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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-09T21:14:21Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
REPRESENTACIÓN DE LA ACCIÓN DE LA TEMPERATURA EN LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:DeformacionFinal01-Web.gif|600px|mediano|centrado|Acción del campo sobre la placa.]]</td>
</tr>
</table>

 
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]] 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO <math> \vec{u} </math> SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:DeformacionFinal02-Web.gif|600px|mediano|centrado|Acción del campo sobre la placa.]]</td>
</tr>
</table>

 

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO <math> \vec{u}_{1} </math> SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:DeformacionFinal03-Web.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:DeformacionFinal01-Web.gif

2014-12-09T21:04:01Z

Me.collado:

Archivo:DeformacionFinal03-Web.gif

2014-12-09T20:56:27Z

Me.collado:

Archivo:DeformacionFinal02-Web.gif

2014-12-09T20:27:20Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T01:33:09Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]] 

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
<td>[[Archivo:Deformacion1.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACION DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion3.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T01:32:02Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]] 

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
<td>[[Archivo:Deformacion1.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
<h3>ANIMACION DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA</h3>
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion3.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T01:30:47Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]] 

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
<td>[[Archivo:Deformacion1.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tbody>
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
<h3>ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA</h3>
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion3.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</tbody>
</table>

 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Deformacion3.gif

2014-12-06T01:30:05Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T01:24:22Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]] 

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
ANIMACION DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
<td>[[Archivo:Deformacion1.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T01:22:09Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]] 

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

RESULTADOS OBTENIDOS:

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

<table border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<tr>
<td colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: middle; background-color: rgb(46, 154, 254);">
<h3>ANIMACION DEL EFECTO DEL CAMPO SOBRE LA PLACA</h3>
</td>
</tr>
<tr>
<td>[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
<td>[[Archivo:Deformacion1.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]</td>
</tr>
</table>

 

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Deformacion1.gif

2014-12-06T01:14:11Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-06T00:02:16Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption>RESULTADOS OBTENIDOS</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]
[[Archivo:Deformacion.gif|600px|mediano|centrado|Acción de la deformación sobre la placa]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Deformacion.gif

2014-12-05T23:56:34Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-05T00:51:15Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption>RESULTADOS OBTENIDOS</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]
[[Archivo:Animacionf.gif|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-05T00:49:07Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption>RESULTADOS OBTENIDOS</caption>
<tbody>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (0.707, 0.707)</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]
[[Archivo:Animacionf.gif|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-05T00:41:19Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart016.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]
[[Archivo:Animacionf.gif|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Apart016.jpg

2014-12-05T00:40:03Z

Me.collado:

Archivo:Animacionf.gif

2014-12-05T00:24:18Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-05T00:24:16Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]
[[Archivo:Animacionf.gif|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Animacion.gif

2014-12-05T00:05:15Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T12:11:28Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

==. Centro de masas y masa total placa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Sea el campo <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u </math>, realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

=== Campo desplazamientos ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u
</math>
<math>
\vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart014.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Desplazamiento de nuevo campo]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')
}} 

=== Placa antes y despues del desplazamiento ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>
\vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v)
</math>
<math>
\vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i}
</math>
<math>
\vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j})
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart015.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha| Placa deformada por el nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del nuevo campo u]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Apart015.jpg

2014-12-04T12:04:14Z

Me.collado:

Archivo:Apart014.jpg

2014-12-04T12:01:50Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T11:20:28Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 

Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===

=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===

=== Cálculo de la divergencia ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
'''Fundamento matemático''' 
<hr />
 
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T11:15:28Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
'''Fundamento matemático'''
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

'''Fundamento matemático'''
Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

'''Fundamento matemático'''
<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

'''Fundamento matemático'''
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===

=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===

=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart012.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Divergencia del nuevo campo u]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart013.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')
}}

Archivo:Apart013.jpg

2014-12-04T11:13:09Z

Me.collado:

Archivo:Apart012.jpg

2014-12-04T11:11:18Z

Me.collado:

Archivo:Apart011.jpg

2014-12-04T11:08:57Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T11:05:58Z

Me.collado:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> RESULTADOS OBTENIDOS </caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Archivo:Apart010.jpg

2014-12-04T11:05:34Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T10:59:15Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart009.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de u]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart010.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha| Módulo Rotacional]
{{matlab|codigo=
% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> MASA TOTAL + CENTRO MASAS PLACA</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Archivo:Apart009.jpg

2014-12-04T10:55:54Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T10:53:14Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v </math>
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1);

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')
}} 

[[Archivo:Apart006.jpg|300px|600px|centrado|Desplazamiento sobre la placa]]

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')
}} 
[[Archivo:Apart008.jpg|600px|mediano|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> MASA TOTAL + CENTRO MASAS PLACA</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Archivo:Apart008.jpg

2014-12-04T10:52:53Z

Me.collado:

Archivo:Apart007.jpg

2014-12-04T10:47:49Z

Me.collado:

Archivo:Apart006.jpg

2014-12-04T10:44:24Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-04T10:29:14Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apart001.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1);
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart003.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.]]
{{matlab|codigo=
clf;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on;
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart002.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1);
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apart004.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apart005.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> MASA TOTAL + CENTRO MASAS PLACA</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Archivo:Apart005.jpg

2014-12-04T10:28:53Z

Me.collado:

Archivo:Apart004.jpg

2014-12-04T10:26:16Z

Me.collado:

Archivo:Apart003.jpg

2014-12-04T10:15:35Z

Me.collado:

Archivo:Apart002.jpg

2014-12-04T10:09:01Z

Me.collado:

Archivo:Apart001.jpg

2014-12-04T09:57:52Z

Me.collado:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T12:17:42Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

<hr />
 
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
clf; hold on;
u=—2:.1:2; v=.5:.1:3; %u y v definidas entre [—2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,w] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1’;
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)—uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)—bb);

p1ot(X1, Y1,'b') % Representación 1
p1ot(x2, y2,'b') % Representación 2
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

<hr />
 
Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> MASA TOTAL + CENTRO MASAS PLACA</caption>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

<hr />
 
Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T12:09:22Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

Código:
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
clf; hold on;
u=—2:.1:2; v=.5:.1:3; %u y v definidas entre [—2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,w] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1’;
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)—uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)—bb);

p1ot(X1, Y1,'b') % Representación 1
p1ot(x2, y2,'b') % Representación 2
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
<table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="width: 500px;">
<caption> MASA TOTAL + CENTRO MASAS PLACA</caption>
<thead>
<tr>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">MASA TOTAL</th>
<th scope="col" style="background-color: rgb(88, 211, 247);">CENTRO DE MASAS PLACA</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">7.026</td>
<td style="text-align: center; vertical-align: middle;">(x,y) = (1.535, 1.464)</td>
</tr>
</tbody>
</table>

 

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T12:01:17Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

Código:
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
clf; hold on;
u=—2:.1:2; v=.5:.1:3; %u y v definidas entre [—2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,w] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1’;
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)—uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)—bb);

p1ot(X1, Y1,'b') % Representación 1
p1ot(x2, y2,'b') % Representación 2
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
{| class="wikitable"
|-
! MASA !! CENTRO MASAS
|-
| 7.026 || (1.535, 1.464)
|-
|}

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math>
\sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix}
</math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math>
\Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v}
</math>
<math>
\nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T11:42:18Z

Me.collado: Me.collado movió la página Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad a Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10): Error de tipeo

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

Código:
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
clf; hold on;
u=—2:.1:2; v=.5:.1:3; %u y v definidas entre [—2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,w] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1’;
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)—uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)—bb);

p1ot(X1, Y1,'b') % Representación 1
p1ot(x2, y2,'b') % Representación 2
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
{| class="wikitable"
|-
! MASA !! CENTRO MASAS
|-
| 7.026 || (1.535, 1.464)
|-
|}

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
Repetir todos los apartados anteriores para este nuevo campo.

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad

2014-12-03T11:42:18Z

Me.collado: Me.collado movió la página Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad a Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10): Error de tipeo

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T11:37:24Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

Código:
[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
clf; hold on;
u=—2:.1:2; v=.5:.1:3; %u y v definidas entre [—2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,w] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1’;
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)—uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)—bb);

p1ot(X1, Y1,'b') % Representación 1
p1ot(x2, y2,'b') % Representación 2
}} 

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
{| class="wikitable"
|-
! MASA !! CENTRO MASAS
|-
| 7.026 || (1.535, 1.464)
|-
|}

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0</math>

[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
}} 

=== Cálculo del rotacional ===
Repetir todos los apartados anteriores para este nuevo campo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T10:26:55Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
{| class="wikitable"
|-
! MASA !! CENTRO MASAS
|-
| 7.026 || (1.535, 1.464)
|-
|}

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
=== Campo desplazamientos ===
=== Dibujo antes y despues del desplazamiento ===
=== Cálculo de la divergencia ===
=== Cálculo del rotacional ===
Repetir todos los apartados anteriores para este nuevo campo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

2014-12-03T10:23:04Z

Me.collado:

{{ TrabajoED |Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila }}

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas
* <math> P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 </math>
* <math> P2: x\cdot y- 3=0 </math>

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
</math>

Con u, v definidas en <math> (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] </math>

== Mallado del sólido ==
Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

[[Archivo:Apartado01.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado placa.]]
{{matlab|codigo=
% Apartado primero: mallado
clf
% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = paso de muestreo
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
%fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

== Lineas coordenadas y vectores base natural ==
=== Lineas coordenadas ===
Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas:
Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas.
Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

=== Vectores base natural ===
Vectores que forman la base natural:
<math>
\vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}}
</math>
:<math>
\vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j}
</math>

'''Respecto a u'''
:<math>
\vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}}
</math>

'''Respecto a v'''
:<math>
\vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j}
</math>
: <math>
\frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\;
\;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado003.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa y vectores de la base.]]
{{matlab|codigo=
% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy=-sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
%base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2).-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
}} 

== Temperatura del sólido ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math> . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

[[Archivo:Apartado004.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico distribución de temperaturas.]]
{{matlab|codigo=
% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% curvas de nivel mediante el comando contour
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); % Placa
contour(x1, y1, T)
% El valor es máximo donde la placa está más próximo
% al origen}} 

[[Archivo:Apartado005.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto]]

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

<math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1)
(x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 </math>

== Campo vectorial gradiente (<math> \nabla T</math>) ==
Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. <math> T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} </math>.

Gradiente de un campo escalar:
:<math>
\vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow
\vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}}
</math>
:<math>
\frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
\;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}
</math>

Código:
[[Archivo:Apartado006.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial gradiente de T(x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);%ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); %Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)}} 

Son ortogonales ya que: 

''' Curvas de nivel: '''
:<math> e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x </math> Pendiente de la recta= -1 

''' Gradiente: '''
:<math> \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) </math> Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

== Campo desplazamientos ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos u ⃗(u,v)=(v-1/2)/5 √(u^2+v^2 )•g ⃗_v.
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}</math> 

<math>\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}</math> 

<math>\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (u,v)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)
}} 

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right.
</math>
<math>
\rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
</math>
<math>
\frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2
\rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v
</math>

Cambio de base:
<math>
\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right.
\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right.
</math>
Por lo tanto:
<math>\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})</math>
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>

Desplazamiento en x:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} </math>
Desplazamiento en y:
<math> \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Campo de desplazamientos en (x,y):
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definidas en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Formula de (x,y)
x1=sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10).-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2*y1./10).-(x1./20);
quiver(x1,y1,despx,despy)
}} 

== Efecto de desplazamiento sobre placa ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})</math>
:<math>\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}</math>

{{matlab|codigo=
% Placa deformada
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u,v definida en [-2,2]x[.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
% Vector desplazamientos
despx=(x1.*y1^2./10).-(y1./20); despy=(x1.^2.*y1./20);
% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
}} 
[[Archivo:Apartado007.jpg|600px|miniaturadeimagen|centrado|Coordenadas respecto (x,y)]]

== Divergencia de <math> \vec{u} </math> sobre los puntos del sólido ==
Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:

<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>

<math> \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math>\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 </math>

<math> \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

<math> \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} </math>

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
}} 

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

== Rotacional en todos los puntos del sólido - <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> ==

Calcular <math> \left | \nabla x \vec{u} \right | </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Solución:
Calculamos primero la matriz de Gram:
<math> G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} </math>
<math> \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} </math>

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes:
<math> \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} </math>
<math> \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} </math>
<math> \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 </math>

Código:
[[Archivo:Apartado007.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Coordenadas respecto (x,y)]]
{{matlab|codigo=
% Rotacional apartado 8:
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot =zeros(size(x1));
surf(x1, y1, rot)
}} 

== Centro de masas y masa ==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} </math>. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

Código:
{{matlab|codigo=
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); %Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v);
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

%cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
for l = 1:m
x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
dens = y*exp(-1/x^2);
masa = 0.01*dens + masa;
cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)
}} 

Resultado:
{| class="wikitable"
|-
! MASA !! CENTRO MASAS
|-
| 7.026 || (1.535, 1.464)
|-
|}

== Cambio de campo <math> \vec{u}(u,v) </math> ==
Repetir todos los apartados anteriores para este nuevo campo.