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Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T19:00:35Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Variación de temperatura ==

[[Archivo:Maximavariaciontempcolumna.jpeg|500 px|miniaturadeimagen|derecha| Variación de temperatura. ]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
rho = linspace(-1, 1, 200); % Rango correcto de rho
theta = linspace(0, 10, 200); % Rango de theta

% Crear una malla para rho y theta
[R, Theta] = meshgrid(rho, theta);

% Temperatura
T = sin(2 * pi * R);

% Gradiente de T con respecto a rho
dT_drho = 2 * pi * cos(2 * pi * R);

% Magnitud del gradiente
gradient_magnitude = abs(dT_drho);

% Dibujar la placa
figure;
contourf(R, Theta, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Mapa de temperatura
colorbar;
hold on;

% Marcar los puntos de máxima variación (en rho=0 para todos los valores de theta)
plot(zeros(size(theta)), theta, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 2);
num_flechas = 40; % Número de flechas a colocar (aumentado)
theta_step = floor(length(theta) / num_flechas); % Paso entre las flechas

for i = 1:num_flechas
% Elegir un valor de theta
idx = i * theta_step;
% Dibujamos las flechas de variación en la dirección positiva de rho
quiver(0, theta(idx), 0.2, 0, 'r', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1.5); % Flecha hacia la derecha, más finas
end

title('Temperatura y Dirección de Máxima Variación');
xlabel('\rho');
ylabel('\theta');
xlim([-1.5, 1.5]);
ylim([0, 10]);
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==
Queremos calcular la masa de la placa rectangular [−1,1]×[0,10]. La masa se obtiene integrando el campo escalar: <math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\theta+π/2)))</math> (densidad de la placa) a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular, la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.<math> d(x, y)=(2-\sqrt{x^2+y^2})(4-\cos(4(arctan(\frac{x}{y})+π/2)))</math>

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2-\sqrt{x^2+y^2})(4-\cos(4(arctan(\frac{x}{y})+π/2))) = 184.771 </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T19:00:12Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Variación de temperatura ==

[[Archivo:Maximavariaciontempcolumna.jpeg|500 px|miniaturadeimagen|derecha| Variación de temperatura. ]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
rho = linspace(-1, 1, 200); % Rango correcto de rho
theta = linspace(0, 10, 200); % Rango de theta

% Crear una malla para rho y theta
[R, Theta] = meshgrid(rho, theta);

% Temperatura
T = sin(2 * pi * R);

% Gradiente de T con respecto a rho
dT_drho = 2 * pi * cos(2 * pi * R);

% Magnitud del gradiente
gradient_magnitude = abs(dT_drho);

% Dibujar la placa
figure;
contourf(R, Theta, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Mapa de temperatura
colorbar;
hold on;

% Marcar los puntos de máxima variación (en rho=0 para todos los valores de theta)
plot(zeros(size(theta)), theta, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 2);
num_flechas = 40; % Número de flechas a colocar (aumentado)
theta_step = floor(length(theta) / num_flechas); % Paso entre las flechas

for i = 1:num_flechas
% Elegir un valor de theta
idx = i * theta_step;
% Dibujamos las flechas de variación en la dirección positiva de rho
quiver(0, theta(idx), 0.2, 0, 'r', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1.5); % Flecha hacia la derecha, más finas
end

title('Temperatura y Dirección de Máxima Variación');
xlabel('\rho');
ylabel('\theta');
xlim([-1.5, 1.5]);
ylim([0, 10]);
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==
Queremos calcular la masa de la placa rectangular [−1,1]×[0,10]. La masa se obtiene integrando el campo escalar: <math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\theta+π/2)))</math> (densidad de la placa) a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular, la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.<math> d(x, y)=(2-\sqrt{x^2+y^2})(4-\cos(4(arctan(\frac{x}{y})+π/2)))</math>

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} <math> (2-\sqrt{x^2+y^2})(4-\cos(4(arctan(\frac{x}{y})+π/2))) = 184.771 </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T18:26:35Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==

[[Archivo:Maximavariaciontempcolumna.jpeg|500 px|miniaturadeimagen|derecha| Variación de temperatura. ]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
rho = linspace(-1, 1, 200); % Rango correcto de rho
theta = linspace(0, 10, 200); % Rango de theta

% Crear una malla para rho y theta
[R, Theta] = meshgrid(rho, theta);

% Temperatura
T = sin(2 * pi * R);

% Gradiente de T con respecto a rho
dT_drho = 2 * pi * cos(2 * pi * R);

% Magnitud del gradiente
gradient_magnitude = abs(dT_drho);

% Dibujar la placa
figure;
contourf(R, Theta, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Mapa de temperatura
colorbar;
hold on;

% Marcar los puntos de máxima variación (en rho=0 para todos los valores de theta)
plot(zeros(size(theta)), theta, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 2);
num_flechas = 40; % Número de flechas a colocar (aumentado)
theta_step = floor(length(theta) / num_flechas); % Paso entre las flechas

for i = 1:num_flechas
% Elegir un valor de theta
idx = i * theta_step;
% Dibujamos las flechas de variación en la dirección positiva de rho
quiver(0, theta(idx), 0.2, 0, 'r', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1.5); % Flecha hacia la derecha, más finas
end

title('Temperatura y Dirección de Máxima Variación');
xlabel('\rho');
ylabel('\theta');
xlim([-1.5, 1.5]);
ylim([0, 10]);
hold off;

}}

== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==

La masa se obtiene integrando el campo escalar: <math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math> (densidad de la placa) a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2−\sqrt{x^2+y^2})(4−cos(4(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{\pi}{2}))dydx = -241.64 </math>

El resultado de la masa no puede ser negativo por lo que debe de haber un problema en la configuración del campo escalar (densidad).

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T18:19:39Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==

La masa se obtiene integrando el campo escalar de la densidad de la placa a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2−\sqrt{x^2+y^2})(4−cos(4(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{\pi}{2}))dydx = -241.64 </math>

El resultado de la masa no puede ser negativo por lo que debe de haber un problema en la configuración del campo escalar (densidad).

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T18:16:11Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==

La masa se obtiene integrando el campo escalar de la densidad de la placa a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2−\sqrt{x^2+y^2}(4−cos(4(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{\pi}{2})))dydx = -241.64 </math>

El resultado de la masa no puede ser negativo por lo que debe de haber un problema en la configuración del campo escalar (densidad).

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T18:15:46Z

Mateo Navarro: /* Masa Total de la Placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==

La masa se obtiene integrando el campo escalar de la densidad de la placa a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.
<math> Masa = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2-|x|)(4-y)dydx = \int_{-1}^{1} -10 dx = -10 * 3 = -30 </math>

<math> Masa=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2−\sqrt{x^2+y^2}(4−cos(4(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{\pi}{2})))dydx = -241.64 </math>

El resultado de la masa no puede ser negativo por lo que debe de haber un problema en la configuración del campo escalar (densidad).

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T17:45:31Z

Mateo Navarro:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como
<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
en cartesianas como
<center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

También, definimos la densidad de la placa como <center><math> d(\rho, \theta)=(2-\rho)(4-\cos(4(\rho+π/2)))</math></center>

Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math> .

== Representación del mallado del sólido ==
[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

[[Archivo:VonMisesapartado11campos.jpeg|450px||miniaturadeimagen|derecha| Tensión Von Mises ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la sección transversal
x = linspace(-1, 1, 200);
y = linspace(0, 10, 500);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

% Componentes del tensor de tensiones en coordenadas polares
T_rr = rho .* cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_rtheta = 3 * cos(theta) .* sin(2 * pi * rho / 50);
T_zz = T_rr;

% Inicializar los autovalores
sigma_1 = zeros(size(X));
sigma_2 = zeros(size(X));
sigma_3 = zeros(size(X));

% Calcular los autovalores en cada punto
for i = 1:size(X, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construir el tensor de tensiones
stress_tensor = [T_rr(i, j), T_rtheta(i, j), 0;
T_rtheta(i, j), T_rr(i, j), 0;
0, 0, T_zz(i, j)];

% Calcular los autovalores
eigenvalues = eig(stress_tensor);
sigma_1(i, j) = eigenvalues(1);
sigma_2(i, j) = eigenvalues(2);
sigma_3(i, j) = eigenvalues(3);
end
end

% Calcular la tensión de Von Mises
VM = sqrt(0.5 * ((sigma_1 - sigma_2).^2 + (sigma_2 - sigma_3).^2 + (sigma_3 - sigma_1).^2));

% Encontrar el valor máximo y su posición
[VM_max, idx] = max(VM(:));
[max_row, max_col] = ind2sub(size(VM), idx);
max_x = X(max_row, max_col);
max_y = Y(max_row, max_col);

% Graficar en 3D
figure;
surf(X, Y, VM, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico de superficie
colormap('parula');
colorbar;
hold on;

% Asegurar que el punto rojo aparece en la gráfica
z_offset = VM_max + 0.01 * (max(VM(:)) - min(VM(:))); % Evitar problemas de superposición
plot3(max_x, max_y, z_offset, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');

% Añadir texto para mayor claridad
text(max_x, max_y, z_offset, sprintf('VM Máx: %.2f', VM_max), 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% Personalizar el gráfico
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Tensión de Von Mises (VM)');
title('Distribución de Tensión de Von Mises en 3D');
legend(sprintf('Máximo VM: %.2f en (%.2f, %.2f)', VM_max, max_x, max_y), 'Location', 'best');
grid on;
view(45, 30); % Ajustar ángulo de la vista

}}

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

== Masa Total de la Placa ==

La masa se obtiene integrando el campo escalar de la densidad de la placa a lo largo de la superficie.
Como la placa es rectangular la podemos parametrizar utilizando coordenadas cartesianas.
<math> Masa = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{10} (2-|x|)(4-y)dydx = \int_{-1}^{1} -10 dx = -10 * 3 = -30 </math>

El resultado de la masa no puede ser negativo por lo que debe de haber un problema en la configuración del campo escalar (densidad).

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T14:56:42Z

Mateo Navarro: /* Tensiones Normales */

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T14:42:23Z

Mateo Navarro: /* Tensiones Normales */

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T13:34:02Z

Mateo Navarro:

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T13:05:30Z

Mateo Navarro: /* Divergencia del campo de desplazamientos */

Archivo:Camposej7.jpeg

2024-12-08T11:30:50Z

Mateo Navarro:

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T11:25:59Z

Mateo Navarro: /* Divergencia del campo de desplazamientos */

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-06T19:51:38Z

Mateo Navarro:

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-11-26T10:08:50Z

Mateo Navarro:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |Mateo Navarro Díaz, María Victoria González Junco, Fernando Benítez Pérez, Rodrigo Prado Fornos, Claudia Elimar Manrique } }

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-11-26T10:03:53Z

Mateo Navarro: Página creada con «{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | Teoría de Campos|2024-25 |Mateo Navarro Díaz,María Vi...»

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |Mateo Navarro Díaz,María Victoria González Junco,Fernando Benítez Pérez,Rodrigo Prado Fornos,Claudia Elimar Manrique } }

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-11T11:55:45Z

Mateo Navarro: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
==Placa antes y después del desplazamiento==

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%Posición de la placa deformada:
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);
rx=4.*Mx ;
ry=(1/3).*sin(pi/3.*(My));
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)= \frac{1}{3}\ sin( \frac{π}{3}\ - vπt) \vec j\</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-11T11:51:19Z

Mateo Navarro: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
==Placa antes y después del desplazamiento==

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%Posición de la placa deformada:
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);
rx=4.*Mx ;
ry=(1/3).*sin(pi/3.*(My));
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)= \frac{1}{3}\ sin( \frac{π}{3}\ - vπt) \vec j\</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-11T11:39:18Z

Mateo Navarro: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
==Placa antes y después del desplazamiento==

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%Posición de la placa deformada:
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);
rx=4.*Mx ;
ry=(1/3).*sin(pi/3.*(My));
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)= \frac{1}{3}\ sin( \frac{π}{3}\ - vπt) \vec j\</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-11T11:34:48Z

Mateo Navarro: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
==Placa antes y después del desplazamiento==

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%Posición de la placa deformada:
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);
rx=4.*Mx ;
ry=(1/3).*sin(pi/3.*(My));
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==
==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)= \frac{1}{3}\ sin( \frac{π}{3}\ - vπt) \vec j\</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-11T11:33:17Z

Mateo Navarro: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
==Placa antes y después del desplazamiento==

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%Posición de la placa deformada:
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);
rx=4.*Mx ;
ry=(1/3).*sin(pi/3.*(My));
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==
==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)= \frac{1}{3}\ sin( \frac{π}{3}\ - vπt) \vec j\</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-09T19:07:56Z

Mateo Navarro: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-08T15:20:09Z

Mateo Navarro: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */

Archivo:Septimo apartado.ofig

2023-12-08T15:15:54Z

Mateo Navarro:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-08T15:15:16Z

Mateo Navarro: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-08T15:02:47Z

Mateo Navarro: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-08T12:06:52Z

Mateo Navarro: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */