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Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:43:47Z

Miguel.cervigon: /* Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]
[[Archivo:Torres de Enfriamiento Hiperbólicas.pdf|miniaturadeimagen]]
== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Calculo
</div>
Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Cálculo numérico con Matlab para el cilindro
</div>
Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico del caudal frente al perfil de la torre]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|500px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:42:50Z

Miguel.cervigon: /* Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]
[[Archivo:Torres de Enfriamiento Hiperbólicas.pdf|miniaturadeimagen]]
== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Calculo
</div>
Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico del caudal frente al perfil de la torre]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|500px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:39:55Z

Miguel.cervigon: /* Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]
[[Archivo:Torres de Enfriamiento Hiperbólicas.pdf|miniaturadeimagen]]
== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico del caudal frente al perfil de la torre]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|500px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:36:36Z

Miguel.cervigon:

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]
[[Archivo:Torres de Enfriamiento Hiperbólicas.pdf|miniaturadeimagen]]
== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico del caudal frente al perfil de la torre]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|500px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:19:59Z

Miguel.cervigon: /* Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico del caudal frente al perfil de la torre]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|500px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:17:37Z

Miguel.cervigon: /* Cálculo de la potencia disipada */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|530px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-07T09:16:58Z

Miguel.cervigon: /* Cálculo de la potencia disipada */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie de la torre hiperbólica ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>

Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)

a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide

% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));

%% Elemento de área y fuerza total

% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);

% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);

% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);

</syntaxhighlight>

Se obtiene aproximadamente:
* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en la torre cilíndrica ===

Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio
<math>R = 55\,\text{m}</math> y altura
<math>H = 150\,\text{m}</math>.
De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.

Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:

<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17,
</math>
</div>

<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2
= \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha},
\qquad
\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3.
</math>
</div>

Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar
<math>P(z)</math>:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Parametrización del cilindro y elemento de área

En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante <math>R</math> y altura <math>H</math> puede parametrizarse como:

<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>

Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(0,\ 0,\ 1\bigr).
</math>
</div>

El producto vectorial es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z
= \begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
-R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=
\bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>

Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0}
= R.
</math>
</div>

Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:

<div style="text-align:center">
<math>
dS = R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro

Sustituimos <math>dS</math> en la integral de fuerza:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,R\,d\theta\,dz.
</math>
</div>

Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, podemos separar la integral angular:

<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}
= R\,\pi.
</math>
</div>

Así, la fuerza total queda:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
= \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio <math>R</math> multiplicado por
<math>\pi</math> y por la integral en altura de la presión.

* Área de la mitad del cilindro y presión media

La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz
= \int_0^{H} R\pi\,dz
= \pi R H.
</math>
</div>

Con los valores numéricos:

<div style="text-align:center">
<math>
R = 55\,\text{m},\quad
H = 150\,\text{m}
\;\Longrightarrow\;
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150.
</math>
</div>

La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
= \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}
= \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H}
= \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz.
</math>
</div>

Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente
la **media en altura** del campo de presión <math>P(z)</math>.

* Cálculo numérico con Matlab para el cilindro

Usamos el mismo campo de presión <math>P(z)</math> y calculamos numéricamente
las integrales con Matlab:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;

%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia

% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa

%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)

%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro

% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R

% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H

% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);

% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);

% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;

%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
</syntaxhighlight>

Se obtienen los siguientes resultados:

* Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
<math>
F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}
\approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad del cilindro:
<math>
A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}
\approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación entre las torres hiperbólica y el cilindrica ===

A partir de los cálculos anteriores podemos comparar directamente el comportamiento
frente al viento de la torre hiperbólica y del cilindro de la misma altura
<math>H = 150\,\text{m}</math> y radio máximo <math>R = 55\,\text{m}</math>, considerando
en ambos casos solo la mitad de la superficie lateral expuesta.

En cuanto a la fuerza total del viento, la torre hiperbólica soporta aproximadamente
<math>F_{\text{total}}^{\text{(hip)}} \approx 5{,}7\times 10^6\,\text{N}</math>, mientras
que el cilindro soporta del orden de
<math>F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\,\text{N}</math>.
La razón entre ambas fuerzas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{F_{\text{total}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}5,
</math>
</div>
de modo que la fuerza lateral sobre el cilindro es alrededor de un 50 % mayor
que sobre la torre hiperbólica, bajo el mismo campo de viento <math>P(z)</math>.

Si miramos la superficie expuesta al viento, la mitad de la torre hiperbólica
tiene un área del orden de
<math>A_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 1{,}8\times 10^4\,\text{m}^2</math>,
frente a
<math>A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi R H \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{m}^2</math>
en el caso del cilindro.
La razón entre ambas áreas es aproximadamente
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}4,
</math>
</div>
por lo que el cilindro presenta una superficie expuesta alrededor de un 40 % mayor
que la torre hiperbólica.

Respecto a la presión media (fuerza por unidad de superficie), en la torre hiperbólica
se obtiene
<math>P_{\text{media}}^{\text{(hip)}} \approx 3{,}1\times 10^2\,\text{Pa}</math>,
mientras que en el cilindro resulta
<math>P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\,\text{Pa}</math>.
La relación entre ambas es
<div style="text-align:center">
<math>
\frac{P_{\text{media}}^{\text{(cil)}}}{P_{\text{media}}^{\text{(hip)}}}
\approx 1{,}06,
</math>
</div>
de modo que la presión media sobre la superficie es muy similar en ambas geometrías
(solo un ~6 % mayor en el cilindro).

La comparación muestra que la diferencia importante no está en el valor medio
de la presión, que viene determinado por el campo <math>P(z)</math>, sino en cómo se
distribuye la superficie con la altura.
En la torre hiperbólica el radio disminuye en la zona central (estrangulamiento),
donde las velocidades de viento suelen ser mayores, y por tanto se reduce de forma
eficaz la superficie expuesta allí donde la presión es más intensa.
En el cilindro el radio se mantiene constante; la superficie expuesta crece
linealmente con la altura y no hay “adelgazamiento” en las zonas de mayor viento.

Como consecuencia, la torre hiperbólica consigue una fuerza total menor, con una
superficie expuesta también menor, mientras que el cilindro concentra mayores
esfuerzos laterales y exigiría, en principio, una estructura más robusta para
resistir el viento.
Esta comparación apoya la idea de que las torres de enfriamiento hiperbólicas
constituyen una geometría más eficiente frente al viento que un cilindro de igual
altura y radio máximo, ya que reducen las cargas laterales manteniendo su función
con menos material estructural.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|530px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Archivo:Torres de Enfriamiento Hiperbólicas.pdf

2025-12-06T18:14:43Z

Miguel.cervigon:

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:11:34Z

Miguel.cervigon: /* Representación gráfica de Q(z) en función de z */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|530px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:09:24Z

Miguel.cervigon: /* Representación grafica de Q(z) en función de z */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación gráfica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen|derecha|Evolución del caudal Q(z)]]

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Dominio en altura ---
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave

% --- Geometría: variación lineal del radio ---
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Caudal Q(z) ---
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Máximo y anotación ---
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:C43.jpg|530px|centro|Evolución del caudal Q(z)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Geometría:</strong> el radio crece linealmente <span class="mathjax-wrapper">[math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math]</span>.</li>
<li><strong>Perfil vertical:</strong> la aceleración se modela con <span class="mathjax-wrapper">math^{0.6}[/math]</span>.</li>
<li><strong>Caudal:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math]</span> (área efectiva con perfil parabólico).</li>
<li><strong>Máximo:</strong> se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:07:33Z

Miguel.cervigon: /* Representación grafica de Q(z) en función de z */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% Definición del dominio
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% Geometría: Variación Lineal del Radio
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% Física: Cálculo del Caudal Q(z)
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% Visualización de Resultados
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% Análisis de máximos
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
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<br/>
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<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:06:30Z

Miguel.cervigon: /* Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:05:01Z

Miguel.cervigon: /* Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);

% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T18:01:21Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo escalar P(z) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:56:07Z

Miguel.cervigon: /* Representación grafica de la superficie parametrizada */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;

% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;">🟧 Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Interpretación:</strong> para <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span> grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en <span class="mathjax-wrapper">[math]v=0[/math]</span>).</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:53:00Z

Miguel.cervigon: Se ha deshecho la revisión 102356 de Miguel.cervigon (disc.)

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:51:59Z

Miguel.cervigon: /* Representación grafica de la superficie parametrizada */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación gráfica de la superficie parametrizada ===

Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos <math>v=\dfrac{z-z_0}{c}</math>), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Superficie hiperboloide de revolución: parametrización y gráfica
clear; clc; close all;

% 1) Parámetros geométricos
a = 30; % radio mínimo (garganta)
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2) Rango paramétrico
u = linspace(0, 2*pi, 180); % ángulo azimutal
v_min = (0 - z0)/c; % v para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % v para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 220); % parámetro vertical
[U, V] = meshgrid(u, v);

% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coords cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v, x=r*cos(u), y=r*sin(u)
R = a .* sqrt(1 + V.^2);
X = R .* cos(U);
Y = R .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, V, 'EdgeColor','none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Superficie hiperboloide parametrizada');
colormap(turbo); cb=colorbar; cb.Label.String='Parámetro v';
view(35,25); camlight headlight; lighting gouraud
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|413px|derecha|Superficie parametrizada (hiperboloide)]]
</div>
<div style="background-color: #fff3e0; border-left: 6px solid #fb8c00; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #e65100;">
<h4 style="margin-top:0;"> Puntos clave</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Parametrización:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math]</span>.</li>
<li><strong>Rangos:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,2\pi][/math]</span>, <span class="mathjax-wrapper">[math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math]</span>.</li>
<li><strong>Geometría:</strong> la sección a altura fija es circular y el radio crece con <span class="mathjax-wrapper">[math]|v|[/math]</span>, formando la silueta hiperboloidal.</li>
</ul>
</div>
</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:47:36Z

Miguel.cervigon: /* Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de fuerzas sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:46:41Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo escalar P(z) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:44:35Z

Miguel.cervigon: /* Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #9c27b0; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">🎈 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:43:00Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal ===

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros de la torre ---
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- V(z) y P(z) (ley de potencia) ---
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica

% --- Malla paramétrica (theta, z) completa ---
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt

% --- Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz) ---
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- Presión P(z) (uniforme en theta para cada z) ---
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1 ---
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria

% --- Dirección del viento (horizontal) ---
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% --- Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz) ---
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);

% --- Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0 ---
mask_windward = (dotNW < 0);

% --- Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa) ---
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);

% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;

% --- Gráfica: superficie coloreada por P_eff ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)

% --- Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #f3e5f5; border-left: 6px solid #4caf50; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #4a148c;">
<h4 style="margin-top:0;">✅ Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> se visualiza barlovento mediante <math>\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}<0\,\}</math>.</li>
<li><strong>Presión efectiva:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math]</span>, mayor donde la normal “mira” al viento.</li>
<li><strong>Altura:</strong> al crecer <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math]</span>, también crece <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>, destacando cotas altas.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
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<br/>
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<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:40:09Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo escalar P(z) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #e8f5e9; border-left: 6px solid #1b5e20; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#4caf50;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:36:08Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo escalar P(z) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#e8f5e9;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:34:56Z

Miguel.cervigon: /* Representación del campo escalar P(z) */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===
El viento sopla en dirección:

<div style="text-align:center; margin:10px 0;">
<math>
\vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1
</math>
</div>

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;

% --- Parámetros del viento (ley de potencia) ---
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]

% --- Geometría hiperboloide (parámetros) ---
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% --- Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento) ---
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);

% --- Coordenadas paramétricas de la superficie ---
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;

% --- Campo de velocidad y presión dinámica ---
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2

% --- Punto de máxima presión ---
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);

% --- Gráfica de la superficie con mapa de presión ---
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)

% --- Resaltado del máximo ---
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 420px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Ley de potencia:</strong> <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math]</span> ⇒ presión crece con la altura: <span class="mathjax-wrapper">[math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math]</span>.</li>
<li><strong>Mitad expuesta:</strong> el mallado usa <span class="mathjax-wrapper">[math]u\in[0,\pi][/math]</span> para representar solo la cara al viento.</li>
<li><strong>Máximo de presión:</strong> marcado con punto azul; coincide con las cotas más altas donde <span class="mathjax-wrapper">[math]V(z)[/math]</span> es mayor.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:30:23Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).

=== Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos) ===

Representamos el **campo de velocidad vertical** \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.

<div style="display: flex; flex-wrap: nowrap; gap: 24px; background-color: #ffffff; padding: 24px; border-radius: 14px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 36px; align-items: flex-start;">


<div style="flex: 1 1 auto; min-width: 420px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 8px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>


<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 14px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Div 6.png|400px|centro|Mapa de divergencia en sección vertical]]
</div>
<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 14px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Claves rápidas</h4>
<ul style="padding-left: 18px; margin: 0;">
<li><strong>Perfil parabólico:</strong> contornos de <math>v_z</math> muestran núcleo rápido y paredes lentas.</li>
<li><strong>Cambio de signo:</strong> contornos en <math>\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}</math> resaltan aceleración (+) y deceleración (–).</li>
<li><strong>Garganta:</strong> variaciones fuertes cerca de <math>z\approx z_0</math> por el estrechamiento <math>\rho_{\text{torre}}(z)</math>.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:18:55Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:18:31Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]

<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
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<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:16:05Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:15:45Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
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<br/>
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<br/>
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<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:14:43Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
</div>
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
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<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:12:25Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>

=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.

Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)

2025-12-06T17:12:12Z

Miguel.cervigon: /* Grafico de la divergencia dado por un mapa de color */

{{ TrabajoED | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal}}

[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas ==
[[Archivo:OIP.png|miniaturadeimagen|derecha|Central Nuclear de Temelín, en la República Checa]]
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
<br/>
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.

== Modelo geométrico del hiperboloide ==
<br/>Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura <span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]</span> , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>
<p>Donde
</p>
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]Rmax=55m,\qquad Rmin=30m,\qquad H=150m[/math]</span></center>
y
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math] a=Rmin,\qquad c= Parámetro \ de \ curvatura,\qquad z_0= Centro \ del \ hiperboloide[/math]</span></center>
=== Ecuación del hiperboloide y parámetros ===
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros <b>a, c y z<sub>0</sub></b>, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
<center><span class='mathjax-wrapper'>[math]\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}[/math]</span></center>
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Sabiendo que en coordenadas cilíndricas <b>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup></b>, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

*Se conocen los siguientes datos:
Centro en z<sub>0</sub> = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρ<sub>min</sub> = 30 m, radio máximo ρ<sub>max</sub> = 55 m.
<br />

* Empezaremos calculando el paremetro <b>a</b>:

Sabemos que en el plano <b>z = z<sub>0</sub></b>, el segundo término de la ecuación:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

se anula porque <b>(z - z<sub>0</sub>)</b> = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide.
Por tanto, la ecuación se simplifica a:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{\rho^2}{a^2} = 1[/math]</span></center>
Sustituimos ρ = 30 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{30^2}{a^2} = 1 \implies a = 30 \text{ m}[/math]</span></center>

Con el parámetro <b>a</b> ya calculado, el cálculo del parámetro <b>c</b> se facilita enormemente:
<br />
Con a = 30 m y ρ = 55 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{55^2}{30^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]</span></center>

Despejamos:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{(z - z_0)^2}{c^2} = \frac{55^2}{30^2} - 1[/math]</span></center>

Calculamos con z - z<sub>0</sub> = 100 m:

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{100^2}{c^2} = \frac{3025}{900} - 1 = 2.361[/math]</span></center>

<center><span class="mathjax-wrapper">[math]\frac{10000}{c^2} = 2.361 \implies c^2 = \frac{10000}{2.361} \approx 4236.7 \implies c \approx 65.079 \text{ m}[/math]</span></center>
<br />
* Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
<center><span class="mathjax-wrapper">[math]a = 30 \text{ m}, \quad c \approx 65.079 \text{ m}, \quad z_0 = 100 \text{ m}[/math]</span></center>

=== Representación grafica de la superficie parametrizada ===
Primero se establecen los parámetros con sus distintos rangos (se define <math> v=\dfrac{z-z_0}{c} </math>) , después se definen las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en la expresión en coordenadas cilíndricas) y por último se grafica la función.
[[Archivo:T.enfriamiento-2.png|miniaturadeimagen|413px|derecha|]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% 1
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total

% 2
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);

[U,V] = meshgrid(u,v);

% 3
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% 4
figure;
surf(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
}}</div>

== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo ==
A lo largo del mundo existen una serie de <b>famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas</b>, las más destacadas son las siguientes:
[[Archivo:torrecanton.jpg|190px|miniaturadeimagen|Torre de Cantón]]
<br />
* <b> Central nuclear de Cofrentes (España)</b>
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
<br />
*<b>Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa</b>:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
*<b>Central térmica de Niederaussem (Alemania)</b>:
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
* <b>Las torres de Didcot (Reino Unido)</b>:
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.

<br />
<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]</span>
<br />

1. <b>Torre Shabolovka (Moscú)</b><br>
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
<br />
2. <b>Torre de Cantón (Guangzhou, China):</b><br>
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.

== Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica ==
<br />
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:

<br>
<center>[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_{ref}} \right)^{\alpha}[/math]</center>
<br/>
Y la presión dinámica del viento:

<br>
<center>[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \varrho_{aire} V(z)^2[/math]</center>
<br/>

<span class='mathjax-wrapper'>[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]</span>
<br />
[[Archivo:Cilindro vs hiperbole.png|miniaturadeimagen|380px|derecha|La "doble curvatura" del hiperboloidele otorga mayor resistencia a esfuerzos. Nótese que el punto de mayor resistencia está en el estrechamiento, donde la curvatura es más pronunciada.]]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
<br/>

El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
<br/>

Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
<br/>
<br/>
<br/>

== Análisis en profundidad de la presión del viento ==

=== Representación del campo escalar P(z) ===

El viento sopla en dirección del vector:
<center><span class="mathjax-wrapper"> v = [math]-\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j})[/math]</span></center>

<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 4.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal
clear; clc; close all;

% Parámetros del viento
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad aire [kg/m^3]

% Geometría de la torre
a = 30; % radio mínimo [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]

% Mallado paramétrico (media torre)
u = linspace(0, pi, 100); % mitad expuesta
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 200);
[U,V] = meshgrid(u,v);

% Coordenadas
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;

% Calcular velocidad y presión en cada altura
Vwind = V0 * (Z / zref).^alpha; % ley de potencia
Pwind = 0.5 * rho_air .* Vwind.^2; % presión dinámica

% Encontrar punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[maxRow, maxCol] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(maxRow, maxCol);
Ymax = Y(maxRow, maxCol);
Zmax = Z(maxRow, maxCol);

% Graficar superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X,Y,Z,Pwind,'EdgeColor','none');
axis equal;
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet);
colorbar;

% Marcar punto de máxima presión
hold on;
plot3(Xmax,Ymax,Zmax,'ko','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',10);
text(Xmax,Ymax,Zmax+5,sprintf('Max P = %.1f Pa',maxP),'Color','k','FontSize',10);

}}
</div>
<br />

=== Representación del campo vectorial de fuerza sobre la superficie expuesta ===
La presión de viento genera cierta fuerza sobre la superficie expuesta su representación gráfica es la siguiente:
<div style="float:right; text-align:center; margin-left:20px;">
[[Archivo:A1 5.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mapa de presión sobre la torre]]
</div>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% --- Parámetros de la torre (ya calculados)
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = 2/3*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide

% --- Definir V(z) y P(z)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204;
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2;

% --- Malla paramétrica (theta, z) COMPLETA (0..2pi)
nt = 120; nz = 200;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % size nz x nt

% --- radio r(z)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt

% --- coordenadas cartesianas de la superficie (transpuestas para nt x nz)
X = (r .* cos(TH))'; % nt x nz
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz

% --- valores P(z) (igual para todas las theta a una z dada)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz

% --- Gradiente de G: G = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
% ∇G = [2x/a^2, 2y/a^2, -2(z-z0)/c^2]
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;

% --- Normal unitario (hacia exterior)
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag;
Ny = Gy ./ Nmag;
Nz = Gz ./ Nmag;

% --- Fuerza: F = -P(z) * n
Fx = -Pz .* Nx;
Fy = -Pz .* Ny;
Fz = -Pz .* Nz;

% === Dirección del viento (horizontal) ===
% azimut en grados medido desde +X hacia +Y (sentido antihorario).
az_deg = 45; % ejemplo: viento del Suroeste hacia el Noreste (apunta a NE)
az = deg2rad(az_deg);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario

% Producto escalar n·w_hat (usar la normal exterior)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3); % nt x nz

% --- Máscara de la mitad expuesta a barlovento:
% puntos donde la presión empuja hacia dentro: F = -P n (⇒ n·w_hat < 0)
mask = (dotNW < 0);

% Aplicar máscara (ocultamos la otra mitad con NaN)
X(~mask) = NaN; Y(~mask) = NaN; Zt(~mask) = NaN;
Fx(~mask) = NaN; Fy(~mask) = NaN; Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure('Color','w')
Fmag = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2 + Fz.^2);
surf(X, Y, Zt, Fmag, 'EdgeColor','none', 'FaceAlpha',0.9)
axis equal
xlabel('x (m)'), ylabel('y (m)'), zlabel('z (m)')
title(sprintf('Campo F = -P(z)·n (mitad expuesta, azimut viento = %d°)', az_deg))
colormap(parula)
cb = colorbar; % evitar conflicto con 'c' geométrico
cb.Label.String = '||F|| (N)';

hold on
% muestreo para flechas (solo en la mitad expuesta, gracias a NaN)
step_t = 6; step_z = 7;
inds_t = 1:step_t:size(X,1);
inds_z = 1:step_z:size(X,2);
scale = 1;
quiver3( X(inds_t,inds_z), Y(inds_t,inds_z), Zt(inds_t,inds_z), ...
Fx(inds_t,inds_z), Fy(inds_t,inds_z), Fz(inds_t,inds_z), ...
scale, 'k', 'LineWidth', 1 )
view(185,25)
grid on
hold off
}}</div>

=== Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie ===

Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.

* El viento genera una presión que solo depende de la altura:
<div style="text-align:center">
<math>
V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha,
\quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17.
</math>
</div>

* La presión dinámica del viento es:
<div style="text-align:center">
<math>
P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2,
</math>
</div>
Donde se toma como densidad del aire estandar, <math>\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3</math>

Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:

<div style="text-align:center">
<math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1,
</math>
</div>
y con:
* Altura total: <math>H = 150\,\text{m}</math>.
* Radio máximo en la base: <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>.
* Radio mínimo (estrangulamiento): <math>R_{\min} = 30\,\text{m}</math>, a la altura
* Elegimos <math>z_0 = h = 100\,\text{m}</math> y <math>a = R_{\min} = 30\,\text{m}</math>.

Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, <math>\rho</math>):
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2}
= a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}.
</math>
</div>
Imponiendo que en la base <math>z=0</math> el radio sea <math>R_{\max} = 55\,\text{m}</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
R_{\max}^2
= a^2\left(1 + \frac{z_0^2}{c^2}\right)
\;\Longrightarrow\;
c^2 = \frac{z_0^2}{\dfrac{R_{\max}^2}{a^2}-1}.
</math>
</div>
Con los valores numéricos:
<math>
H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55,
</math>
se obtiene aproximadamente <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>.

Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando <math>(\theta,z)</math> como parámetros:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r(\theta,z) =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr).
</math>
</div>
* <math>z</math> recorre la altura: <math>0 \le z \le H</math>.
* <math>\theta</math> recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre <math>0 \le \theta < 2\pi</math>.
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo:
<math>
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},
</math>
que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.

El elemento de área es:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Calculamos las derivadas parciales:

* Derivada respecto a <math>\theta</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta =
\bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr).
</math>
</div>
* Derivada respecto a <math>z</math>:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_z =
\bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr),
</math>
</div>

El producto vectorial (simplificado) es:
<div style="text-align:center">
<math>
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z =
\bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr).
</math>
</div>
Su módulo:
<div style="text-align:center">
<math>
\bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr|
= \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2}
= \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}.
</math>
</div>
Por lo tanto:
<div style="text-align:center">
<math>
dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.

La derivada de <math>\rho(z)</math> a partir de la fórmula del hiperboloide es:
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}}
\;\Longrightarrow\;
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Finalmente laIntegral de la fuerza total se define como:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS
= \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz.
</math>
</div>
Como <math>P(z)</math> no depende de <math>\theta</math>, la integral en <math>\theta</math> se puede sacar:
<div style="text-align:center">
<math>
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi.
</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}}
= \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz,
</math>
</div>
<div style="text-align:center">
<math>
\rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}},\quad
\rho'(z) =
\frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}.
</math>
</div>

Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de <math>1</math> sobre esa superficie:

<div style="text-align:center">
<math>
A_{\text{media}}
= \iint_{S_{\text{media}}} dS
= \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz
= \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz.
</math>
</div>

La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:

<div style="text-align:center">
<math>
P_{\text{media}}
= \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}}
= \frac{\displaystyle \int_0^H
P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}
{\displaystyle \int_0^H
\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}.
</math>
</div>

Obsérvese que el factor <math>\pi</math> se simplifica.

Valor numérico aproximado si se evalúan las integrales numéricamente:

* <math>H = 150\,\text{m}</math>,
* <math>a = 30\,\text{m}</math>, <math>z_0 = 100\,\text{m}</math>,
* <math>c \approx 65{,}08\,\text{m}</math>,
* <math>\rho_{\text{aire}} = 1{,}204\,\text{kg/m}^3</math>,
* <math>V(z) = 18\,(z/10)^{1/7}</math>,

Se obtiene aproximadamente:

* Fuerza total sobre la mitad de la torre:
<math>
F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}.
</math>

* Área de la mitad de la torre:
<math>
A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2.
</math>

* Fuerza por unidad de superficie (presión media):
<math>
P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}.
</math>

=== Comparación de la fuerza lateral con una torre cilíndrica ===

Queremos la fuerza total del viento sobre la mitad de la superficie lateral de un cilindro de radio R y altura H, y compararla con la torre hiperbólica, usando la dirección original del viento del enunciado:

<center><math>
\vec w = -\frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j),
\qquad
\lVert \vec w\rVert = 1.
</math></center>

Utilizamos el razonamiento del apartado anterior para calcular la fuerza del viento en lo que sería una torre cilindrica.
<div style="text-align:center">
<math>
F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS.
</math>
</div>

* Empezaremos parametrizando la superficie lateral del cilindro:

<center><math>
\vec r(\theta,z)
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr),
\quad
0\le z\le H,
\quad
0\le\theta<2\pi.
</math></center>

Y calcularemos los vectores tangentes:

<center><math>
\vec r_\theta = \frac{\partial\vec r}{\partial\theta}
= \bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr),
\qquad
\vec r_z = \frac{\partial\vec r}{\partial z}
= (0,0,1).
</math></center>

El producto vectorial resultante dará como resultado el vector normal (no unitario) y el elemento de superficie:

<center><math>
\vec r_\theta\times\vec r_z
= \bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0\bigr),
\qquad
\bigl\lvert\vec r_\theta\times\vec r_z\bigr\rvert = R,
</math></center>
<br />

Por lo tanto, el elemento diferencial de superficie y el vector normal unitario son:
<math> dS = R\, d\theta\, dz,
\qquad
\vec n(\theta) = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 0)</math>

*La fuerza elemental en la dirección del viento la obtendremos proyectando la presión sobre la normal y multiplicando por el elemento de superficie:
<center><math>
\mathrm dF
= (-P(z)\,\vec n\cdot\vec w)\,\mathrm dS
= P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

* Para obtener la fuerza total sobre la parte expuesta del cilindro, tendremos que integrar la fuerza elemental sobre el rango angular y la altura:
<center><math>
F
= \int_{z=0}^H\int_{\theta=-\pi/4}^{3\pi/4}
P(z)\,\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
</math></center>

Como P(z) no depende de θ, sacaremos y separamos la integral:

<center><math> F = R \int_0^H P(z)\,\left[\frac{1}{\sqrt{2}}
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta\right]\mathrm dz </math></center>

La integral en θ se calculara fácilmente:

<center><math>
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} (\cos\theta + \sin\theta)\,\mathrm d\theta
= [\sin\theta - \cos\theta]_{-\pi/4}^{3\pi/4} = 2\sqrt{2}.
</math></center>
Sustituimos en la expresión de la fuerza:

<center><math>
F
= R\int_0^H P(z)\,
\frac{1}{\sqrt2}\,\bigl(2\sqrt2\bigr)\,\mathrm dz
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

La fuerza del viento en la dirección dada sobre la mitad de la superficie expuesta:

<center><math>
F_{\mathrm{cil}}
= 2R\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

* El área de la mitad de la superficie lateral del cilindro es:

<center><math>
S_{\mathrm{cil},1/2}
= \int_0^H\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} R\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz
= RH\left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
= \pi R H.
</math></center>
<br />

Por tanto, la fuerza media por unidad de superficie sobre la mitad expuesta del cilindro es

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2R\displaystyle\int_0^H P(z)\,\mathrm dz}{\pi R H}
= \frac{2}{\pi H}\int_0^H P(z)\,\mathrm dz.
</math></center>

Sustituimos la expresión de P(z) en funcion de la velocidad del viento:

<center><math>
P(z) = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\!\left(\tfrac{z}{z_{\mathrm{ref}}}\right)^{2\alpha}
= C\,z^{2\alpha},
\qquad
C = \tfrac{1}{2}\,\rho\,V_0^2\,z_{\mathrm{ref}}^{-2\alpha} \approx 1.01\times10^2\;\text{Pa}
</math></center>

Así la integral se simplificara enormemente a:

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz = C \int_0^H z^{2\alpha}\,\mathrm dz
= C\,\frac{H^{2\alpha+1}}{2\alpha+1}
</math></center>

En nuestro caso, con
<math> \alpha = \tfrac17,</math> se tiene <math> 2\alpha + 1 = \tfrac{9}{7} </math>
, y por tanto

<center><math>
\int_0^H P(z)\,\mathrm dz
= C\,\frac{7}{9}H^{9/7}.
</math></center>

Sustituyendo en la fuerza media por unidad de superficie:

<center><math>
\frac{F_{\mathrm{cil}}}{S_{\mathrm{cil},1/2}}
= \frac{2}{\pi H}\,C\,\frac{7}{9}H^{9/7}
= \frac{14}{9\pi}\,C\,H^{2/7}
\approx 209\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2}
</math></center>

Los resultados finales nos dicen que para una misma altura y radio máximo, <math> H=150 , R=55 </math>, la superficie expuesta de la torre cilíndrica es mucho mayor que la de la hiperbólica: <b>26000 m<sup>2</sup> del cilindro vs 18000 m<sup>2</sup> del hiperboloide</b>
<br />
Esto implica que la torre hiperbólica requiere menos material.
Además, la torre cilíndrica soporta una fuerza media superior:
<math>310\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> frente a
<math>209\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}</math> en la hiperbólica
lo que confirma que la torre hiperbólica es más eficiente estructuralmente.

== Flujo de aire y convección ==
=== ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical) ===

Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el <strong>perfil parabólico</strong> de la velocidad (más rápido en el centro) y la <strong>aceleración vertical</strong> debido al calentamiento.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #007acc; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Modelado
</div>
{{matlab|codigo=
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;

%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;

% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );

%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;

% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);

%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);

% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;

Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera

%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;

hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);

% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);

title('Perfil de Velocidad Vertical');
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:B1 4.png|400px|centro|Perfil vertical de velocidad]]
</div>

<div style="background-color: #eef6fc; border-left: 6px solid #2196F3; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#0d47a1;">🔍 Lo que nos dicen los datos:</h4>
<p style="margin-bottom: 10px;">Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:</p>
<ul style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Efecto Capa Límite:</strong> En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Núcleo Rápido:</strong> En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).</li>
<li style="margin-bottom:8px;"><strong>Aceleración:</strong> A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire <em>gana velocidad</em> conforme asciende.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>

2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)

Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el <strong>estrangulamiento</strong> de la garganta afecta al área de paso del flujo.

<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08);">

<div style="flex: 1; min-width: 400px;">
<div style="font-weight: bold; color: #e91e63; margin-bottom: 10px; text-transform: uppercase; font-size: 0.9em;">
</> Script de Animación
</div>
{{matlab|codigo=
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;

%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;

% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);

%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');

%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);

% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);

% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular

% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);

title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;

% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
}}
</div>

<div style="flex: 0 0 400px; display: flex; flex-direction: column; gap: 20px;">

<div style="border: 1px solid #ddd; border-radius: 12px; overflow: hidden; box-shadow: 0 4px 10px rgba(0,0,0,0.05);">
[[Archivo:Torre_resizedMiguelC.gif|400px|centro|Animación de cortes horizontales]]
</div>

<div style="background-color: #fff0f5; border-left: 6px solid #e91e63; padding: 20px; border-radius: 0 8px 8px 0; color: #444;">
<h4 style="margin-top:0; color:#880e4f;">💡 Interpretación del movimiento:</h4>
<p>Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:</p>
<ol style="padding-left: 20px; margin: 0;">
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La base (Inicio):</strong> El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La garganta (Z=100m):</strong> Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".</li>
<li style="margin-bottom:10px;"><strong>La cima (Final):</strong> El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.</li>
</ol>
</div>
</div>
</div>

=== Divergencia del campo de velocidades ===

'''Campo de velocidad:'''
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

'''Divergencia en cilíndricas:'''
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta}(v_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Al solo tener componente vertical (<math>v_z</math>), la expresión se simplifica:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z) \right) </math></center>

Sustituimos la expresión de la velocidad:
<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[ \rho \cdot v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

Al ser derivada respecto de <math>z</math>, se puede sacar el <math>\rho</math> de dentro de la derivada y simplificarla con el <math>\frac{1}{\rho}</math> de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a <math>z</math>:

<center><math> \nabla \cdot \vec{v} = v_{max} \left[ \frac{2\rho^2 R'(z)}{R(z)^3} \cdot \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} + \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \cdot \frac{0,6}{z} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \right] </math></center>

* '''Zona 1: Del suelo hasta la garganta (<math>z=0 \to z=100</math>)'''
** Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye ('''Negativo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

* '''Zona 2: De la garganta a la parte más alta (<math>z=100 \to z=150</math>)'''
** Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta ('''Positivo''').
** Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico ('''Positivo''').

:<math> \Rightarrow \text{Es positiva} </math>

Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:

# '''Expansión térmica:''' El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
# '''Tiro vertical:''' Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
==== Grafico de la divergencia dado por un mapa de color ====
[[Archivo:Div 6.png|miniaturadeimagen|400px|]]
<div style="display: flex; flex-wrap: wrap; gap: 30px; background-color: #ffffff; padding: 30px; border-radius: 15px; box-shadow: 0 8px 20px rgba(0,0,0,0.08); margin-bottom: 50px;">
<div style="float:left; text-align:left; margin-right:20px;">
<div style="flex: 1; min-width: 400px;">

</> Script de Modelado
{{matlab|codigo=
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;

% ---------------- Parámetros geométricos y de flujo ----------------
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres

% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)

% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);

% ---------------- Malla de cálculo (sección X-Z) -------------------
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección

% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);

% ----------------- Campo v_z(rho,z) y su divergencia ----------------
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;

% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);

% --------------- Enmascarar exterior de la torre -------------------
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;

% -------------------------- Gráficos -------------------------------
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])

subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
}}
</div>
</div>
</div>
<br />
<br />
<br />

=== Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z ===

Nos piden calcular:
<center><math> Q(z) = \iint_S v_z(\rho, z) dS </math></center>

En coordenadas cilíndricas <math> dS = \rho d\rho d\theta </math>:
*<math> 0 \le \theta \le 2\pi </math>
*<math> 0 \le \rho \le R(z) </math>

Planteamos la integral:
<center><math> Q(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(z)} \underbrace{v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6}}_{\text{constante}} \cdot \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \underbrace{\rho d\rho d\theta}_{\text{Jacobiano}} </math></center>

Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R(z)} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \rho d\rho </math></center>

Resolvemos la integral radial:
<center><math> \int_{0}^{R(z)} \left( \rho - \frac{\rho^3}{R(z)^2} \right) d\rho = \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4 R(z)^2} \right]_{0}^{R(z)} </math></center>

Evaluando en los límites:
<center><math> = \left[ \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^4}{4 R(z)^2} \right] = \frac{R(z)^2}{2} - \frac{R(z)^2}{4} = \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
<center><math> Q(z) = v_{max} \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} \cdot 2\pi \cdot \frac{R(z)^2}{4} </math></center>

Resultado final:
<center><math> Q(z) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(z)^2 \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>
[[Archivo: perfilvscaudal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<br/>
# '''¿Es el caudal constante o varía con la altura?'''
#: Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen <math>z</math> y <math>R(z)</math>, ambas variables dependientes de la altura. <br/>
# '''¿Qué implica esto físicamente?'''
#: Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.<br/>
# '''¿Dónde es máximo y por qué?'''
#: La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
<br/>
<br/>
<br/>

==== Representación grafica de Q(z) en función de z ====
[[Archivo:C43.jpg|530px|miniaturadeimagen]]
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
El siguiente script define el vector de alturas, modela la variación del radio <math>R(z)</math> y calcula el caudal acumulado en cada sección

<syntaxhighlight lang="matlab">
% --- Parámetros del modelo ---
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)

% --- Definición del dominio ---
% Creamos un vector de 200 puntos para tener resolución suave
z = linspace(0, H, 200);

% --- Geometría: Variación Lineal del Radio ---
% Modelamos el ensanchamiento progresivo de la torre
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);

% --- Física: Cálculo del Caudal Q(z) ---
% Integra el perfil de velocidad sobre el área de sección variable
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);

% --- Visualización de Resultados ---
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % Línea naranja
xlabel('Altura z (m)');
ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;

% --- Análisis de máximos ---
[maxQ, idx] = max(Q);
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
</syntaxhighlight>

=== Cálculo de la potencia disipada===

Calculamos la potencia térmica disipada:
<center><math> \dot{Q} = \rho_{aire} c_p Q(H) (T_{base} - T_{top}) </math></center>

'''Datos:'''
* <math> c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) </math>
* <math> \Delta T_z = 38^\circ C </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math> (Buscado)
* <math> v_{max} = 4 \, m/s </math>

'''Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:'''
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} v_{max} R(H)^2 \cdot \underbrace{\left( \frac{H}{H} \right)^{0,6}}_{1} \Rightarrow Q(H) = 2\pi R(H)^2 </math></center>

Necesitamos el radio en la cima (<math>R(z)</math>):
<center><math> R(z) = a \sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \rightarrow R(150) = 30 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{4235,4}} = 37,82 \, m </math></center>

Sustituimos en el caudal:
<center><math> Q(H) = \frac{\pi}{2} (4) (37,82)^2 \approx 8987 \, m^3/s </math></center>

'''Calculamos la potencia:'''
<center><math> \dot{Q} = 1,225 \cdot 1005 \cdot 8987 \cdot 38 = 420.450.000 \, W = 420,45 \, MW </math></center>
Análisis con Radio mínimo = 20m

Habrá que calcular una nueva <math>c</math> (<math>c'</math>) con <math>a=20</math>:
<center><math> 55 = 20 \sqrt{1 + \frac{100^2}{c'^2}} \Rightarrow c' = 1523,8 </math></center>

Nuevo radio en la cima:
<center><math> R'(150) = 20 \sqrt{1 + \frac{(150-100)^2}{1523,8}} = 32,5 \, m </math></center>

Nuevo caudal:
<center><math> Q'(H) = \frac{\pi}{2} (4) (32,5)^2 = 6636 \, m^3/s </math></center>

Es menor debido a que se cumple <math>Q = V \cdot A</math>. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.

Conclusiones sobre el estrangulamiento:
<br/>
* '''¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?'''
*: Como se ha explicado antes con la relación <math>Q = V \cdot A</math>, al reducir el área, se reduce el flujo.

* '''¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?'''
*: Sí. Estrechar el cuello tiene de '''positivo''' una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
*: Tiene de '''negativo''', como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
[[Archivo:Estrechamientovspotencia.png|500px|left|miniaturadeimagen|Efecto del radio mínimo sobre el caudal y la potencia disipada]]
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=== Análisis del número de Reynolds en el flujo ===

El número de Reynolds caracteriza el flujo:
<center><math> Re = \frac{\rho v_{tipica} L}{\mu} </math></center>

'''Datos:'''
* <math> \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s </math>
* <math> \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 </math>
* Longitud característica: <math> L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m </math>

'''Cálculo de velocidad típica:'''
Evaluamos en el centro (<math>\rho=0</math>) y a la altura de la garganta (<math>z=2/3 H</math>):
<center><math> v_z(\rho, z) = v_{max} \left( 1 - \frac{\rho^2}{R(z)^2} \right) \left( \frac{z}{H} \right)^{0,6} </math></center>

Al ser <math>\rho=0</math> se simplifican los cálculos:
<center><math> v_{tipica} = 4 \cdot 1 \cdot (0,667)^{0,6} = 4 \cdot 0,784 = 3,136 \, m/s </math></center>

'''Sustituimos en el número de Reynolds:'''
<center><math> Re = \frac{1,225 \cdot 3,136 \cdot 60}{1,8 \cdot 10^{-5}} = 12.805.555 = 1,28 \cdot 10^7 </math></center>

Régimen del flujo

Por convención:
* Si <math> Re < 2000 \to </math> Laminar
* Si <math> Re > 2000 \to </math> Turbulento

El régimen es '''extremadamente turbulento'''.

¿Por qué es tan alto?
En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.