin realizar un zoom se podría decir que las curvas están superpuestas. Este tamaño ya puede resultarnos lo suficientemente aproximado.
[[Archivo:H001.jpg|marco|centro]]
En la siguiente imagen se puede observar que para apreciar la separación de las curvas el zoom que se debe realizar es mucho mayor que el anterior.
[[Archivo:H001zoom.jpg|marco|centro]]

==== Euler, Euler implícito y Runge-Kutta de orden 4 con h=0.001 ====
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas interiores en cada zona calculadas con h=0.001 por los tres métodos citados, así como la temperatura del exterior. Se puede observar que con este tamaño de paso las curvas se acercan aún más que en el caso anterior, por lo cual este tamaño de paso nos daría un salución aún más aproximada a la realidad.
[[Archivo:H0001.jpg|marco|centro]]
En la imagen se observa que para lograr ver que las curvas no están realmente superpuestas, el zoom que hay que realizar es enorme y por supuesto incluso mayor que el anterior.
[[Archivo:H0001zoom.jpg|marco|centro]]