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Archivo:Cloite 1021.jpg

2025-11-26T15:49:16Z

Mbmateos:

La Clotoide (Grupo 21)

2025-11-26T15:31:24Z

Mbmateos: /* Ejemplos en Ingeniería Civil. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Paula Rodríguez Rey, Ignacio Moya Casasola, Adrián Eguilleor Prieto, Mencía Benitez Del Castillo Mateos, Pablo Cortina Gómez.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Matemáticamente, una clotoide es una curva que parte siendo tangente al eje de abscisas y cuya curvatura aumenta progresivamente, de modo que su radio de curvatura disminuye en proporción inversa a la longitud recorrida sobre la propia curva.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:Clotoide21.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}
==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide221.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}

=Longitud de la curva=
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 
=Vectores tangente y normal=
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:clotoide321.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
=Curvatura k(t).=
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:Clotoide421.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=Circunferencia osculatriz.=
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Vector normal unitario en t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;

% Parametrización de la circunferencia
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
=Propiedades para la ingeniería.=
La clotoide representa un tipo de curva que permite una transición progresiva entre una trayectoria recta y una curva circular, debido a que su curvatura aumenta de manera lineal. Esto implica que, al comienzo de la curva, el radio de curvatura es infinito y, conforme se avanza sobre ella, dicho radio disminuye hasta alcanzar un valor finito, definiéndose así una curvatura más marcada.

En ingeniería, su uso más importante aparece en el diseño de carreteras y vías férreas, donde la clotoide se emplea para suavizar el paso entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es esencial, ya que evita cambios bruscos en la aceleración centrípeta y permite ajustarla de manera gradual. Si no existiera esta suavidad en el cambio, los vehículos y sus ocupantes podrían experimentar incrementos violentos en las fuerzas centrípetas, lo que generaría incomodidad e incluso riesgos para la estabilidad.

Además, las características de la clotoide permiten otras aplicaciones, como mantener un flujo de agua más uniforme, diseñar trayectorias de entrada y salida para barcos en puertos, o incluso crear recorridos más seguros y fluidos en montañas rusas.

=Ejemplos en Ingeniería Civil.=
[[Archivo:Clotoide621.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Clotoide en carretera''' ]]
[[Archivo:Clotoide821.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]

Archivo:Clotoide821.png

2025-11-26T15:29:55Z

Mbmateos:

Archivo:Clotoide621.jpg

2025-11-26T15:22:44Z

Mbmateos:

2025-11-26T14:40:35Z

Mbmateos:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Paula Rodríguez Rey, Ignacio Moya Casasola, Adrián Eguilleor Prieto, Mencía Benitez Del Castillo, Pablo Cortina Gómez.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Matemáticamente, una clotoide es una curva que parte siendo tangente al eje de abscisas y cuya curvatura aumenta progresivamente, de modo que su radio de curvatura disminuye en proporción inversa a la longitud recorrida sobre la propia curva.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:Clotoide21.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}
==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide221.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}

=Longitud de la curva=
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 
=Vectores tangente y normal=
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:clotoide321.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:Clotoide421.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}