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Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-06T09:37:33Z

Miguel.batta: /* Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===

El parámetro '''a''' controla la escala radial del hiperboloide en el plano horizontal ''xy''.
Específicamente, determina el radio de las secciones circulares que se obtienen al cortar la superficie
con planos paralelos al plano ''xy''. Cuanto mayor sea el valor de ''a'', más ancho será el hiperboloide
en cada nivel de altura ''z'', lo que implica una expansión más pronunciada en las direcciones ''x'' y ''y''.
En términos geométricos, ''a'' define el tamaño mínimo de las circunferencias que forman la “cintura” del hiperboloide. 

El parámetro '''c''' regula la apertura del hiperboloide en la dirección vertical ''z''.
Actúa como un factor de escala que controla cuán rápido se ensancha la superficie conforme nos alejamos
del plano central ''z = z₀''. Un valor grande de ''c'' produce una apertura más suave y extendida,
mientras que un valor pequeño genera una forma más estrecha y cerrada. En esencia, ''c'' define la curvatura
vertical del hiperboloide y afecta la forma de las hipérbolas que aparecen en las secciones longitudinales. 

El parámetro '''z₀''' representa el desplazamiento vertical del centro del hiperboloide.
Es el valor de ''z'' en el cual se encuentra la sección más estrecha de la superficie, también conocida como
el cuello o el eje central. Al modificar ''z₀'', se traslada el hiperboloide hacia arriba o hacia abajo
en el espacio tridimensional sin alterar su forma. Este parámetro es clave para posicionar la superficie
en el contexto de un sistema de coordenadas, especialmente cuando se modelan estructuras físicas como
torres de refrigeración o cubiertas arquitectónicas. 

=== Cálculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
<math>
\begin{cases}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta \\
z = z
\end{cases}</math>

Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{x^2+y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1 \Rightarrow \frac{\rho^2 \cdot (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} {a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1}
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>\boxed{z_0=100}</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1 \Rightarrow \frac{30^2}{a^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = {30^2} \Rightarrow \boxed{a=30}</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1 \Rightarrow c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}} \Rightarrow \boxed{c≈65,079} </math></center>

=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot v^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
\boxed{F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa} \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math> 

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} v^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TC} = 102,787 \cdot 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}v^{2/7}\,dv = 5653,285 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \left[\frac{7 \cdot \sqrt[7]{v^9}}{9}\right]_{0}^{150} =5653,285 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4})\right) \cdot \frac{7 \cdot \sqrt[7]{150^9}}{9} = 5653,285 \pi \cdot 488,301
</math>

<math>\boxed{F_{TC} \approx 8672381,345 N} </math>

Para calcular el área lateral del cilindro afectada por el viento hacemos la integral de superficie:
<math> A_{C} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(u,v)\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot 55 \cdot [v]_{0}^{150} = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot 55 \cdot 150 = 55\pi \cdot 150 </math>

<math> \boxed{A_{C} \approx 25918,139 m^2}</math>

La fuerza por unidad de superficie en la mitad de la superficie cilíndrica es:
<math> \boxed{F_{usC} = \frac{F_{TC}}{A_{C}} \approx 334,607 Pa } </math>

Tomando los resultados del caso de la superficie hiperbólica y la cilíndrica tenemos que:
'''<math>F_{usH} < F_{usC} </math> , lo que indica que la superficie del cilindro soporta menos fuerza lateral que la superficie del hiperboloide.'''

'''<math>A_{H} < A_{C} </math> , esto implica que la superficie hiperbólica utiliza menos material que la superficie cilíndrica.'''
'''Por tanto, la superficie hiperbólica es estructuralmente más eficiente y estable frente a cargas laterales.''' 

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
Representa el campo escalar 𝑇(𝜌,𝑧) como un mapa de colores en una sección vertical que corte la torre por el eje de simetría y en varias secciones transversales. Añade colorbar ¿Dónde está el aire más caliente? 

Para la representación del campo escalar en Matlab necesitamos hallar la temperatura en el centro de la altura máxima de la torre, es decir: <math>\rho=0 \;y\; z=150 </math>

<math>T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right) </math>

<math>T_{\text{top}} = T(0, 150)= 65 - 38 \left( \frac{150}{150} \right)^{1,8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{0^2}{55^2 - 0^2}} \right) = 65 - 38 = 27^ºC</math>

==== Localización del punto más caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

A continuación se muestra el código de la representación del campo de temperatura a través de secciones transversales y de una sección vertical q pasa por eje de simetría:
[[Archivo:Torre_animacion.gif|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Secc_vert_temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

% Parámetros geométricos (m)
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura (ºC)
Tbase = 65; % Temperatura en la base
Ttop = 27; % Temperatura en la parte superior
DeltaTz = 38; % Caída de temperatura desde la base hasta el tope
DeltaTr = 8; % Variación radial de temperatura

n = 1.8; % Exponente de convección

%% 1. Animación de la torre
figure('Name', 'Animación de la Torre');
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical

for i = 1:length(z)
clf; % Limpiar figura
hold on;

for j = 1:i
zi = z(j); % Altura actual
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2); % Radio en esta altura

% Malla radial en el plano
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
rvec = linspace(0, r, 50);
[RR,TT] = meshgrid(rvec, theta);
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
Z = zi * ones(size(X));

% Temperatura en cada punto de la malla
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);
T = Tbase - DeltaTz * (zi/H)^n ...
- DeltaTr * (1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));

% Dibujar capa con gradiente de color
surf(X, Y, Z, T, 'EdgeColor','none');
end

% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con T(\rho,z)');
xlim([-Rmax, Rmax]);
ylim([-Rmax, Rmax]);
zlim([0, H]);
view(3); % Vista en 3D
axis equal;
pause(0.1); % Controlar velocidad de animación
end

%% 2. Campo de temperatura en el plano vertical
figure('Name', 'Plano Vertical del Campo de Temperatura');
z = linspace(0, H, 300); % Coordenada vertical
x = linspace(-Rmax - 10, Rmax + 10, 300); % Coordenada horizontal
[X, Z] = meshgrid(x, z); % Crear malla
R = sqrt((1 + ((Z - z0) / c).^2) * a^2); % Radio según el hiperboloide
r = abs(X); % Distancia radial
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-r.^2 ./ (Rmax^2 - r.^2))); % Campo de temperatura
mask = abs(X) <= R; % Máscara para limitar al hiperboloide
T(~mask) = NaN; % Fuera de la silueta, no mostrar
% Dibujar el campo de temperatura
contourf(X, Z, T, 50, 'LineColor', 'none');
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
hold on;
% Dibujar la silueta de la torre
x_sil_left = -R; % Lado izquierdo de la silueta
x_sil_right = R; % Lado derecho de la silueta
z_sil = z; % Coordenadas verticales
plot(x_sil_left, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta izquierda
plot(x_sil_right, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta derecha
% Configuración gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de T(\rho,z) en el eje central de la torre');
xlim([-Rmax - 10, Rmax + 10]);
ylim([0, H]);
grid on;
view(2); % Vista 2D
hold off;

</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\nabla T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_{\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo: <math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z</math>

Derivada respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_{\rho} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right) = \Delta T_{\rho} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right) </math>

Aplicamos regla de la cadena:<math>\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_{\rho} \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}\right) = \Delta T_{\rho} \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}}\cdot \left(- \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }\right) = \Delta T_{\rho} \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}}\cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:
<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:
<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===
En el siguiente recuadro se muestra el gradiente del campo de temperaturas en una sección vertical que pasa por el eje de simetría de la torre, más su respectivo código de Matlab para llevarlo a cabo. 
[[Archivo:Gradiente_temp_vert.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros del hiperboloide y el campo de temperatura
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura
Tbase = 65;
Ttop = 27;
DeltaTz = 38;
DeltaTr = 8;
n = 1.8;

% Definición de la malla
rho = linspace(-Rmax, Rmax, 100);
z = linspace(0, H, 100);
[R, Z] = meshgrid(rho, z);

% Ecuación del hiperboloide (en coordenadas 2D r-z)
hyperboloid_mask = (R.^2 / a^2 - (Z - z0).^2 / c^2) <= 1;

% Campo de temperatura T(r, z)
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr*(1 - exp(-R.^2 ./ (Rmax^2 - R.^2)));

% Gradiente completo del campo de temperatura
[Tr, Tz] = gradient(T, rho, z); % Gradiente en r y z

% Enmascarar valores fuera del hiperboloide
Tr(~hyperboloid_mask) = NaN;
Tz(~hyperboloid_mask) = NaN;

% Escalar el gradiente para aumentar la visibilidad de las flechas (ajuste de tamaño)
Tz_scaled = Tz / max(abs(Tz(:))) * 40;
Tr_scaled = Tr / max(abs(Tr(:))) * 40;

% Tomar una submalla de las coordenadas para reducir el número de flechas
skip = 3;
R_sub = R(1:skip:end, 1:skip:end);
Z_sub = Z(1:skip:end, 1:skip:end);
Tr_sub = Tr(1:skip:end, 1:skip:end);
Tz_sub = Tz(1:skip:end, 1:skip:end);

% Representación del gradiente completo (componentes en rho y z)
figure;
quiver(R_sub, Z_sub, Tr_sub, Tz_sub, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 5);
hold on;

% Graficar el contorno del hiperboloide a ambos lados
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
z_contour = linspace(0, H, 100);
r_contour = a * sqrt((1 + (z_contour - z0).^2 / c^2));

% Graficar el contorno positivo (lado derecho)
plot(r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

% Graficar el contorno negativo (lado izquierdo)
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

% Configuración de la gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('\nablaT respecto al plano vertical que pasa por el eje de simetría');
axis equal;
xlim([-Rmax ,Rmax]);
ylim([0 H]);
grid on;
</syntaxhighlight>

 A continuación se muestra el código de Matlab utilizado para representar, mediante una animación, cómo varía el gradiente del campo de temperaturas a través de secciones transversales. 
[[Archivo:Gradiente_torre_2.gif|600px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros geométricos (m)
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

% Parámetros de temperatura (ºC)
Tbase = 65;
Ttop = 27;
DeltaTz = 38;
DeltaTr = 8;
n = 1.8;

%% Animación de planos transversales con gradiente 3D y borde circular
figure('Name','Animación transversal del gradiente con borde circular');
z_levels = linspace(0, H, 40); % cortes horizontales

% --- Superficie completa del hiperboloide ---
theta = linspace(0,2*pi,80);
z_surf = linspace(0,H,80);
[Theta,Zsurf] = meshgrid(theta,z_surf);
Rsurf = a*sqrt(1+(Zsurf-z0).^2/c^2);
Xsurf = Rsurf.*cos(Theta);
Ysurf = Rsurf.*sin(Theta);
surf(Xsurf,Ysurf,Zsurf,'FaceAlpha',0.1,'EdgeColor','none','FaceColor',[0.7 0.7 0.7]);
hold on;

% Configuración fija de la vista
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
view(45,30); axis equal; grid on;
xlim([-Rmax,Rmax]); ylim([-Rmax,Rmax]); zlim([0,H]);
axis vis3d;

for k = 1:length(z_levels)
% Borrar objetos anteriores del plano
delete(findobj(gca,'Tag','slice'));
delete(findobj(gca,'Tag','quivers'));
delete(findobj(gca,'Tag','border'));

zi = z_levels(k); % altura actual

% Radio máximo en esa altura según hiperboloide
rmax_slice = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2);
[X,Y] = meshgrid(linspace(-rmax_slice,rmax_slice,40), ...
linspace(-rmax_slice,rmax_slice,40));
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);

% Máscara para limitar al círculo de radio rmax_slice
mask = Rxy <= rmax_slice;

% Campo de temperatura en el plano
T = Tbase - DeltaTz*(zi/H)^n ...
- DeltaTr*(1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));
T(~mask) = NaN;

% Gradiente completo en 3D
dx = X(1,2)-X(1,1);
dy = Y(2,1)-Y(1,1);
[Tx,Ty] = gradient(T,dx,dy);
dz = H/200;
T_up = Tbase - DeltaTz*((zi+dz)/H)^n ...
- DeltaTr*(1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));
T_down = Tbase - DeltaTz*((zi-dz)/H)^n ...
- DeltaTr*(1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));
Tz = (T_up - T_down)/(2*dz);
Tz(~mask) = NaN;

% Escalar para visibilidad
scale = 2 / max(abs([Tx(:); Ty(:); Tz(:)]));
Tx = Tx*scale; Ty = Ty*scale; Tz = Tz*scale;

% Dibujar plano coloreado
surf(X,Y,zi*ones(size(X)),T,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.3,'Tag','slice');

% Dibujar vectores del gradiente en 3D
skip = 4;
quiver3(X(1:skip:end,1:skip:end), ...
Y(1:skip:end,1:skip:end), ...
zi*ones(size(X(1:skip:end,1:skip:end))), ...
Tx(1:skip:end,1:skip:end), ...
Ty(1:skip:end,1:skip:end), ...
Tz(1:skip:end,1:skip:end), ...
'b','LineWidth',1.2,'Tag','quivers');

% --- Borde circular negro ---
theta_border = linspace(0,2*pi,200);
xb = rmax_slice*cos(theta_border);
yb = rmax_slice*sin(theta_border);
zb = zi*ones(size(xb));
plot3(xb,yb,zb,'k','LineWidth',2,'Tag','border');

title(sprintf('Plano transversal en z = %.2f m',zi));
drawnow;
pause(0.15);
end
</syntaxhighlight>

'''Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad, el campo gradiente apunta al punto de máximo crecimiento del campo escalar <math>T(\rho,z)</math>, que como se comprobó, en nuestro caso es <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math>.'''

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 65;
Ttope = 27;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<syntaxhighlight lang="matlab">

%% ------------------ DATOS DEL PROBLEMA ------------------
Tbase = 65;
DTz = 38;
DTr = 8;
n = 1.8;

z0 = 100;
c = 65.079;
a = 30;
H = 150;
Rmax = 55;

rho_air_std = 1.225; % kg/m^3 a T0
T0 = 15; % °C

%% ------------------ GEOMETRÍA ------------------
rho_fun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

%% ------------------ TEMPERATURA ------------------
Tfun = @(r,z) Tbase ...
- DTz .* (z./H).^n ...
- DTr .* (1 - exp(-(r.^2) ./ max(Rmax.^2 - r.^2, 1e-12)));

%% ------------------ DENSIDAD ------------------
rho_T = @(T) rho_air_std .* (T0 + 273) ./ (T + 273);

%% ------------------ INTEGRAL EN ρ ------------------
mass_integrand_r = @(r,z) rho_T(Tfun(r,z)) .* r;

inner_mass = @(z) arrayfun(@(zz) ...
integral(@(r) mass_integrand_r(r,zz), ...
0, min(rho_fun(zz),Rmax*0.999), 'RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9), ...
z);

%% ------------------ INTEGRAL EN z ------------------
M = 2*pi * integral(inner_mass, 0, H, 'RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9);

%% ------------------ RESULTADO ------------------
fprintf('Masa total de aire dentro de la torre = %.4f kg\n', M);

</syntaxhighlight>

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 733\,500.0537 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

Para integrar el volumen se hace el cambio a coordenadas cilíndricas ya que el campo de temperatura se encuentra en estas coordenadas.

Visto anteriormente los límites de integración son:

<center><math>(\rho,\theta,z) \in D = (\rho(z=0), \rho(z=150)) \times [0, 2\pi) \times (0,150).</math></center>

Para realizar el calculo de la integral se utilizó una función de MATLAB ya que la integral no tiene primitiva directa.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos del problema
Tbase = 65;
DTz = 38;
DTr = 8;
n = 1.8;

z0 = 100;
c = 65.079;
a = 30;
H = 150;
Rmax = 55;

%% Definición de rho(z)
rho_fun = @(z) a.*sqrt(1 + ((z - z0).^2)./c.^2);

%% Termino exponencial seguro
exp_radial = @(r) ...
(r < Rmax) .* exp(-(r.^2) ./ max(Rmax.^2 - r.^2, 1e-12)) .* r;
% ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% Si r >= Rmax, se anula el integrando
% Se evita división por cero forzando denominador >= 1e-12

%% Integral interna en ρ
inner_integral = @(z) ...
(0.5 .* rho_fun(z).^2 .* (Tbase ...
- DTz .* (z./H).^n ...
- DTr)) + ...
DTr .* arrayfun(@(zz) ...
integral(@(r) exp_radial(r), 0, min(rho_fun(zz), Rmax*0.999)), z);
% ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% La integral nunca supera Rmax

%% Cálculo del volumen
vol_integrand = @(z) pi .* rho_fun(z).^2;
V = integral(vol_integrand, 0, H);

%% Integral total
I = 2*pi * integral(inner_integral, 0, H);

%% Temperatura media
Tmedia = I / V;

fprintf('Temperatura media = %.4f °C\n', Tmedia);
</syntaxhighlight>

Como resultado final la temperatura media es igual a 51.7845ºc

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

Una vez calculada la temperatura media se calcula la potencia, ajustamos las unidades:

La variacion de temperatura es igual en kelvin que en centígrados por lo que no nos hace falta hacer el cambio.

El resto de unidades concuerdan ya que según la formula:
<center><math>\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \times \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times \text{K} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W}.</math></center>

<center><math>\boxed{P = 1225 \times 1005 \times 1500 \times 36.7845 = 67\,880\,782.9 \; \text{W} = 67.88 \; \text{MW}.}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-05T17:26:43Z

Miguel.batta: /* Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== Cálculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>

=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot v^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
\boxed{F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa} \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math> 

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} v^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TC} = 102,787 \cdot 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}v^{2/7}\,dv = 5653,285 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \left[\frac{7 \cdot \sqrt[7]{v^9}}{9}\right]_{0}^{150} =5653,285 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4})\right) \cdot \frac{7 \cdot \sqrt[7]{150^9}}{9} = 5653,285 \pi \cdot 488,301
</math>

<math>\boxed{F_{TC} \approx 8672381,345 N} </math>

Para calcular el área lateral del cilindro afectada por el viento hacemos la integral de superficie:
<math> A_{C} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(u,v)\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot 55 \cdot [v]_{0}^{150} = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot 55 \cdot 150 = 55\pi \cdot 150 </math>

<math> \boxed{A_{C} \approx 25918,139 m^2}</math>

La fuerza por unidad de superficie en la mitad de la superficie cilíndrica es:
<math> \boxed{F_{usC} = \frac{F_{TC}}{A_{C}} \approx 334,607 Pa } </math>

Tomando los resultados del caso de la superficie hiperbólica y la cilíndrica tenemos que:
<math>F_{usH} < F_{usC} </math> , lo que indica que la superficie del cilindro soporta menos fuerza lateral que la superficie del hiperboloide.

<math>A_{H} < A_{C} </math> , esto implica que la superficie hiperbólica utiliza menos material que la superficie cilíndrica.
Por tanto, la superficie hiperbólica es estructuralmente más eficiente y estable frente a cargas laterales. 

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
Representa el campo escalar 𝑇(𝜌,𝑧) como un mapa de colores en una sección vertical que corte la torre por el eje de simetría y en varias secciones transversales. Añade colorbar ¿Dónde está el aire más caliente? 

Para la representación del campo escalar necesitamos hallar la temperatura en el centro de la altura máxima de la torre. 

==== Localización del punto más caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

A continuación se muestra el código de la representación del campo de temperatura a través de secciones transversales y de una sección vertical q pasa por eje de simetría:
[[Archivo:Torre_animacion.gif|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Secc_vert_temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

% Parámetros geométricos
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura
Tbase = 65; % Temperatura en la base (°C)
Ttop = 27; % Temperatura en la parte superior (°C)
DeltaTz = Tbase - Ttop; % Diferencia de temperatura vertical
DeltaTr = 8; % Variación máxima radial (°C)
n = 1.8; % Exponente de convección

%% 1. Animación de la torre
figure('Name', 'Animación de la Torre');
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical

for i = 1:length(z)
clf; % Limpiar figura
hold on;

for j = 1:i
zi = z(j); % Altura actual
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2); % Radio en esta altura

% Malla radial en el plano
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
rvec = linspace(0, r, 50);
[RR,TT] = meshgrid(rvec, theta);
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
Z = zi * ones(size(X));

% Temperatura en cada punto de la malla
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);
T = Tbase - DeltaTz * (zi/H)^n ...
- DeltaTr * (1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));

% Dibujar capa con gradiente de color
surf(X, Y, Z, T, 'EdgeColor','none');
end

% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con T(\rho,z)');
xlim([-Rmax, Rmax]);
ylim([-Rmax, Rmax]);
zlim([0, H]);
view(3); % Vista en 3D
axis equal;
pause(0.1); % Controlar velocidad de animación
end

%% 2. Campo de temperatura en el plano vertical
figure('Name', 'Plano Vertical del Campo de Temperatura');
z = linspace(0, H, 300); % Coordenada vertical
x = linspace(-Rmax - 10, Rmax + 10, 300); % Coordenada horizontal
[X, Z] = meshgrid(x, z); % Crear malla
R = sqrt((1 + ((Z - z0) / c).^2) * a^2); % Radio según el hiperboloide
r = abs(X); % Distancia radial
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-r.^2 ./ (Rmax^2 - r.^2))); % Campo de temperatura
mask = abs(X) <= R; % Máscara para limitar al hiperboloide
T(~mask) = NaN; % Fuera de la silueta, no mostrar
% Dibujar el campo de temperatura
contourf(X, Z, T, 50, 'LineColor', 'none');
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
hold on;
% Dibujar la silueta de la torre
x_sil_left = -R; % Lado izquierdo de la silueta
x_sil_right = R; % Lado derecho de la silueta
z_sil = z; % Coordenadas verticales
plot(x_sil_left, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta izquierda
plot(x_sil_right, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta derecha
% Configuración gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de T(\rho,z) en el eje central de la torre');
xlim([-Rmax - 10, Rmax + 10]);
ylim([0, H]);
grid on;
view(2); % Vista 2D
hold off;

</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 65;
Ttope = 27;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<syntaxhighlight lang="matlab">

%% ------------------ DATOS DEL PROBLEMA ------------------
Tbase = 65;
DTz = 38;
DTr = 8;
n = 1.8;

z0 = 100;
c = 65.079;
a = 30;
H = 150;
Rmax = 55;

rho_air_std = 1.225; % kg/m^3 a T0
T0 = 15; % °C

%% ------------------ GEOMETRÍA ------------------
rho_fun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);

%% ------------------ TEMPERATURA ------------------
Tfun = @(r,z) Tbase ...
- DTz .* (z./H).^n ...
- DTr .* (1 - exp(-(r.^2) ./ max(Rmax.^2 - r.^2, 1e-12)));

%% ------------------ DENSIDAD ------------------
rho_T = @(T) rho_air_std .* (T0 + 273) ./ (T + 273);

%% ------------------ INTEGRAL EN ρ ------------------
mass_integrand_r = @(r,z) rho_T(Tfun(r,z)) .* r;

inner_mass = @(z) arrayfun(@(zz) ...
integral(@(r) mass_integrand_r(r,zz), ...
0, min(rho_fun(zz),Rmax*0.999), 'RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9), ...
z);

%% ------------------ INTEGRAL EN z ------------------
M = 2*pi * integral(inner_mass, 0, H, 'RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9);

%% ------------------ RESULTADO ------------------
fprintf('Masa total de aire dentro de la torre = %.4f kg\n', M);

</syntaxhighlight>

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 733\,500.0537 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

Visto anteriormente los límites de integración son:
Para integrar el volumen se hace el cambio a coordenadas cilíndricas ya que el campo de temperatura se encuentra en estas coordenadas

<math>\theta entre 0 y 2\pi</math>
<math>z entre 0 y 150</math>
<math>\rho entre rho( z = 0) y rho(z = 150)</math>

Para realizar el calculo de la integral se utilizó una función de MATLAB ya que la integral no tiene primitiva directa.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos del problema
Tbase = 65;
DTz = 38;
DTr = 8;
n = 1.8;

z0 = 100;
c = 65.079;
a = 30;
H = 150;
Rmax = 55;

%% Definición de rho(z)
rho_fun = @(z) a.*sqrt(1 + ((z - z0).^2)./c.^2);

%% Termino exponencial seguro
exp_radial = @(r) ...
(r < Rmax) .* exp(-(r.^2) ./ max(Rmax.^2 - r.^2, 1e-12)) .* r;
% ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% Si r >= Rmax, se anula el integrando
% Se evita división por cero forzando denominador >= 1e-12

%% Integral interna en ρ
inner_integral = @(z) ...
(0.5 .* rho_fun(z).^2 .* (Tbase ...
- DTz .* (z./H).^n ...
- DTr)) + ...
DTr .* arrayfun(@(zz) ...
integral(@(r) exp_radial(r), 0, min(rho_fun(zz), Rmax*0.999)), z);
% ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% La integral nunca supera Rmax

%% Cálculo del volumen
vol_integrand = @(z) pi .* rho_fun(z).^2;
V = integral(vol_integrand, 0, H);

%% Integral total
I = 2*pi * integral(inner_integral, 0, H);

%% Temperatura media
Tmedia = I / V;

fprintf('Temperatura media = %.4f °C\n', Tmedia);
</syntaxhighlight>

Como resultado final la temperatura media es igual a 51.7845ºc

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

Una vez calculada la temperatura media se calcula la potencia, ajustamos las unidades:

La variacion de temperatura es igual en kelvin que en centígrados por lo que no nos hace falta hacer el cambio.

El resto de unidades cuadran ya que según la formula: kg/m^3 * J/kg*K * m^3/s * K = J/s = W

P = 1225*1005*1500*36.7845 = 67880782.9 W = 67.88 MW

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-05T17:18:19Z

Miguel.batta: /* Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== Cálculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>

=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot v^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
\boxed{F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa} \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math> 

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} v^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TC} = 102,787 \cdot 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}v^{2/7}\,dv = 5653,285 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \left[\frac{7 \cdot \sqrt[7]{v^9}}{9}\right]_{0}^{150} =5653,285 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4})\right) \cdot \frac{7 \cdot \sqrt[7]{150^9}}{9} = 5653,285 \pi \cdot 488,301
</math>

<math>\boxed{F_{TC} \approx 8672381,345 N} </math>

Para calcular el área lateral del cilindro afectada por el viento hacemos la integral de superficie:
<math> A_{C} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(u,v)\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot 55 \cdot [v]_{0}^{150} = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot 55 \cdot 150 = 55\pi \cdot 150 </math>

<math> \boxed{A_{C} \approx 25918,139 m^2}</math>

La fuerza por unidad de superficie en la mitad de la superficie cilíndrica es:
<math> \boxed{F_{usC} = \frac{F_{TC}}{A_{C}} \approx 334,607 Pa } </math>

Tomando los resultados del caso de la superficie hiperbólica y la cilíndrica tenemos que:
<math>F_{usH} < F_{usC} </math> , lo que indica que la superficie del cilindro soporta menos fuerza lateral que la superficie del hiperboloide.

<math>A_{H} < A_{C} </math> , esto implica que la superficie hiperbólica utiliza menos material que la superficie cilíndrica.
Por tanto, la superficie hiperbólica es estructuralmente más eficiente y estable frente a cargas laterales. 

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
Representa el campo escalar 𝑇(𝜌,𝑧) como un mapa de colores en una sección vertical que corte la torre por el eje de simetría y en varias secciones transversales. Añade colorbar ¿Dónde está el aire más caliente? 

Para la representación del campo escalar necesitamos hallar la temperatura en el centro de la altura máxima de la torre. 

==== Localización del punto más caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

A continuación se muestra el código de la representación del campo de temperatura a través de secciones transversales y de una sección vertical q pasa por eje de simetría:
[[Archivo:Torre_animacion.gif|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Secc_vert_temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

% Parámetros geométricos
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura
Tbase = 65; % Temperatura en la base (°C)
Ttop = 27; % Temperatura en la parte superior (°C)
DeltaTz = Tbase - Ttop; % Diferencia de temperatura vertical
DeltaTr = 8; % Variación máxima radial (°C)
n = 1.8; % Exponente de convección

%% 1. Animación de la torre
figure('Name', 'Animación de la Torre');
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical

for i = 1:length(z)
clf; % Limpiar figura
hold on;

for j = 1:i
zi = z(j); % Altura actual
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2); % Radio en esta altura

% Malla radial en el plano
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
rvec = linspace(0, r, 50);
[RR,TT] = meshgrid(rvec, theta);
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
Z = zi * ones(size(X));

% Temperatura en cada punto de la malla
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);
T = Tbase - DeltaTz * (zi/H)^n ...
- DeltaTr * (1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));

% Dibujar capa con gradiente de color
surf(X, Y, Z, T, 'EdgeColor','none');
end

% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con T(\rho,z)');
xlim([-Rmax, Rmax]);
ylim([-Rmax, Rmax]);
zlim([0, H]);
view(3); % Vista en 3D
axis equal;
pause(0.1); % Controlar velocidad de animación
end

%% 2. Campo de temperatura en el plano vertical
figure('Name', 'Plano Vertical del Campo de Temperatura');
z = linspace(0, H, 300); % Coordenada vertical
x = linspace(-Rmax - 10, Rmax + 10, 300); % Coordenada horizontal
[X, Z] = meshgrid(x, z); % Crear malla
R = sqrt((1 + ((Z - z0) / c).^2) * a^2); % Radio según el hiperboloide
r = abs(X); % Distancia radial
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-r.^2 ./ (Rmax^2 - r.^2))); % Campo de temperatura
mask = abs(X) <= R; % Máscara para limitar al hiperboloide
T(~mask) = NaN; % Fuera de la silueta, no mostrar
% Dibujar el campo de temperatura
contourf(X, Z, T, 50, 'LineColor', 'none');
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
hold on;
% Dibujar la silueta de la torre
x_sil_left = -R; % Lado izquierdo de la silueta
x_sil_right = R; % Lado derecho de la silueta
z_sil = z; % Coordenadas verticales
plot(x_sil_left, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta izquierda
plot(x_sil_right, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta derecha
% Configuración gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de T(\rho,z) en el eje central de la torre');
xlim([-Rmax - 10, Rmax + 10]);
ylim([0, H]);
grid on;
view(2); % Vista 2D
hold off;

</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 65;
Ttope = 27;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

Visto anteriormente los límites de integración son:
Para integrar el volumen se hace el cambio a coordenadas cilíndricas ya que el campo de temperatura se encuentra en estas coordenadas

<math>\theta entre 0 y 2\pi</math>
<math>z entre 0 y 150</math>
<math>\rho entre rho( z = 0) y rho(z = 150)</math>

Para realizar el calculo de la integral se utilizó una función de MATLAB ya que la integral no tiene primitiva directa.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos del problema
Tbase = 65;
DTz = 38;
DTr = 8;
n = 1.8;

z0 = 100;
c = 65.079;
a = 30;
H = 150;
Rmax = 55;

%% Definición de rho(z)
rho_fun = @(z) a.*sqrt(1 + ((z - z0).^2)./c.^2);

%% Termino exponencial seguro
exp_radial = @(r) ...
(r < Rmax) .* exp(-(r.^2) ./ max(Rmax.^2 - r.^2, 1e-12)) .* r;
% ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% Si r >= Rmax, se anula el integrando
% Se evita división por cero forzando denominador >= 1e-12

%% Integral interna en ρ
inner_integral = @(z) ...
(0.5 .* rho_fun(z).^2 .* (Tbase ...
- DTz .* (z./H).^n ...
- DTr)) + ...
DTr .* arrayfun(@(zz) ...
integral(@(r) exp_radial(r), 0, min(rho_fun(zz), Rmax*0.999)), z);
% ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% La integral nunca supera Rmax

%% Cálculo del volumen
vol_integrand = @(z) pi .* rho_fun(z).^2;
V = integral(vol_integrand, 0, H);

%% Integral total
I = 2*pi * integral(inner_integral, 0, H);

%% Temperatura media
Tmedia = I / V;

fprintf('Temperatura media = %.4f °C\n', Tmedia);
</syntaxhighlight>

Como resultado final la temperatura media es igual a 51.7845ºc

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

Una vez calculada la temperatura media se calcula la potencia, ajustamos las unidades:

La variacion de temperatura es igual en kelvin que en centígrados por lo que no nos hace falta hacer el cambio.

El resto de unidades cuadran ya que según la formula: kg/m^3 * J/kg*K * m^3/s * K = J/s = W

P = 1225*1005*1500*36.7845 = 67880782.9 W = 67.88 MW

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-05T17:03:46Z

Miguel.batta: /* Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== Cálculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>

=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot v^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
\boxed{F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa} \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math> 

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} v^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TC} = 102,787 \cdot 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}v^{2/7}\,dv = 5653,285 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \left[\frac{7 \cdot \sqrt[7]{v^9}}{9}\right]_{0}^{150} =5653,285 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4})\right) \cdot \frac{7 \cdot \sqrt[7]{150^9}}{9} = 5653,285 \pi \cdot 488,301
</math>

<math>\boxed{F_{TC} \approx 8672381,345 N} </math>

Para calcular el área lateral del cilindro afectada por el viento hacemos la integral de superficie:
<math> A_{C} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(u,v)\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot 55 \cdot [v]_{0}^{150} = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot 55 \cdot 150 = 55\pi \cdot 150 </math>

<math> \boxed{A_{C} \approx 25918,139 m^2}</math>

La fuerza por unidad de superficie en la mitad de la superficie cilíndrica es:
<math> \boxed{F_{usC} = \frac{F_{TC}}{A_{C}} \approx 334,607 Pa } </math>

Tomando los resultados del caso de la superficie hiperbólica y la cilíndrica tenemos que:
<math>F_{usH} < F_{usC} </math> , lo que indica que la superficie del cilindro soporta menos fuerza lateral que la superficie del hiperboloide.

<math>A_{H} < A_{C} </math> , esto implica que la superficie hiperbólica utiliza menos material que la superficie cilíndrica.
Por tanto, la superficie hiperbólica es estructuralmente más eficiente y estable frente a cargas laterales. 

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
Representa el campo escalar 𝑇(𝜌,𝑧) como un mapa de colores en una sección vertical que corte la torre por el eje de simetría y en varias secciones transversales. Añade colorbar¿Dónde está el aire más caliente? 
Para la representación del campo escalar sustituimos :

El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da: <math>\rho = 37,222</math>

La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

A continuación se muestra el código de la representación del campo de temperatura a través de secciones transversales y de una sección vertical q pasa por eje de simetría:
[[Archivo:Torre_animacion.gif|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Secc_vert_temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

% Parámetros geométricos
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura
Tbase = 65; % Temperatura en la base (°C)
Ttop = 27; % Temperatura en la parte superior (°C)
DeltaTz = Tbase - Ttop; % Diferencia de temperatura vertical
DeltaTr = 8; % Variación máxima radial (°C)
n = 1.8; % Exponente de convección

%% 1. Animación de la torre
figure('Name', 'Animación de la Torre');
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical

for i = 1:length(z)
clf; % Limpiar figura
hold on;

for j = 1:i
zi = z(j); % Altura actual
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2); % Radio en esta altura

% Malla radial en el plano
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
rvec = linspace(0, r, 50);
[RR,TT] = meshgrid(rvec, theta);
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
Z = zi * ones(size(X));

% Temperatura en cada punto de la malla
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);
T = Tbase - DeltaTz * (zi/H)^n ...
- DeltaTr * (1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));

% Dibujar capa con gradiente de color
surf(X, Y, Z, T, 'EdgeColor','none');
end

% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con T(\rho,z)');
xlim([-Rmax, Rmax]);
ylim([-Rmax, Rmax]);
zlim([0, H]);
view(3); % Vista en 3D
axis equal;
pause(0.1); % Controlar velocidad de animación
end

%% 2. Campo de temperatura en el plano vertical
figure('Name', 'Plano Vertical del Campo de Temperatura');
z = linspace(0, H, 300); % Coordenada vertical
x = linspace(-Rmax - 10, Rmax + 10, 300); % Coordenada horizontal
[X, Z] = meshgrid(x, z); % Crear malla
R = sqrt((1 + ((Z - z0) / c).^2) * a^2); % Radio según el hiperboloide
r = abs(X); % Distancia radial
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-r.^2 ./ (Rmax^2 - r.^2))); % Campo de temperatura
mask = abs(X) <= R; % Máscara para limitar al hiperboloide
T(~mask) = NaN; % Fuera de la silueta, no mostrar
% Dibujar el campo de temperatura
contourf(X, Z, T, 50, 'LineColor', 'none');
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
hold on;
% Dibujar la silueta de la torre
x_sil_left = -R; % Lado izquierdo de la silueta
x_sil_right = R; % Lado derecho de la silueta
z_sil = z; % Coordenadas verticales
plot(x_sil_left, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta izquierda
plot(x_sil_right, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta derecha
% Configuración gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de T(\rho,z) en el eje central de la torre');
xlim([-Rmax - 10, Rmax + 10]);
ylim([0, H]);
grid on;
view(2); % Vista 2D
hold off;

</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 65;
Ttope = 27;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

Visto anteriormente los límites de integración son:
Para integrar el volumen se hace el cambio a coordenadas cilíndricas ya que el campo de temperatura se encuentra en estas coordenadas

<math>\theta entre 0 y 2\pi</math>
<math>z entre 0 y 150</math>
<math>\rho entre rho( z = 0) y rho(z = 150)</math>

Para realizar el calculo de la integral se utilizó una función de MATLAB ya que la integral no tiene primitiva directa.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-05T16:20:50Z

Miguel.batta: /* Representación de superficies isotermas */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== Cálculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>

=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot v^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
\boxed{F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa} \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math> 

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} v^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TC} = 102,787 \cdot 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}v^{2/7}\,dv = 5653,285 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \left[\frac{7 \cdot \sqrt[7]{v^9}}{9}\right]_{0}^{150} =5653,285 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4})\right) \cdot \frac{7 \cdot \sqrt[7]{150^9}}{9} = 5653,285 \pi \cdot 488,301
</math>

<math>\boxed{F_{TC} \approx 8672381,345 N} </math>

Para calcular el área lateral del cilindro afectada por el viento hacemos la integral de superficie:
<math> A_{C} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(u,v)\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot 55 \cdot [v]_{0}^{150} = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot 55 \cdot 150 = 55\pi \cdot 150 </math>

<math> \boxed{A_{C} \approx 25918,139 m^2}</math>

La fuerza por unidad de superficie en la mitad de la superficie cilíndrica es:
<math> \boxed{F_{usC} = \frac{F_{TC}}{A_{C}} \approx 334,607 Pa } </math>

Tomando los resultados del caso de la superficie hiperbólica y la cilíndrica tenemos que:
<math>F_{usH} < F_{usC} </math> , lo que indica que la superficie del cilindro soporta menos fuerza lateral que la superficie del hiperboloide.

<math>A_{H} < A_{C} </math> , esto implica que la superficie hiperbólica utiliza menos material que la superficie cilíndrica.
Por tanto, la superficie hiperbólica es estructuralmente más eficiente y estable frente a cargas laterales. 

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
Representa el campo escalar 𝑇(𝜌,𝑧) como un mapa de colores en una sección vertical que corte la torre por el eje de simetría y en varias secciones transversales. Añade colorbar¿Dónde está el aire más caliente? 
Para la representación del campo escalar sustituimos :

El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da: <math>\rho = 37,222</math>

La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

A continuación se muestra el código de la representación del campo de temperatura a través de secciones transversales y de una sección vertical q pasa por eje de simetría:
[[Archivo:Torre_animacion.gif|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Secc_vert_temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

% Parámetros geométricos
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
H = 150;
Rmax = 55;

%Parámetros de temperatura
Tbase = 65; % Temperatura en la base (°C)
Ttop = 27; % Temperatura en la parte superior (°C)
DeltaTz = Tbase - Ttop; % Diferencia de temperatura vertical
DeltaTr = 8; % Variación máxima radial (°C)
n = 1.8; % Exponente de convección

%% 1. Animación de la torre
figure('Name', 'Animación de la Torre');
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical

for i = 1:length(z)
clf; % Limpiar figura
hold on;

for j = 1:i
zi = z(j); % Altura actual
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2); % Radio en esta altura

% Malla radial en el plano
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
rvec = linspace(0, r, 50);
[RR,TT] = meshgrid(rvec, theta);
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
Z = zi * ones(size(X));

% Temperatura en cada punto de la malla
Rxy = sqrt(X.^2 + Y.^2);
T = Tbase - DeltaTz * (zi/H)^n ...
- DeltaTr * (1 - exp(-(Rxy.^2)./(Rmax^2 - Rxy.^2)));

% Dibujar capa con gradiente de color
surf(X, Y, Z, T, 'EdgeColor','none');
end

% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con T(\rho,z)');
xlim([-Rmax, Rmax]);
ylim([-Rmax, Rmax]);
zlim([0, H]);
view(3); % Vista en 3D
axis equal;
pause(0.1); % Controlar velocidad de animación
end

%% 2. Campo de temperatura en el plano vertical
figure('Name', 'Plano Vertical del Campo de Temperatura');
z = linspace(0, H, 300); % Coordenada vertical
x = linspace(-Rmax - 10, Rmax + 10, 300); % Coordenada horizontal
[X, Z] = meshgrid(x, z); % Crear malla
R = sqrt((1 + ((Z - z0) / c).^2) * a^2); % Radio según el hiperboloide
r = abs(X); % Distancia radial
T = Tbase - DeltaTz * (Z / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-r.^2 ./ (Rmax^2 - r.^2))); % Campo de temperatura
mask = abs(X) <= R; % Máscara para limitar al hiperboloide
T(~mask) = NaN; % Fuera de la silueta, no mostrar
% Dibujar el campo de temperatura
contourf(X, Z, T, 50, 'LineColor', 'none');
colormap('jet');
colorbar;
cb = colorbar; % Crear colorbar
ylabel(cb, 'Temperatura (°C)', 'FontWeight', 'bold');
clim([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
hold on;
% Dibujar la silueta de la torre
x_sil_left = -R; % Lado izquierdo de la silueta
x_sil_right = R; % Lado derecho de la silueta
z_sil = z; % Coordenadas verticales
plot(x_sil_left, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta izquierda
plot(x_sil_right, z_sil, 'k-', 'LineWidth', 2); % Silueta derecha
% Configuración gráfica
xlabel('x (m)');
ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de T(\rho,z) en el eje central de la torre');
xlim([-Rmax - 10, Rmax + 10]);
ylim([0, H]);
grid on;
view(2); % Vista 2D
hold off;

</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 65;
Ttope = 27;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T15:11:11Z

Miguel.batta: /* comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C} */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math></center>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<center><math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math></center>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<center><math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math></center>

Entonces:

<center><math>
\boxed{M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}}
</math></center>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T15:07:17Z

Miguel.batta: /* comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C} */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====
Primero, la densidad del aire a 15°C:

<math>
\rho_{15} = 1.225 \,\text{kg/m}^3
</math>

Volumen del elipsoide truncado (de 0 a 150 m):

<math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} r \, dr \, dz
</math>

Ese volumen para el mismo dominio es:

<math>
V = 2\pi \int_{0}^{150} \frac{1}{2} \rho(z)^2 \, dz
</math>

pero podemos usar directamente la fórmula ejecutada:

<math>
V \approx 1.005 \times 10^6 \,\text{m}^3
</math>

Entonces:

<math>
M_{15} = \rho_{15} V \approx 1.225 \times 1.005 \times 10^6 \approx 1\,230\,000 \,\text{kg}
</math>

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T14:59:58Z

Miguel.batta: /* Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
\boxed{M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T14:57:20Z

Miguel.batta: /* Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo numérico de la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

Para realizar la integral primero despejamos de la ecuación del hiperboloide la componente <math>\rho</math> y creamos una función <math>\rho(z)</math> la cual se usara como limite de integración:

<center><math>
\rho(z) = 55 \sqrt{ 1 - \frac{z^2}{178.97^2} }
</math></center>

Luego por el jacobiano cambiamos <math>dV</math>
<math> = dx\,dy\,dz = r \, d\r \, d\theta \, dz
</math>

Quedando la siguiente integral:

<center><math>
M = 2\pi \int_{0}^{150} \int_{0}^{\rho(z)} \rho(T(\rho,z)) \, r \, dr \, dz
</math></center>

Donde:

<math>
\rho(T) = 1.225 \, \frac{15 + 273}{T(r,z) + 273}
</math>

<math>
T(r,z) = 65 - 38 \left( \frac{z}{150} \right)^{1.8} - 8 \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{55^2 - r^2}} \right)
</math>

Para la resolución de la integral se realizaron aproximaciones por el método de Simpson, ya que la integral no tiene primitiva directa.
dando como resultado numérico:

<center><math>
M_{\text{aire caliente}} = 1\,191\,439.30 \,\text{kg}
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T14:11:40Z

Miguel.batta: /* Representación de superficies isotermas */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===


[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);
</syntaxhighlight>

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T14:06:22Z

Miguel.batta: /* Representación de superficies isotermas */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^{2/7} \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v)=55 </math> entonces: 

<math>F_{TH} = 55\cdot \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}z^{2/7}\,dv = 55 \cdot [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===
%% Apartado 2.6 – Superficies isotermas en la sección r–z de la torre

clear; close all; clc;

%% ---------------- PARÁMETROS DEL PROBLEMA ----------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = 38;
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

H = 150; % altura total
r_max = 55; % radio máximo
a = 30; % hiperboloide (no afecta T)
c = 65.079;
z0 = 100;

%% ---------------- MALLA EN r–z ----------------
r = linspace(-r_max, r_max, 200);
z = linspace(0, H, 200);
[R, Z] = meshgrid(r, z);

%% ---------------- CAMPO DE TEMPERATURA ----------------
T = Tbase ...
- dTz * (Z/H).^n ...
- dTr * (1 - exp(-(R.^2)/(r_max^2)));

%% ---------------- VALORES DE ISOTERMAS ----------------
T_values = linspace(min(T(:)), max(T(:)), 10);

%% ---------------- FIGURA ----------------
figure; hold on;

% Dibujar isotermas
contour(R, Z, T, T_values, 'LineWidth', 1.4);

%% ---------------- CONTORNO DEL HIPERBOLOIDE ----------------
z_contour = linspace(0, H, 300);
r_contour = a * sqrt(1 + (z_contour - z0).^2 / c^2);

plot( r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_contour, z_contour, 'k', 'LineWidth', 2);

%% ---------------- AJUSTES DE GRÁFICA ----------------
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isotermas T(r,z) dentro del hiperboloide – Apartado 2.6');
ylim([0 H]);
xlim([-r_max r_max]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'Color',[1 1 1]);

[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T12:19:38Z

Miguel.batta: /* Cálculo de la temperatura media de la torre */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

Ahora calculamos la fuerza total:
<math>F_{TC} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = 102,787 \cdot \iint_{D} z^(\frac{2}{7}) \cdot \rho(u,v)\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===

[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media del aire dentro de la torre ===

Para ello tomamos:

<center><math>
T_{\text{media}} = \frac{1}{V} \iiint_V T(r,z) \, dV
</math></center>

donde <math>V</math> es el volumen interior.

==== ¿Cuánta potencia térmica se evacua? ====

Si el caudal de aire es <math>Q = 1500 \,\text{m}^3/\text{s}</math>

<center><math>
P = \rho_{\text{aire}} \, c_p \, Q \, (T_{\text{media}} - T_{\text{ambiente}})
</math></center>

con <math>c_p = 1005 \,\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})</math> el calor específico a presión constante del aire y <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T12:12:21Z

Miguel.batta:

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===

[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

=== Cálculo de la temperatura media de la torre ===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

2025-12-04T12:10:36Z

Miguel.batta: /* Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base */

{{ TrabajoED | TORRES DE ENFRIAMIENTO HIPERBOLICAS | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Miguel Angel Batta Abreu
*Adrián Martínez-Osorio Aldea
*Alexander Osvaldo Oquendo García
*Lize Xie }}

==Introducción==

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas de plantas de energía (nucleares y térmicas) diseñadas para disipar calor mediante convección natural. Su forma hiperbólica no es solo estética: proporciona resistencia estructural óptima frente al viento y maximiza el flujo de aire ascendente. Estas estructuras se popularizaron desde mediados del siglo XX y son un ejemplo perfecto de diseño ingenieril donde forma y función se unen.


== Modelo geométrico del hiperboloide ==


Consideramos una torre de enfriamiento con altura total (<math>H</math>), radio máximo en la base (<math>R_{\text{max}}</math>), y radio mínimo (<math>R_{\text{min}}</math>) (estrangulamiento) alcanzado a una altura (<math>h = \dfrac{2}{3}H</math>) desde la base. La superficie de la torre es un hiperboloide de revolución de una hoja, descrito en coordenadas cartesianas como:


 
<center><math>
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>
 
donde <math>a, c, z_0 > 0</math> son parámetros a determinar en función de la geometría de la torre. Para nuestro modelo, usamos los siguientes parámetros de una torre típica:

<center><math>
H = 150\,\text{m}, \quad R_{\text{max}} = 55\,\text{m}, \quad R_{\text{min}} = 30\,\text{m}.
</math></center>

=== Presion del viento ===

El viento ejerce una presión lateral sobre la torre. La velocidad del viento aumenta con la altura según la ley de potencia:

<center><math>
V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}
</math></center>

donde <math>V_0 = 18 \,\text{m/s}</math> es la velocidad a altura de referencia <math>z_{\text{ref}} = 10 \,\text{m}</math>, y <math>\alpha = \dfrac{1}{7}</math> es el exponente para terreno abierto.

La presión dinámica del viento es:

<center><math>
P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}}</math> es la densidad del aire estándar.

El campo vectorial de fuerza por unidad de superficie sobre la torre es:

<center><math>
\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}
</math></center>

donde <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el exterior).

=== Campo de temperaturas ===
Dentro de la torre, el aire caliente asciende por convección natural. Modelamos el campo de temperatura (en °C) como:

<center><math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math></center>

donde:
<math>T_{\text{base}} = 65^\circ \text{C}</math>: temperatura en el centro de la base;
<math>\Delta T_z = 38^\circ \text{C}</math>: caída de temperatura desde base hasta tope;
<math>\Delta T_\rho = 8^\circ \text{C}</math>: variación radial de temperatura;
<math>n = 1.8</math>: exponente de convección.

== Determinación de los parámetros del modelo ==
=== Significado de cada parámetro ===
=== calculo de los parámetros ===
Para la determinación de los parámetros del modelo se utilizan lo datos iniciales y se realiza el cambio de la ecuación del hiperboloide a coordenadas cilíndricas.
Obteniendo la ecuación de la superficie:
<center><math>\frac{ρ^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1
</math></center>

El primer parámetro a determinar va a ser el de <math>z_0</math>:
Conociendo que <math>z_0</math> se alcanza a la altura <math>h = \dfrac{2}{3}H</math> y que el valor de <math>H=150</math> despejamos y obtenemos que:
<center><math>z_0=100</math></center>

Ahora se calcula el parámetro <math>a</math> sabiendo que a la altura <math>z=100</math> <math>ρ=30</math> se sustituye en la ecuación obteniendo:
<center><math>\frac{30^2}{a^2} - \frac{(100 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>

<center><math>\frac{30^2}{a^2} = 1
</math></center>

<center><math>{a^2} = {30^2}
</math></center>

<center><math>a=30</math></center>

Por último se calcula el parámetro <math>c</math>, sustituyendo todos los valores previamente obtenidos y sabiendo que en la altura <math>z=0</math> el radio es <math>ρ=55</math>:
<center><math>\frac{55^2}{30^2} - \frac{(0 - 100)^2}{c^2} = 1
</math></center>
De la cual se despeja el parametro <math>c</math>
<center><math>
c = \sqrt{\dfrac{100^2}{\dfrac{55^2}{30^2} - 1}}
</math></center>

<center><math>c≈65,079</math></center>
=== Representación en MATLAB ===
En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos azules en los planos <math>z=0</math> y <math>z=150</math> para una mejor visualización:
[[Archivo:Sup Paramet.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización de la superficie parametrizada]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Gráfica sin mallado y en gris
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.7 0.7 0.7], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar borde inferior (z = zmin)
Rmin = a * sqrt(1 + ((zmin - z0)^2) / (c^2));
x_min = Rmin * cos(u);
y_min = Rmin * sin(u);
plot3(x_min, y_min, zmin*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar borde superior (z = zmax)
Rmax = a * sqrt(1 + ((zmax - z0)^2) / (c^2));
x_max = Rmax * cos(u);
y_max = Rmax * sin(u);
plot3(x_max, y_max, zmax*ones(size(u)), 'b', 'LineWidth', 2);

axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Hiperboloide de revolución de una hoja');
view(3)
hold off;
</syntaxhighlight>

== Estructuras hiperbólicas famosas y ventajas frente a una superficie cilíndrica ==

=== Razón por la cual se usan hiperboloides ===
La forma hiperbólica en torres de enfriamiento ofrece ventajas estructurales y funcionales frente a la superficie cilíndrica. En cuanto a la eficiencia aerodinámica, la curvatura hiperbólica favorece el tiro natural, generando una corriente ascendente de aire que mejora la refrigeración sin necesidad de ventiladores. Por otra parte, la geometría hiperbólica distribuye mejor las cargas de viento, reduce los esfuerzos y aumenta la estabilidad frente a condiciones climáticas extremas. Además, su forma permite construir estructuras altas y resistentes con menor cantidad de hormigón y acero, lo que reduce costes. Por último, presenta una mayor superficie de intercambio térmico, es decir, el ensanchamiento superior incrementa el área de contacto entre aire y agua, mejorando la transferencia de calor.

=== Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas ===
<div style="border:2px solid #000; padding:10px; margin:10px;">

<gallery mode="packed" widths="400px" heights="300px" perrow="3">
Archivo:Cofrantes.jpeg|'''Central Nuclear de Cofrentes (España):''' Sus torres hiperbólicas son un referente en el paisaje industrial español, diseñadas para enfriar grandes volúmenes de agua mediante tiro natural.
Archivo:Didcot.jpg|'''Didcot Power Station (Reino Unido)''': Las icónicas torres, demolidas en 2014, fueron un símbolo de la ingeniería británica y ejemplo del uso estandarizado de hiperboloides.
Archivo:Niederaussem.png|'''Niederaussem Power Station (Alemania):''' Alberga algunas de las torres de enfriamiento más grandes del mundo, con alturas superiores a 200 metros, que aprovechan la geometría hiperbólica para maximizar la eficiencia.
</gallery>

</div>

=== Otras estructuras hiperboloides en arquitectura e ingeniería ===
[[Archivo:polivino.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Torre de Polibino]]
• Torres de Shújov (Rusia): Vladimir Shújov patentó en 1896 las primeras torres hiperboloides de celosía en acero, como la torre de Polibino y la famosa Torre Shabolovka en Moscú (1920–1922).

'''Aplicaciones arquitectónicas modernas:'''

• Antonio Gaudí utilizó geometrías hiperbólicas en la Sagrada Familia.

• Eduardo Torroja diseñó cubiertas hiperbólicas como la del Hipódromo de la Zarzuela en Madrid.

• Oscar Niemeyer y Le Corbusier también exploraron estas formas en proyectos emblemáticos.

'''Ejemplos contemporáneos:''' La Torre de Kōbe (Japón) y diversas cubiertas culturales emplean hiperboloides por su estética y eficiencia estructural.

La forma hiperbólica en torres de enfriamiento no es un mero capricho estético, sino una solución técnica que combina eficiencia térmica, resistencia estructural y economía de materiales. Su éxito ha trascendido el ámbito energético, inspirando a arquitectos e ingenieros en la creación de torres, cubiertas y estructuras icónicas que aprovechan las propiedades geométricas del hiperboloide para unir funcionalidad y belleza.

== Análisis de presión del viento ==
=== Opción 1: Análisis de presión del viento ===
En nuestro modelo el viento sopla en dirección del vector \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\) (45° desde el noreste).

=== Calcula y representa el campo escalar \(P(z)\) como un mapa de colores sobre la mitad de la torre expuesta al viento. Añade ''colorbar''. ¿Dónde es máxima la presión? ===

Para calcular el campo escalar \(P(z)\) sustituimos el campo escalar de la velocidad del viento <math>V(z) = V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}</math> en la presión dinámica del viento <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} V(z)^2</math>, obteniendo la expresión: <math>P(z) = \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} \Bigl( V_0 \left( \frac{z}{z_{\text{ref}}} \right)^{\alpha}\Bigr)^2</math>

Sustituyendo todos los parámetros tenemos:
<math>P(z) = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot \Bigl( 18 \cdot \left(\tfrac{z}{10}\right)^{1/7} \Bigr)^2
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\boxed{P(z)\; \approx \; 102{,}787 \cdot z^{2/7}}</math>

Como el exponente del campo escalar \(P(z)\) es <math>\tfrac{2}{7}>0 </math> entonces la presión es directamente proporcional a la altura. Por tanto, la presión va a ser máxima en <math>z=150</math>

¿Qué parte de la superficie está expuesta al viento?
Tenemos que el viento tiene como vector dirección <math>\vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) </math> y el vector normal \(\vec{n}\) a la superficie apunta hacia el exterior.

Si tomamos el plano <math>z=0</math> y consideremos la circunferencia de centro en el origen: <math>x^2 + y^2 = r^2</math>

En cualquier punto de esa circunferencia, el vector que va desde el centro hasta el punto es: <math>\vec{r} = (x, y)</math>

Este vector radial siempre es perpendicular (normal) a la circunferencia, porque la circunferencia es un conjunto de puntos a una distancia fija del centro.

Un punto genérico de la circunferencia se puede escribir como: <math>(x, y) = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Entonces el vector radial(normal sin normalizar) es: <math>\vec{r} = (r\cos(\theta),\ r\sin(\theta))</math>

Al normalizar el vector radial tenemos <math>
\vec{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = \frac{r \cdot (\cos\theta, \sin\theta)}{r \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}
\;\;\;\Rightarrow\;\;\;
\vec{r} = (\cos\theta, \sin\theta)
</math>

Extrapolando del plano al espacio, el vector normal en <math>z=0</math> es <math>\vec{n}=(cos(\theta),sin(\theta),0)</math>

Según las propiedades del producto escalar, aplicamos la condición necesaria para identificar que parte de la superficie se ve afectada por el viento:

<math>\vec{v} \cdot \vec{n} < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} (1,\,1,\,0) \cdot (cos(\theta),sin(\theta),0) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (cos(\theta) + sin(\theta)) < 0 \Rightarrow cos(\theta) + sin(\theta) > 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{4}\right) > 0 \Rightarrow 0 < \theta + \tfrac{\pi}{4} < \pi </math>

<math>\Rightarrow \boxed{-\tfrac{\pi}{4} < \theta < \tfrac{3\pi}{4}} </math>

 En el siguiente recuadro se muestra como el campo escalar \(P(z)\) afecta sobre la mitad de la superficie expuesta al viento. También se incluye el código de Matlab utilizado para la representación. 
[[Archivo:Pviento.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:Pviento planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 100);
v = linspace(zmin, zmax, 100);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Vector normal
Nx = cos(theta);
Ny = sin(theta);

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Aplicar máscara (ocultar lado no expuesto)
P(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Presión del viento sobre la mitad expuesta de la torre');
axis equal;
view(20,20);

figure(2)
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor','none');
colormap(jet);
colorbar;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
axis equal;
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula y representa el campo vectorial de fuerza \(\vec{F}\) sobre la superficie expuesta. ===

 Para calcular el campo vectorial <math>\vec{F}(x,y,z) = -P(z)\,\vec{n}</math> necesitamos calcular primero el vector normal. 

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 30 \cdot \sqrt{\,1 + \frac{(v - 100)^2}{65{,}079^2}\,} \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Tenemos que:
<math> \vec{n}(u, v) = \frac{\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)}{|\vec{r}_u(u, v) \times \vec{r}_v(u, v)|} </math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \rho' \cdot \vec{e_\rho} + \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
\rho' & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho} - \rho \rho' \cdot \vec{e_z}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)

Normalizando el vector nos queda:
<math> \vec{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\rho \cdot (1,\,0,\,\rho')}{\rho \cdot \sqrt{1 + (\rho')^2}} = \frac{(1,\,0,\,\rho')}{\sqrt{1 + (\rho')^2}}</math>

Entonces el campo vectorial de fuerzas, en la nueva parametrización queda: 
<math> \boxed{\vec{F}(u,v) = - P(v) \cdot \vec{n}(u,v) = - 102,787 \cdot z^\frac{2}{7} \cdot \frac{(1,\,0,\,\rho'(u,v))}{\sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}}}</math>

La derivada: <math>\rho'(u,v) = \rho'(v) </math> porque solo depende de v. Esta se calcula paso a paso usando la regla de la cadena.

<math>
\begin{aligned}
\rho(v) &= 30\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}\rightarrow A(v)=1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}\rightarrow \rho(v)=30\,A(v)^{1/2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv} &= 30 \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot A'(v)\rightarrow A'(v)=\frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
\frac{d\rho}{dv}
&= 30\cdot \frac{1}{2} A^{-1/2}\cdot \frac{2(v-100)}{65,079^2}
\\[10pt]
&\boxed{\rho'(v) = \frac{30(v-100)}{65,079^2\sqrt{1+\frac{(v-100)^2}{65,079^2}}}}
\end{aligned}
</math>

 Así queda representado el campo vectorial de fuerzas sobre la superficie expuesta:
[[Archivo:Fza.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]
[[Archivo:F_planta.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;
zmin = 0;
zmax = 150;

% Parámetros del viento
rho_aire = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
V0 = 18; % velocidad referencia [m/s]
zref = 10; % altura referencia [m]
alpha = 1/7;

% Mallado de u y v
u = linspace(0, 2*pi, 40);
v = linspace(zmin, zmax, 40);
[Mu, Mv] = meshgrid(u,v);

% Parametrización
rho = a * sqrt(1 + ((Mv - z0).^2) / (c^2));
theta = Mu;
z = Mv;

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);
Z = z;

% Dirección del viento
vx = -1/sqrt(2);
vy = -1/sqrt(2);

% Derivadas parciales
dX_dtt = -rho .* sin(theta);
dY_dtt = rho .* cos(theta);
dZ_dtt = zeros(size(theta));

dX_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* cos(theta);
dY_dz = a * (Z - z0) ./ (c^2 * sqrt(1 + ((Z - z0).^2 / c^2))) .* sin(theta);
dZ_dz = ones(size(Z));

% Normal exterior
Nx = dY_dtt .* dZ_dz - dZ_dtt .* dY_dz;
Ny = dZ_dtt .* dX_dz - dX_dtt .* dZ_dz;
Nz = dX_dtt .* dY_dz - dY_dtt .* dX_dz;

% Mascara: zona expuesta al viento
mask = (Nx*vx + Ny*vy) < 0;

% PRESIÓN DINÁMICA P(z)
Vz = V0 * (Z/zref).^alpha; % velocidad del viento
P = 0.5 * rho_aire .* Vz.^2; % presión dinámica

% Fuerza F = -P * n
Fx = -P .* Nx;
Fy = -P .* Ny;
Fz = -P .* Nz;

% Aplicar máscara
Fx(~mask) = NaN;
Fy(~mask) = NaN;
Fz(~mask) = NaN;

% Representación
figure(1)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Campo vectorial de fuerza F = -P(z) n sobre la superficie expuesta');
view(0,30);

figure(2)
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 2, 'b');
axis equal;
xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); zlabel('z(m)');
title('Vista en planta');
view(2);
</syntaxhighlight>

=== Calcula la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie que el viento ejerce sobre la torre integrando la presión sobre la mitad de superficie expuesta. Puedes hacerlo numéricamente o analíticamente. Puedes hacer esto numéricamente discretizando la superficie.===

La fuerza total se calcula integrando <math> \vec{F}(u,v) </math> sobre la mitad de la superficie del hiperboloide expuesta al viento, es decir, calcular el flujo.
Otra cosa a tener en cuenta es la orientación del vector normal para realizar la integral, en este caso es negativa
<math>F_{TH} = \int_{S} \vec{F} \cdot (-\vec{n}) \,dS = \iint_{D} (-P(v) \cdot \vec{n}) \cdot (-\vec{n}) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \iint_{D} P(v) \cdot \rho(u,v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(u,v)^2}\,du\,dv</math>
 Como <math>\rho(u,v) </math> solo depende de v entonces: 

<math>F_{TH} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv
</math>
<math>\boxed{F_{TH} = \pi \cdot \int_{0}^{150}P(v) \cdot \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv} </math>

Para calcular la fuerza por unidad de superficie (<math> F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}}</math>) se necesita calcular primero el área de la superficie hiperbólica: 
<math> A_{H} = \int_{S} \,dS = \iint_{D} |\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\,du\,dv = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \,du \int_{0}^{150} \rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = [u]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv = \frac{3\pi}{4} -(-\frac{\pi}{4}) \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv </math>
<math> \boxed{A_{H} = \pi \cdot \int_{0}^{150}\rho(v) \cdot \sqrt{1 + \rho'(v)^2}\,dv}</math>

Debido a la complejidad de estas integrales, para resolverlas utilizamos un programa de Matlab que se adjunta a continuación: 
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Integral doble en dominio D = [-pi/4, 3pi/4] x [0,150]
% Parámetros
a = 30;
c = 65.079;
z0 = 100;

% Definición de rho(v) y su derivada
rho = @(v) a .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ (c^2));
rho_p = @(v) a*(v - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((v - z0).^2) ./ c.^2));

% Integrando original
integrando_fuerza = @(v) -102.787 .* v.^(2/7) .* (- rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2));
integrando_area = @(v) rho(v) .* sqrt(1 + (rho_p(v)).^2);

% Integral definida en v
IF_v = integral(integrando_fuerza, 0, 150);
IA_v = integral(integrando_area, 0, 150);

% Integral doble (multiplicando por el ancho en u)
IF_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IF_v;
IA_total = (3*pi/4 - (-pi/4)) * IA_v;

%Fuerza por unidad de superficie
F_usup = IF_total / IA_total;

% Mostrar resultado
fprintf('La fuerza total en el hiperboloide es: %.10f N \n', IF_total);
fprintf('El área del hiperbolide es: %.10f m^2 \n', IA_total);
fprintf('La fuerza por unidad de superfice es: %.10f N/m^2 o Pa \n', F_usup);
</syntaxhighlight>

Los resultados son:
<math>
F_{TH} \approx 5787054,768 N \\
A_{H} \approx 18099,151 m^2 \\
F_{usH} = \frac{F_{TH}}{A_{H}} \approx 319,741 Pa \\
</math>

=== Compara con una torre cilíndrica de radio \(R = R_{\text{max}} = 55\ \text{m}\) y misma altura. Calcula la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta. ¿Cuál estructura soporta menos fuerza lateral? ¿Cuál usa menos material (compara áreas superficiales)? ===

Para calcular la fuerza por unidad de superficie del viento sobre la mitad del cilindro expuesta y el área de este mismo, realizamos una parametrización para simplificar los cálculos:

Parametrizamos la superficie:
\begin{cases}
\rho(u,v) = 55 \\
\theta(u,v) = u \\
z(u,v) = v \\
\end{cases}
<math>(u,v) \in D = \left[-\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}\right] \times [0,150]</math>

Ahora calculamos las derivadas parciales necesarias:
\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \frac{\partial \rho}{\partial u} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial u} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \vec{e_z} = \rho \cdot \vec{e_\theta}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \frac{\partial \rho}{\partial v} \vec{e_\rho} + \rho \cdot \frac{\partial \theta}{\partial v} \vec{e_\theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \vec{e_z} = \vec{e_z}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e_\rho} & \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\[6pt]
0 & \rho & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = \rho \cdot \vec{e_\rho}
\end{aligned} (este es el vector normal sin normalizar)
 En este caso necesitamos <math>|\vec{r_u} \times \vec{r_v}| = \rho </math>

== Campo de temperatura y transferencia de calor ==
=== Representación del campo escalar de temperatura en MATLAB ===
 Para la representación del campo escalar necesitamos:
•El radio <math>\rho</math> en la base superior, el cual se calcula sustituyendo en nuestra ecuación del hiperboloide: <math>S(z = 150)</math> nos da:
<center><math>\rho = 37.222</math></center>

•La temperatura en la base (<math>z = 0</math>) y en la tapa superior (<math>z = 150</math>) con sus respectivos radios en cada altura, que sustituyendo en nuestra ecuación de la temperatura nos da:

<center>
<math>T_{\text{base}} = 57^\circ \text{C}</math>
y
<math>T_{\text{tapa}} = 22.43^\circ \text{C}</math></center>

==== Localización del punto mas caliente de la torre ====
El punto más caliente se encuentra en la base <math>z = 0</math> centrado en el eje <math>\rho = 0</math>, lo cual se comprueba observando la ecuación de la temperatura <math>T(\rho,z)</math>, siendo esta temperatura:

<center><math>T_{\text{max}} = T(0,0) = 65^\circ \text{C}</math></center>

Esto se debe a que la torre no ha empezado a cumplir con su enfriamiento en ese punto, ya que esta enfría mientras más alto te encuentres y mas alejado del eje.

<syntaxhighlight lang="matlab">

% apartado_2_4_torre_hiperbolica_animacion.m
% Torre hiperboloidal real con animación de corte horizontal

clear; close all; clc;

%% ------------------ PARÁMETROS FÍSICOS ------------------
Tbase = 57;
Ttope = 22.43;
dTz = Tbase - Ttope; % = 34.57 °C
dTr = 8; % variación radial
n = 1.8;

%% ------------------ GEOMETRÍA REAL ------------------
H = 150; % altura de la torre
z0 = 100; % centro del hiperboloide

a = 30; % semieje radial mínimo
c = 68.079; % semieje vertical
Rmax_base = 55; % radio máximo en la base

%% ------------------ Superficie hiperboloide ------------------
NzS = 180;
Ntheta = 160;

zS = linspace(0, H, NzS);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);

[TH, Zsurf] = meshgrid(theta, zS);

% radio hiperboloidal exacto
Rsurf = a .* sqrt(1 + ((Zsurf - z0).^2)/c^2);

% coordenadas cartesianas
Xsurf = Rsurf .* cos(TH);
Ysurf = Rsurf .* sin(TH);

%% ------------------ TEMPERATURA EN LA SUPERFICIE ------------------
Tsurf = Tbase ...
- dTz * (Zsurf/H).^n ...
- dTr .* (1 - exp(-(Rsurf.^2)/(Rmax_base^2)));

Tmin = min(Tsurf(:));
Tmax = max(Tsurf(:));

%% ------------------ FIGURA ------------------
figure('Units','normalized','Position',[0.03 0.1 0.9 0.8]);
colormap(parula);

%% ----------- SUBPLOT IZQUIERDO: SECCIÓN VERTICAL ------------
subplot(1,2,1);

rho_vec = linspace(0, Rmax_base, 300);
z_vec = linspace(0, H, 300);
[RR, ZZ] = meshgrid(rho_vec, z_vec);

Tmap = Tbase ...
- dTz*(ZZ/H).^n ...
- dTr*(1 - exp(-(RR.^2)/(Rmax_base^2)));

hImg = imagesc(rho_vec, z_vec, Tmap);
set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical \rho-z');
clim([Tmin Tmax]);

hold on;
hLine = plot([0 Rmax_base],[0 0],'w--','LineWidth',2);

% Punto más caliente (rho=0, z=0)
hHot2D = plot(0, 0, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
text(2, 3, 'Punto más caliente', 'Color','white', 'FontSize',10);

%% ----------- SUBPLOT DERECHO: HIPERBOLOIDE REAL 3D ---------------
subplot(1,2,2);

hSurf = surf(Xsurf, Ysurf, Zsurf, Tsurf);

shading interp;
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Torre hiperboloidal en 3D con corte horizontal');
clim([Tmin Tmax]);
view(35,25);
hold on;

% Plano horizontal móvil
[XP, YP] = meshgrid(linspace(-Rmax_base, Rmax_base, 70));
ZP = zeros(size(XP));
hPlane = surf(XP, YP, ZP, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none');

colorbar;

%% ------------------ ANIMACIÓN ------------------
for k = 1:length(z_vec)
zcur = z_vec(k);

% actualizar línea en sección vertical
set(hLine, 'YData', [zcur zcur]);

% actualizar plano en 3D
set(hPlane, 'ZData', zcur * ones(size(ZP)));

drawnow;
pause(0.03);
end
</syntaxhighlight>

=== Calculo del gradiente de temperatura <math>\Delta T ^\circ \text{C}</math> ===
Siendo el campo escalar:
<math>
T(\rho, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Calculamos el gradiente utilizando la respectiva formula del gradiente para las coordenadas cilíndricas:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \, \vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Como el campo <math>T(\rho,z)</math> no depende de la coordenada <math>\theta</math>, entonces el término asociado a <math>\vec{e}_\theta</math> desaparece del gradiente.
Obteniendo:
<center><math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math></center>

Realizando todo:
<center>
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \, \vec{e}_\rho + \frac{\partial T}{\partial z} \, \vec{e}_z
</math>

Derivada respecto a <math>rho</math>:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = -\Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( 1 - e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Como la derivada de \(1\) es cero:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot \frac{d}{d\rho} \left( e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \right)
</math>

Aplicamos regla de la cadena:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right)
</math>

Calculamos la derivada interna:

<math>
\frac{d}{d\rho} \left( -\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2} \right) = - \frac{ (2\rho)(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) - (\rho^2)(-2\rho) }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Simplificamos:

<math>
\frac{d}{d\rho} = - \frac{ 2\rho(R_{\text{max}}^2 - \rho^2) + 2\rho^3 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } = - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 }
</math>

Por tanto:

<math>
\frac{\partial T}{\partial \rho} = \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right)
</math>

Derivada respecto a z:

<math>
\frac{\partial T}{\partial z} = -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H}
</math>

Gradiente final:

<math>
\nabla T = \left[ \Delta T_r \cdot e^{-\frac{\rho^2}{R_{\text{max}}^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho R_{\text{max}}^2 }{ (R_{\text{max}}^2 - \rho^2)^2 } \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ -\Delta T_z \cdot n \left( \frac{z}{H} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{H} \right] \vec{e}_z
</math>
</center>

Gradiente habiendo sustituido los datos:

<center><math>
\boxed{\nabla T = \Bigg[ 8 \cdot e^{-\frac{\rho^2}{55^2 - \rho^2}} \cdot \left( - \frac{ 2\rho \cdot 55^2 }{ (55^2 - \rho^2)^2 } \right) \Bigg] \vec{e}_\rho
+ \Bigg[ -38 \cdot 1.8 \cdot \left( \frac{z}{150} \right)^{0.8} \cdot \frac{1}{150} \Bigg] \vec{e}_z}
</math></center>

=== Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide ===

[[Archivo:Fotogradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Secciongradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

%% APARTADO 2.5 — Sección vertical con campo completo -∇T en el interior
clear; close all; clc;

%% ---- Parámetros de la torre ----
H = 150;
z0 = 100;
a = 30;
c = 98.079;

%% ---- Mallado vertical ----
Nr = 160; % resolución radial
Nz = 300; % resolución vertical

rho = linspace(0, 60, Nr);
z = linspace(0, H, Nz);

[RR, ZZ] = meshgrid(rho, z);

%% ---- Radio de la pared ----
r_wall = a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2)/c^2); % r(z)
r_wall_2D = repmat(r_wall(:), 1, Nr); % expandido a matriz

%% ---- Máscara interior ----
inside = RR <= r_wall_2D;

%% ---- Gradiente EN CILÍNDRICAS (TU FÓRMULA EXACTA) ----
Grad_r = -(912 * (RR.^2) .* exp(-(RR.^2)./(3249 - RR.^2))) ./ (3249 - RR.^2).^2;
Grad_z = -(0.00829 * ZZ.^0.8);

% eliminar valores fuera de la torre
Grad_r(~inside) = NaN;
Grad_z(~inside) = NaN;

%% ---- FIGURA ----
figure('Color','w','Position',[100 100 850 700]); hold on;

% Contorno de la figura (lado derecho e izquierdo)
plot(r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);
plot(-r_wall, z, 'k', 'LineWidth', 2);

% Eje central
plot(0*z, z, 'k--', 'LineWidth', 1);

%% ---- Campo completo de flechas ----
skip = 6; % densidad del campo

quiver( RR(1:skip:end,1:skip:end), ...
ZZ(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_r(1:skip:end,1:skip:end), ...
Grad_z(1:skip:end,1:skip:end), ...
'k');

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

%% ---- Estética ----
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo completo -\nablaT en sección vertical (delimitado por la torre)');
xlim([-max(r_wall) max(r_wall)]);
ylim([0 H]);
axis equal;
grid on;
set(gca,'FontSize',12);

</syntaxhighlight>

<center>Como se puede observar en la imagen y cumpliendo con su propiedad el campo gradiente apunta con su sentido al punto de máximo crecimiento del campo escalar T que como se comprobó, en nuestro caso es en <math>z=0</math> y <math>\rho=0</math></center>

=== Representación de superficies isotermas ===

[[Archivo:Isotermasgradiente.jpg|500px|thumb|left|texto alternativo]]

=== Simulación de un caso en el que entra aire caliente a la base ===
Consideramos que la densidad del aire depende de la temperatura según:

<center><math>
\rho(T) = \rho_{\text{aire}} \, \frac{T_0 + 273}{T + 273}
</math></center>

donde <math>\rho_{\text{aire}} = 1.225 \,\text{kg/m}^3</math> es la densidad del aire estándar a temperatura <math>T_0 = 15^\circ \text{C}</math>.

==== Cálculo analítico la masa total de aire dentro de la torre ====

<center><math>
M = \iiint_V \rho(T(\rho,z)) \, dV
</math></center>

==== comparación con la masa si el aire estuviera uniformemente a temperatura <math>T_{\text{ambiente}} = 15^\circ \text{C}</math> ====

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC25/26]]

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Miguel.batta: /* Representación del campo vectorial gradiente sobre el hiperboloide */

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Miguel.batta: /* Calculo del gradiente de temperatura \Delta T ^\circ \text{C} */

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Torres de enfriamientos hiperbólicas (Grupo 46)

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